《第一講 集合的概念與運算》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第一講 集合的概念與運算（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一講 集合的概念與運算 例題精講 板塊一 元素與子集 元素與子集是集合中最基本的概念.其基本題型如下： 1、 根據(jù)給定的集合性質(zhì)確定某元素是否屬于某集合或確定某待定元數(shù)值； 2、 對數(shù)集中的元素按某種規(guī)律排序并找出其中某個特定元素； 3、 對某集合中元素按特定運算規(guī)則進(jìn)行計算 4、 確定滿足某條件的子集個數(shù) 基本解題思路有：利用集合的互異性；分類討論或枚舉；對數(shù)集的元素排序；反證法等 【例1】 已知, ,且. 求x的所有可能值個數(shù) 【例2】 已知數(shù)集具有性質(zhì)：對任意的 ，，與兩數(shù)中至少有一個屬于． （Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)

2、，并說明理由； （Ⅱ）證明：，且； 【例3】 已知集合，,，且，則整數(shù)對的個數(shù)為 （ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【例4】 已知任意的記集合，，將M中的元素按從大到小順序排列，則第2005個數(shù)是 A. B. C. D. 【例5】 設(shè)，，若，則實數(shù)的取值范圍為 （ ） A． B． C． D． 【例6】 已知a為給定的實數(shù)，那么集

3、合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.4 D.不確定 【變式】 一個n元集的子集個數(shù)有多少個？非空子集個數(shù)有多少個？ 【例7】 對于集合和它的每一個非空子集，定義“交替和”如下： 把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù). 例如：的交替和為，{5}的交替和為5. 對于n=7,求所有這些交替和之和. 板塊二 集合的運算 集合的基本運算包括交并補(bǔ)運算，.其基本題型如下： 1、 給定兩個或多個集合對其做復(fù)雜的復(fù)合運算，只要先利

4、用函數(shù)或解析幾何等相關(guān)知識確定原始集合，就可以按部就班地計算出最后結(jié)果. 2、 題目中對集合定義某種新運算，要求按新運算來進(jìn)行計算. 但第一類題型往往要用到很多高中的知識作為基礎(chǔ)，因此放在以后的章節(jié)中逐漸滲透. 【例8】 集合A= ，B= ，求, 【例9】 定義集合運算：，設(shè)A={2,0},B={0,8}，則集合的所有元素之和為（） A.16 B.18 C.20 D.22 【例10】 已知集合 對于，，定義A與B的差和距離分別為 （Ⅰ）當(dāng)n=5時，設(shè)，求，； （Ⅱ）證明

5、：，且; (Ⅲ) 證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù) 板塊三 有限集的階 定義：有限集A的元素數(shù)目叫做這個集合的階，記作|A|. 注：高考中常記作card(A),本講義中一律寫作|A|. 求集合的階的問題通常與組合相關(guān)，特別是求滿足某給定條件的子集的階的最大值問題通常難度很大.這類問題在競賽中變化極多，難以掌握.此處僅舉數(shù)例說明，更深層次的問題將在學(xué)完組合基礎(chǔ)之后再來學(xué)習(xí). 【例11】 設(shè)集合 . 【例12】 S是的一個子集，且S中任兩數(shù)之差不能為4或7, （1） 證明：原集合中任11個連續(xù)整數(shù)中最多有5個能是S中元素. （

6、2） 試求 【例13】 已知A與B是集合{1，2，3，…，100}的兩個子集，滿足：A與B的元素個數(shù)相同，且A∩B為空集。若n∈A時總有2n+2∈B，則集合A∪B的元素個數(shù)最多為（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 【例14】 已知集合是集合的子集，且對任意，都有，則集合中的元素最多有多少個？ 【變式】 已知集合是集合的子集，且對任意，都有，則集合中的元素最多有（ ） （A）67個　　　?。˙）68個　　　?。–）69個　　　　　（D）70個 大顯身手 1． 集合M=，N=.M,N的關(guān)系為 （A）M

7、=N　（B）?。–）M為N的真子集　（D）N為M的真子集 2． 設(shè)集合A的元素都是正整數(shù)，滿足以下條件： (1) A的元素個數(shù)不小于3； (2) 若，則a的所有因數(shù)都屬于A； (3) 若，1

8、 6． 設(shè)集合A=, ,且，，，中所有元素之和為224.求集合A . 7． 設(shè),A是M的子集且滿足條件：當(dāng)時，，求.若將15換為17,19又如何. 譯者序： 本文譯自澳大利亞數(shù)學(xué)家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?”。 Tao 是調(diào)和分析、 微分方程、 組合數(shù)學(xué)、 解析數(shù)論等領(lǐng)域的大師級的年輕高手。 2006 年， 31 歲的 Tao 獲得了數(shù)學(xué)界的最高獎 Fields 獎， 成為該獎項七十年來最年輕的獲獎?wù)咧弧? 美國數(shù)學(xué)學(xué)會 (AMS) 對 Tao 的評價是： “他將精純的技巧、 超凡入圣的

9、獨創(chuàng)及令人驚訝的自然觀點融為一體”。 著名數(shù)學(xué)家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 獎得主) 的評價則是： “如果你有解決不了的問題， 那么找到出路的辦法之一就是引起 Terence Tao 的興趣”。 1. 數(shù)學(xué)品質(zhì)的諸多方面 我們都認(rèn)為數(shù)學(xué)家應(yīng)該努力創(chuàng)造好數(shù)學(xué)。 但 “好數(shù)學(xué)” 該如何定義？ 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前一個問題。 我們幾乎立刻能夠意識到有許多不同種類的數(shù)學(xué)都可以被稱為是 “好” 的。 比方說， “好數(shù)學(xué)” 可以指 (不分先后順序)： 好的數(shù)學(xué)題解 (比如在一個重要數(shù)學(xué)問題上的重大突破)； 好的數(shù)學(xué)技巧

10、(比如對現(xiàn)有方法的精湛運用， 或發(fā)展新的工具)； 好的數(shù)學(xué)理論 (比如系統(tǒng)性地統(tǒng)一或推廣一系列現(xiàn)有結(jié)果的概念框架或符號選擇)； 好的數(shù)學(xué)洞察 (比如一個重要的概念簡化， 或?qū)σ粋€統(tǒng)一的原理或主題的實現(xiàn))； 好的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) (比如對一個出人意料、 引人入勝的新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、 關(guān)聯(lián)或反例的揭示)； 好的數(shù)學(xué)應(yīng)用 (比如應(yīng)用于物理、 工程、 計算機(jī)科學(xué)、 統(tǒng)計等領(lǐng)域的重要問題， 或?qū)⒁粋€數(shù)學(xué)領(lǐng)域的結(jié)果應(yīng)用于另一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域)； 好的數(shù)學(xué)展示 (比如對新近數(shù)學(xué)課題的詳盡而廣博的概覽， 或一個清晰而合理的論證)； 好的數(shù)學(xué)教學(xué) (比如能讓他人更有效地學(xué)習(xí)及研究數(shù)學(xué)的講義或?qū)懽黠L(fēng)格， 或?qū)?shù)學(xué)教育的

11、貢獻(xiàn))； 好的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)見 (比如富有成效的長遠(yuǎn)計劃或猜想)； 待續(xù) 好的數(shù)學(xué)品味 (比如自身有趣且對重要課題、 主題或問題有影響的研究目標(biāo))； 好的數(shù)學(xué)公關(guān) (比如向非數(shù)學(xué)家或另一個領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家有效地展示數(shù)學(xué)成就)； 好的元數(shù)學(xué) (比如數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、 哲學(xué)、 歷史、 學(xué)識或?qū)嵺`方面的進(jìn)展)； [ 嚴(yán)密的數(shù)學(xué) (所有細(xì)節(jié)都正確、 細(xì)致而完整地給出)； 美麗的數(shù)學(xué) (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恒等式； 陳述簡單漂亮， 證明卻很困難的結(jié)果)； 優(yōu)美的數(shù)學(xué) (比如 Paul E

12、rdos 的 “來自天書的證明” 觀念； 通過最少的努力得到困難的結(jié)果)； 創(chuàng)造性的數(shù)學(xué) (比如本質(zhì)上新穎的原創(chuàng)技巧、 觀點或各類結(jié)果)； 有用的數(shù)學(xué) (比如會在某個領(lǐng)域的未來工作中被反復(fù)用到的引理或方法)； 強(qiáng)有力的數(shù)學(xué) (比如與一個已知反例相匹配的敏銳的結(jié)果， 或從一個看起來很弱的假設(shè)推出一個強(qiáng)得出乎意料的結(jié)論)； 深刻的數(shù)學(xué) (比如一個明顯非平凡的結(jié)果， 比如理解一個無法用更初等的方法接近的微妙現(xiàn)象)； 直觀的數(shù)學(xué) (比如一個自然的、 容易形象化的論證)； 明確的數(shù)學(xué) (比如對某一類型的所有客體的分類； 對一個數(shù)學(xué)課題的結(jié)論)； 其它。 如上所述， 數(shù)學(xué)品質(zhì)這一概念是一

13、個高維的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在顯而易見的標(biāo)準(zhǔn)排序[注二]。 我相信這是由于數(shù)學(xué)本身就是復(fù)雜和高維的， 并且會以一種自我調(diào)整及難以預(yù)料的方式而演化； 上述每種品質(zhì)都代表了我們作為一個群體增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解及運用的不同方式。 至于上述品質(zhì)的相對重要性或權(quán)重， 看來并無普遍的共識。 這部分地是由于技術(shù)上的考慮： 一個特定時期的某個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展也許更易于接納一種特殊的方法； 部分地也是由于文化上的考慮： 任何一個特定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)W派都傾向于吸引具有相似思維、 喜愛相似方法的數(shù)學(xué)家。 它同時也反映了數(shù)學(xué)能力的多樣性： 不同的數(shù)學(xué)家往往擅長不同的風(fēng)格， 因而適應(yīng)不同類型的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)。 · 學(xué)習(xí)之外 陶哲軒談什么是好數(shù)學(xué) 5 高一·聯(lián)賽班·第1講·教師版