《五年高考真題高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第八章 第六節(jié) 空間向量的應(yīng)用 理全國(guó)通用》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《五年高考真題高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第八章 第六節(jié) 空間向量的應(yīng)用 理全國(guó)通用(7頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
考點(diǎn) 空間向量及其應(yīng)用
1.(20xx·陜西,18)如圖1,在直角梯形 ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如圖2.
(1)證明:CD⊥平面A1OC;
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.
(1)證明 在圖1中,因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),∠BAD=,所以BE⊥AC,
即在圖2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,且A1O∩OC=O, 圖1
從而BE⊥平面A1OC,
又在直角梯形ABC
2、D中,AD∥BC,BC=AD,E為AD中點(diǎn),所以BC綉ED,
所以四邊形BCDE為平行四邊形,故有CD∥BE,
所以CD⊥平面A1OC.
(2)解 由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,
又由(1)知,BE⊥OA1,BE⊥OC,
所以∠A1OC為二面角A1-BE-C的平面角,
所以∠A1OC=, 圖2
如圖,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
因?yàn)锳1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED,
所以B,E,
A1,C,
得=,
=,
==(-,0,0),
設(shè)平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),平
3、面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC與平面A1CD夾角為θ,
則得取n1=(1,1,1);
得取n2=(0,1,1),
從而cos θ=|cos|==,
即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為.
2.(20xx·天津,17)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn).
(1)求證:MN∥平面ABCD;
(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;
(3)設(shè)E為棱A1B1上的點(diǎn),若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為,求線段A
4、1E的長(zhǎng).
解 如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),
A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2),又因?yàn)镸,N分別為B1C和D1D的中點(diǎn),
得M,
N(1,-2,1).
(1)證明 依題意,可得n=(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量,=,由此可得·n=0,又因?yàn)橹本€MN?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.
(2)=(1,-2,2),=(2,0,0),
設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACD1的法向量,
則即
不妨設(shè)z=1,可得n1=(0,1,1).
5、
設(shè)n2=(x,y,z)為平面ACB1的法向量,則
又=(0,1,2),
得不妨設(shè)z=1,可得n2=(0,-2,1).
因此有cos〈n1,n2〉==
-,于是sin〈n1,n2〉=.
所以,二面角D1-AC-B1的正弦值為.
(3)依題意,可設(shè)=λ,其中λ∈[0,1],則E(0,λ,2),從而=(-1,λ+2,1),又n=(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量,
由已知,得cos〈,n〉=
==,
整理得λ2+4λ-3=0,
又因?yàn)棣恕蔥0,1],解得λ=-2,
所以,線段A1E的長(zhǎng)為-2.
3.(20xx·江西,19)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面AB
6、CD,E為BD的中點(diǎn),G為PD的中點(diǎn),△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,連接CE并延長(zhǎng)交AD于F.
(1)求證:AD⊥平面CFG;
(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.
(1)證明 在△ABD中,因?yàn)镋是BD的中點(diǎn),所以
EA=EB=ED=AB=1,
故∠BAD=,∠ABE=∠AEB=,
因?yàn)椤鱀AB≌△DCB,
所以△EAB≌△ECB,
從而有∠FED=∠BEC=∠AEB=,
所以∠FED=∠FEA,
故EF⊥AD,AF=FD,
又因?yàn)镻G=GD,
所以FG∥PA.
又PA⊥平面ABCD,
所以GF⊥AD,
故AD⊥平面CFG.
(
7、2)解 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(1,0,0),
C,
D,P,
故=,
=,
=.
設(shè)平面BCP的法向量n1=(1,y1,z1),
則
解得即n1=.
設(shè)平面DCP的法向量n2=(1,y2,z2),
則解得
即n2=(1,,2).從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為cosθ===.
4.(20xx·湖北,19)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),直線PC⊥平面ABC,E,F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn).
(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;
(2)設(shè)(1)
8、中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且點(diǎn)Q滿足=,記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角E-l-C的大小為β,求證:sin θ=sin αsin β.
(1)解 直線l∥平面PAC,證明如下:
連接EF,因?yàn)镋,F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn),
所以EF∥AC.
又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
而EF?平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.
因?yàn)閘?平面PAC,EF?平面PAC,
所以直線l∥平面PAC.
(2)證明 法一 (綜合法)如圖1,連接BD,由(1)可知交線l即為直線BD,且l∥AC.
9、
因?yàn)锳B是⊙O的直徑,
所以AC⊥BC,
于是l⊥BC, 圖1
已知PC⊥平面ABC,而l?平面ABC,所以PC⊥l.
而PC∩BC=C,所以l⊥平面PBC.
連接BE,BF,因?yàn)锽F?平面PBC,
所以l⊥BF.
故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角,
即∠CBF=β.
由=,作DQ∥CP,且DQ=CP.
連接PQ,DF,因?yàn)镕是CP的中點(diǎn),CP=2PF,
所以DQ=PF,
從而四邊形DQPF是平行四邊形,PQ∥FD.
連接CD,因?yàn)镻C⊥平面ABC,
所以CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影,
故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角,即∠C
10、DF=θ.
又BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF為銳角,
故∠BDF為異面直線PQ與EF所成的角,即∠BDF=α,
于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分別可得
sin θ=,sin α=,sin β =,
從而sin αsin β=·==sin θ,
即sin θ=sin αsin β.
法二 (向量法)如圖2,由=,作DQ∥CP,且DQ=CP.
連接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交線l即為直線BD.
以點(diǎn)C為原點(diǎn),向量,,所在直線分別為x、y、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)CA=a,CB=b,CP=2c,則有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E,F(xiàn)(0,0,c).
于是=(a,0,0), 圖2
=(-a,-b,c),=(0,-b,c),
所以cos α=
=,
從而sin α==.
又取平面ABC的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),可得
sin θ==,
設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
所以由
可得
取n=(0,c,b).
于是|cos β|==,
從而sin β==.
故sin αsin β=·==sin θ,
即sin θ=sin αsin β.