五年高考真題高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第八章 第五節(jié) 空間垂直的判定與性質(zhì) 理全國通用
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1、 考點(diǎn) 空間垂直的判定與性質(zhì) 1.(20xx·浙江,8)如圖,已知△ABC,D是AB的中點(diǎn),沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD,所成二面角A′-CD-B的平面角為α,則( ) A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α 解析 極限思想:若α=π,則∠A′CB<π,排除D;若α=0,如圖,則∠A′DB,∠A′CB都可以大于0,排除A,C.故選B. 答案 B 2.(20xx·廣東,7)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是( )
2、A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關(guān)系不確定 解析 構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1,取l1為AD,l2為AA1,l3為A1B1,當(dāng)取l4為B1C1時(shí),l1∥l4,當(dāng)取l4為BB1時(shí),l1⊥l4,故排除A、B、C,選D. 答案 D 3.(20xx·新課標(biāo)全國Ⅱ,4)已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則( ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α與β相交,且交線垂直于l D.α與β相交,且交線平行于l 解析 ∵m⊥α,l⊥m,l?α ∴l(xiāng)∥α,
3、同理l∥β,又∵m,n為異面直線, ∴α與β相交,且l平行于交線,故選D. 答案 D 4.(20xx·新課標(biāo)全國Ⅱ,19)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點(diǎn)E,F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形. (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由); (2)求直線AF與平面α所成角的正弦值. 解 (1)交線圍成的正方形EHGF如圖: (2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EM=AA1=8. 因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH
4、==6,所以AH=10.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(xiàn)(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8). 設(shè)n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,則即所以可取n=(0,4,3).又=(-10,4,8),故|cos〈n,〉|==. 所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為. 5.(20xx·新課標(biāo)全國Ⅰ,18)如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E,F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)證明
5、:平面AEC⊥平面AFC, (2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值. (1)證明 連接BD,設(shè)BD∩AC=G,連接EG,F(xiàn)G,EF. 在菱形ABCD中,不妨設(shè)GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC=. 由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC. 在Rt △EBG中,可得BE=,故DF=. 在Rt △FDG中,可得FG=. 在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=, 從而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG. 又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC. 因?yàn)镋G?平面AEC,所以平面AEC⊥平面
6、AFC. (2)解 如圖,以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閤軸,y軸正方向,||為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz,由(1)可得A(0,-,0),E(1,0,),F(xiàn),C(0,,0),所以=(1,,),=. 故cos〈,〉==-. 所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為. 6.(20xx·新課標(biāo)全國Ⅰ,19)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C. (1)證明:AC=AB1; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角 A-A1B1-C1的余弦值. (1)證明 連接BC1,交B1C于點(diǎn)O,連接AO. 因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為
7、菱形,所以B1C⊥BC1,且O為B1C及BC1的中點(diǎn). 又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO. 由于AO?平面ABO,故B1C⊥AO. 又B1O=CO,故AC=AB1. (2)解 因?yàn)锳C⊥AB1,且O為B1C的中點(diǎn), 所以AO=CO. 又因?yàn)锳B=BC, 所以△BOA≌△BOC. 故OA⊥OB,從而OA,OB,OB1兩兩互相垂直. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,||為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz. 因?yàn)椤螩BB1=60°,所以△CBB1為等邊三角形.又AB=BC,則A,B(1,0,0),B1, C. =, ==, ==. 設(shè)n=(x,y
8、,z)是平面AA1B1的法向量, 則即 所以可取n=(1,,). 設(shè)m是平面A1B1C1的法向量,則 同理可取m=(1,-,). 則cos〈n,m〉==. 所以二面角A-A1B1-C1的余弦值為. 7.(20xx·廣東,18)如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于點(diǎn)F,F(xiàn)E∥CD,交PD于點(diǎn)E. (1)證明:CF⊥平面ADF; (2)求二面角D-AF-E的余弦值. (1)證明 ∵PD⊥平面ABCD, ∴PD⊥AD. 又CD⊥AD,PD∩CD=D, ∴AD⊥平面PCD. ∴AD⊥PC. 又AF⊥PC,AD∩AF=A, ∴
9、PC⊥平面ADF, 即CF⊥平面ADF. (2)解 法一 設(shè)AB=1,則在Rt△PDC中,CD=1, ∵∠DPC=30°, ∴PC=2,PD=,由(1)知CF⊥DF, ∴DF=,CF=. 又FE∥CD,∴==, ∴DE=. 同理EF=CD=. 如圖所示,以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,1), E,F(xiàn), P(,0,0),C(0,1,0). 設(shè)m=(x,y,z)是平面AEF的法向量, 則又 ∴ 令x=4,則z=,m=(4,0,). 由(1)知平面ADF的一個(gè)法向量為=(-,1,0), 設(shè)二面角D-AF-E的平面角為θ,可知θ為銳角, cos θ
10、=|cos〈m,〉|===. 故二面角D-AF-E的余弦值為. 法二 設(shè)AB=1, ∵CF⊥平面ADF,∴CF⊥DF. ∴在△CFD中,DF=, ∵CD⊥AD,CD⊥PD, ∴CD⊥平面ADE. 又∵EF∥CD, ∴EF⊥平面ADE.∴EF⊥AE, ∴在△DEF中,DE=,EF=, 在△ADE中,AE=, 在△ADF中,AF=. 由VA-DEF=·S△ADE·EF=·S△ADF·hE-ADF, 解得hE-ADF=, 設(shè)△AEF的邊AF上的高為h, 由S△AEF=·EF·AE=·AF·h, 解得h=×, 設(shè)二面角D-AF-E的平面角為θ. 則sin θ==××
11、=, ∴cos θ=. 8.(20xx·遼寧,19)如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F(xiàn)分別為AC,DC的中點(diǎn). (1)求證:EF⊥BC; (2)求二面角E-BF-C的正弦值. (1)證明 法一 過E作EO⊥BC,垂足為O,連接OF如圖1. 圖1 由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FOC. 所以∠EOC=∠FOC=, 即FO⊥BC. 又EO⊥BC,因此BC⊥面EFO, 又EF?面EFO, 所以EF⊥BC. 法二 由題意,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸
12、,在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖2所示空間直角坐標(biāo)系.易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0). 圖2 因而E(0,,),F(xiàn),所以=,=(0,2,0),因此·=0. 從而⊥, 所以EF⊥BC. (2)解 法一 在圖1中,過O作OG⊥BF,垂足為G,連接EG. 由平面ABC⊥平面BDC,從而EO⊥面BDC,又OG⊥BF,由三垂線定理知,EG⊥BF. 因此∠EGO為二面角E-BF-C的平面角. 在△EOC中,EO=EC=BC·cos 30°=,由△BGO∽△BFC知,OG=·FC=,因此tan∠EGO==2,從而sin∠EG
13、O=,即二面角E-BF-C的正弦值為. 法二 在圖2中,平面BFC的一個(gè)法向量為n1=(0,0,1). 設(shè)平面BEF的法向量n2=(x,y,z), 又=,=. 由 得其中一個(gè)n2=(1,-,1). 設(shè)二面角E-BF-C大小為θ,且由題意知θ為銳角,則 cos θ=|cos〈n1,n2〉|==, 因此sin θ==,即所求二面角的正弦值為. 9.(20xx·江西,19)如圖,四棱錐P-ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD. (1)求證:AB⊥PD; (2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,問AB為何值時(shí),四棱錐P-ABCD的體積最大?并求此時(shí)平面BPC與
14、平面DPC夾角的余弦值. (1)證明 ABCD為矩形,故AB⊥AD; 又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以AB⊥平面PAD,由PD?平面PAD,故AB⊥PD. (2)解 過P作AD的垂線,垂足為O,過O作BC的垂線,垂足為G,連接PG. 故PO⊥平面ABCD,BC⊥平面POG,BC⊥PG. 在Rt△BPC中,PG=,GC=,BG=. 設(shè)AB=m,則OP==, 故四棱錐P-ABCD的體積為 V=··m· = . 因?yàn)閙= =, 故當(dāng)m=,即AB=時(shí),四棱錐P-ABCD的體積最大. 此時(shí),建立如圖所示的坐標(biāo)系,各點(diǎn)的坐標(biāo)為O(0,0
15、,0),B, C,D, P. 故=, =(0,,0), =, 設(shè)平面BPC的一個(gè)法向量n1=(x,y,1),則由n1⊥, n1⊥得 解得x=1,y=0,n1=(1,0,1). 同理可求出平面DPC的一個(gè)法向量n2=.從而平面BPC與平面DPC夾角θ的余弦值為cos θ===. 10.(20xx·湖南,19)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形. (1)證明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值. (1)證明
16、因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1為矩形,所以CC1⊥AC,同理DD1⊥BD,因?yàn)镃C1∥DD1,所以CC1⊥BD,而AC∩BD=O,因此CC1⊥底面ABCD. 由題設(shè)知,O1O∥C1C,故O1O⊥底面ABCD. (2)解 法一 如圖,過O1作O1H⊥OB1于H,連接HC1. 由(1)知,O1O⊥底面ABCD,所以O(shè)1O⊥底面A1B1C1D1,于是O1O⊥A1C1. 又因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,所以四邊形A1B1C1D1是菱形, 因此A1C1⊥B1D1,從而A1C1⊥平面BDD1B1,所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1, 進(jìn)而OB1⊥C1H,故∠C
17、1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角. 不妨設(shè)AB=2.因?yàn)椤螩BA=60°,所以O(shè)B=,OC=1,OB1=. 在Rt△OO1B1中,易知O1H==2,而O1C1=1,于是C1H===. 故cos∠C1HO1===. 即二面角C1-OB1-D的余弦值為. 法二 因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,所以四邊形ABCD是菱形,因此AC⊥BD.又由(1)知O1O⊥底面ABCD,從而OB,OC,OO1兩兩垂直. 如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.不妨設(shè)AB=2,因?yàn)椤螩BA=60°,所以O(shè)B=,OC=
18、1. 于是相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為:O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2). 易知,n1=(0,1,0)是平面BDD1B1的一個(gè)法向量. 設(shè)n2=(x,y,z)是平面OB1C1的法向量, 則 即 取z=-,則x=2,y=2, 所以n2=(2,2,-), 設(shè)二面角C1-OB1-D的大小為θ,易知θ是銳角,于是 cos θ=|cos〈n1,n2〉|=||==. 故二面角C1-OB1-D的余弦值為. 11.(20xx·陜西,18)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=. (1)證明:A1C
19、⊥平面BB1D1D; (2)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大?。? 解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 由AB=AA1=可知O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),B1(-1,1,1),C(-1,0,0),A1(0,0,1),D1(-1,-1,1). (1)證明?。?-1,0,-1), =(0,2,0),=(-1,0,1), ·=0,·=0, 即A1C⊥DB,A1C⊥BB1,且DB∩BB1=B, ∴A1C⊥平面BB1D1D. (2)設(shè)平面OCB1的法向量n=(x,y,z), ∵=(-1,0,0), ∴=(-1,1,1),
20、∴ ∴ 取n=(0,1,-1), 由(1)知,=(-1,0,-1)是平面BB1D1D的法向量, ∴cos θ=|cos〈n,〉|==. 又0≤θ≤,∴θ=. 12.(20xx·遼寧,18)如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面, C是圓上的點(diǎn). (1)求證:平面PAC⊥平面PBC; (2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值. (1)證明 由AB是圓的直徑,得AC⊥BC, 由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,得PA⊥BC. 又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC. 所以BC⊥平面PAC. 又BC?平面PBC, 所以平面
21、PBC⊥平面PAC. (2)解 過C作CM∥AP,則CM⊥平面ABC. 如圖,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線CB,CA,CM為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 在Rt△ABC中,因?yàn)锳B=2,AC=1,所以BC=.因?yàn)镻A=1, 所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1). 故=(,0,0),=(0,1,1). 設(shè)平面BCP的法向量為n1=(x1,y1,z1), 則 所以 不妨令y1=1, 則n1=(0,1,-1). 因?yàn)椋?0,0,1),=(,-1,0), 設(shè)平面ABP的法向量為n2=(x2,y2,z2), 則所以 不妨令x2=1,則n2=(1,,0
22、). 于是cos〈n1,n2〉==. 所以由題意可知二面角C-PB-A的余弦值為. 13.(20xx·廣東,18)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)E在線段PC上,PC⊥平面BDE. (1)證明:BD⊥平面PAC; (2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值. (1)證明 ? (2)解 法一 由(1)得BD⊥平面PAC,AC?平面PAC, ∴BD⊥AC. 又四邊形ABCD為矩形, ∴四邊形ABCD是正方形. 設(shè)AC交BD于O點(diǎn),連接EO, ∵PC⊥平面BDE, ∴PC⊥BE,PC⊥EO. ∴∠BEO即為二
23、面角B-PC-A的平面角. ∵PA=1,AD=2, ∴AC=2,BO=OC=, ∴PC==3, 又OE===, 在直角三角形BEO中, tan∠BEO===3, ∴二面角B-PC-A的正切值為3. 法二 由(1)可知BD⊥面PAC,AC?平面PAC, ∴BD⊥AC, ∴矩形ABCD為正方形, 建立如圖所示的坐標(biāo)系 A-xyz,則 A(0,0,0), P(0,0,1), C(2,2,0), B(2,0,0). ∴=(0,0,1),=(2,2,0). 設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z), 則 令x=1,∴y=-1,z=0. 即n1=(1,-1,0). 同理求得面PBC的一個(gè)法向量為n2=(1,0,2). ∴cos〈n1,n2〉=. 設(shè)二面角B-PC-A的大小為α, 則cos α=, ∴sin α=, ∴tan α=3. ∴二面角B-PC-A的正切值為3.
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