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高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科: 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題學案 理 北師大版

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1、 第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 [考綱傳真] (教師用書獨具)1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決. (對應學生用書第97頁) [基礎知識填充] 1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域 一般地,直線l:ax+by+c=0把直角坐標平面分成了三個部分: (1)直線l上的點(x,y)的坐標滿足ax+by+c=0; (2)直線l一側的平面區(qū)域內的點(x,y)的坐標滿足ax+by+c>0; (3)直線l另一側的平面區(qū)域內的點

2、(x,y)的坐標滿足ax+by+c<0. 所以,只需在直線l的某一側的平面區(qū)域內,任取一特殊點(x0,y0),從ax0+by0+c值的正負,即可判斷不等式表示的平面區(qū)域. 2.線性規(guī)劃相關概念 名稱 意義 結束條件 由變量x,y組成的一次不等式組 線性約束條件 由x,y的一次不等式(或方程)組成的等式組 目標函數 欲求最大值或最小值的函數 線性目標函數 關于x,y的一次解析式 可行解 在線性規(guī)劃問題中,滿足約束條件的解(x,y) 可行域 由所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標函數取得最大值或最小值的可行解,通常在可行域的頂點處取得 二元線性規(guī) 劃問題

3、如果兩個變量滿足一組一次不等式,求這兩個變量的一次函數的最大值或最小值問題叫作二元線性規(guī)劃問題 3.重要結論 畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界,特殊點定域: (1)直線定界:不等式中無等號時直線畫成虛線,有等號時直線畫成實線; (2)特殊點定域:若直線不過原點,特殊點常選原點;若直線過原點,則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證. [知識拓展] 1.利用“同號上,異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域: 對于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,則有 (1)當B(Ax+By+C)>0時,區(qū)域為直線Ax+By+C=0的上方; (2)當B(Ax+By+C)<0時,區(qū)

4、域為直線Ax+By+C=0的下方. 2.最優(yōu)解和可行解的關系: 最優(yōu)解必定是可行解,但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一,有時唯一,有時有多個. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)不等式Ax+By+C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax+By+C=0的上方.(  ) (2)線性目標函數的最優(yōu)解可能不唯一.(  ) (3)目標函數z=ax+by(b≠0)中,z的幾何意義是直線ax+by-z=0在y軸上的截距.(  ) (4)最優(yōu)解指的是使目標函數取得最大值或最小值的可行解.(  ) [答案] (1)× (2)√ (3

5、)× (4)√ 2.(教材改編)不等式組表示的平面區(qū)域是(  ) C [x-3y+6<0表示直線x-3y+6=0左上方的平面區(qū)域,x-y+2≥0表示直線x-y+2=0及其右下方的平面區(qū)域,故選C.] 3.(20xx·全國卷Ⅰ)設x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值為(  ) A.0      B.1 C.2 D.3 D [根據題意作出可行域,如圖陰影部分所示,由z=x+y得y=-x+z. 作出直線y=-x,并平移該直線, 當直線y=-x+z過點A時,目標函數取得最大值. 由圖知A(3,0), 故zmax=3+0=3. 故選D.] 4.若點(m,1)在不等式2x

6、+3y-5>0所表示的平面區(qū)域內,則m的取值范圍是________. (1,+∞) [∵點(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面區(qū)域內,∴2m+3-5>0,即m>1.] 5.在平面直角坐標系中,不等式組表示的平面區(qū)域的面積是__________. 【導學號:79140199】 1 [不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示, 由x=1,x+y=0得A(1,-1), 由x=1,x-y-4=0得B(1,-3), 由x+y=0,x-y-4=0得C(2,-2), ∴|AB|=2,∴S△ABC=×2×1=1.] (對應學生用書第98頁) 二元一次不等式(組)表示

7、的平面區(qū)域  (1)(20xx·北京西城區(qū)二模)在平面直角坐標系中,不等式組表示的平面區(qū)域的面積是(  ) A.   B.   C.2   D.2 (2)若滿足條件的整點(x,y)恰有9個,其中整點是指橫、縱坐標都是整數的點,則整數a的值為(  ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 (1)B (2)C [(1)作出不等式組表示的平面區(qū)域是以點O(0,0),B(-2,0)和A(1,)為頂點的三角形區(qū)域,如圖所示的陰影部分(含邊界),由圖知該平面區(qū)域的面積為×2×=,故選B. (2)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,當a=0時,平面區(qū)域內只有4個整點(1,1

8、),(0,0),(1,0),(2,0);當a=-1時,正好增加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1)共5個整點,故選C. ] [規(guī)律方法] 確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法 (1)“直線定界,特殊點定域”,即先作直線,再取特殊點并代入不等式.若滿足不等式,則不等式表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側的那一側區(qū)域;否則就對應與特殊點異側的平面區(qū)域.不等式組表示的平面區(qū)域即為各不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分. (2)當不等式中不等號為≥或≤時,邊界為實線,不等號為>或<時,邊界應畫為虛線,若直線不過原點,特殊點常取原點. [跟蹤訓練] 若平面區(qū)域

9、夾在兩條斜率為1的平行直線之間,則這兩條平行直線間的距離的最小值是(  ) A.    B.    C.    D. B [根據約束條件作出可行域如圖中陰影部分,當斜率為1的直線分別過A點和B點時滿足條件,聯立方程組 求得A(1,2),聯立方程組求得B(2,1),可求得分別過A,B點且斜率為1的兩條直線方程為x-y+1=0和x-y-1=0,由兩平行線間的距離公式得距離為=,故選B.] 線性規(guī)劃中的最值問題 ◎角度1 求線性目標函數的最值  (20xx·全國卷Ⅱ)設x,y滿足約束條件則z=2x+y的最小值是(  ) A.-15 B.-9 C.1 D.9 A [不

10、等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示. 將目標函數z=2x+y化為y=-2x+z,作出直線y=-2x并平移,當直線y=-2x+z經過點A(-6,-3)時,z取最小值,且zmin=2×(-6)-3=-15. 故選A.] ◎角度2 求非線性目標函數的最值  (20xx·濟南一模)若變量x,y滿足約束條件則的最大值為(  ) A.1 B.3 C. D.5 C [在平面直角坐標系內畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域是以(1,1),,(2,2)為頂點的三角形區(qū)域(包含邊界)(圖略),表示平面區(qū)域內的點與原點的連線的斜率,由題意得點與原點的連線斜率最大,即的最大值為=,故選C.] ◎角

11、度3 線性規(guī)劃中的參數問題  (20xx·河南安陽一模)已知z=2x+y,其中實數x,y滿足且z的最大值是最小值的4倍,則a的值是(  ) 【導學號:79140200】 A. B. C.4 D. B [作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖: 由z=2x+y得y=-2x+z, 平移直線y=-2x, 由圖可知當直線y=-2x+z經過點A時,直線的縱截距最大, 此時z最大, 由解得 即A(1,1),zmax=2×1+1=3, 當直線y=-2x+z經過點B時,直線的縱截距最小, 此時z最小, 由解得 即B(a,a),zmin=2×a+a=3a, ∵z的最大值是最小值

12、的4倍, ∴3=4×3a,即a=,故選B.] [規(guī)律方法] 1.求目標函數最值的解題步驟 (1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數所表示的平行直線系中過原點的那一條直線; (2)平移——將直線平行移動,以確定最優(yōu)解的對應點的位置;最優(yōu)解一般在封閉圖形的邊界或頂點處取得. (3)求值——解方程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解),代入目標函數,即可求出最值. 2.常見的三類目標函數 (1)截距型:形如z=ax+by. 求這類目標函數的最值常將函數z=ax+by轉化為直線的斜截式:y=-x+,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值. (2)距離型:形如z=(x-a)2+(y

13、-b)2. (3)斜率型:形如z=. 易錯警示:注意轉化的等價性及幾何意義. [跟蹤訓練] (1)(20xx·全國卷Ⅲ)設x,y滿足約束條件則z=x-y的取值范圍是(  ) A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] (2)若變量x,y滿足則x2+y2的最大值是(  ) A.4 B.9 C.10 D.12 (3)(20xx·石家莊質檢(一))若x,y滿足,且z=3x-y的最大值為2,則實數m的值為(  ) A. B. C.1 D.2 (1)B (2)C (3)D [(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示. 由題意可知,當直線y

14、=x-z過點A(2,0)時,z取得最大值,即zmax=2-0=2;當直線y=x-z過點B(0,3)時,z取得最小值,即zmin=0-3=-3. 所以z=x-y的取值范圍是[-3,2]. 故選B. (2)作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.x2+y2表示平面區(qū)域內的點到原點距離的平方,由得A(3,-1),由圖易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.故選C. (3)若z=3x-y的最大值為2,則此時目標函數為y=3x-2,直線y=3x-2與3x-2y+2=0和x+y=1分別交于A(2,4),B,mx-y=0經過其中一點,所以m=2或m=,當m=時,經檢

15、驗不符合題意,故m=2,選D.] 線性規(guī)劃的實際應用  (20xx·全國卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料,生產一件產品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產一件產品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時.生產一件產品A的利潤為2 100元,生產一件產品B的利潤為900元.該企業(yè)現有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為________元. 216 000 [設生產產品A x件,產品B y件,則 目標函數z=2 100x+900y.

16、作出可行域為圖中的陰影部分(包括邊界)內的整數點,圖中陰影四邊形的頂點坐標分別為(60,100),(0,200),(0,0),(90,0). 當直線z=2 100x+900y經過點(60,100)時,z取得最大值,zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).] [規(guī)律方法] 解線性規(guī)劃應用題的步驟 (1)設變量.(2)列約束條件.(3)建目標函數.(4)畫可行域.(5)求最優(yōu)解.(6)作答. [跟蹤訓練] 某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用A,B兩種原料,已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(  ) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A.12萬元 B.16萬元 C.17萬元 D.18萬元 D [設每天生產甲、乙產品分別為x噸、y噸,每天所獲利潤為z萬元,則有z=3x+4y,作出可行域如圖陰影部分所示,由圖形可知,當直線z=3x+4y經過點A(2,3)時,z取最大值,最大值為3×2+4×3=18.]

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