《備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 糾錯(cuò)筆記系列 專題11 統(tǒng)計(jì) 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 糾錯(cuò)筆記系列 專題11 統(tǒng)計(jì) 文（47頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題11 統(tǒng)計(jì) 易錯(cuò)點(diǎn)1 不能正確區(qū)分總體、樣本、樣本容量 為了了解2016年參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)的240名運(yùn)動(dòng)員的身高情況，從中抽取40名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行測(cè)量．下列說(shuō)法正確的是 A．總體是240名運(yùn)動(dòng)員 B．個(gè)體是每一名運(yùn)動(dòng)員 C．40名運(yùn)動(dòng)員的身高是一個(gè)個(gè)體 D．樣本容量是40 【錯(cuò)解】選擇A、B、C中的一個(gè). 【錯(cuò)因分析】對(duì)于選項(xiàng)A、B，對(duì)總體、個(gè)體、樣本的概念把握不準(zhǔn)，誤將考察的對(duì)象當(dāng)作運(yùn)動(dòng)員；對(duì)于選項(xiàng)C，把個(gè)體和樣本混淆致誤． 【試題解析】選D．根據(jù)統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念并結(jié)合題意可得，此題的總體、個(gè)體、樣本這三個(gè)概念的考察對(duì)象都是運(yùn)動(dòng)員的身高，而不是運(yùn)動(dòng)員，并且一個(gè)個(gè)體是指

2、一名運(yùn)動(dòng)員的身高，選項(xiàng)A，B表達(dá)的對(duì)象都是運(yùn)動(dòng)員，選項(xiàng)C未將個(gè)體和樣本理解透徹．在這個(gè)問(wèn)題中，總體是240名運(yùn)動(dòng)員的身高，個(gè)體是每名運(yùn)動(dòng)員的身高，樣本是40名運(yùn)動(dòng)員的身高，樣本容量是40.因此選D． 【參考答案】D． 1．明確相關(guān)概念 對(duì)總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的概念要熟練把握，要明確總體與樣本的包含關(guān)系及樣本與樣本容量的區(qū)別，如本例選項(xiàng)C，是對(duì)概念把握不準(zhǔn)． 2．注意考察對(duì)象 解決考查總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的概念問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是明確考察對(duì)象，根據(jù)相關(guān)的概念可知總體、個(gè)體與樣本的考察對(duì)象是相同的，如本例中選項(xiàng)A，B表達(dá)的對(duì)象都是運(yùn)動(dòng)員的身高而不是運(yùn)動(dòng)員． 1．為了了解中

3、國(guó)好聲音第二季的56名學(xué)員的年齡情況,從中抽取14名學(xué)員進(jìn)行調(diào)查,則下列說(shuō)法正確的是 A．總體是56 ???? B．個(gè)體是每一名學(xué)員 C．樣本是14名學(xué)員 ????? D．樣本容量是14 【答案】D 易錯(cuò)點(diǎn)2 對(duì)隨機(jī)抽樣的概念理解不透徹 對(duì)于下列抽樣方法: ①運(yùn)動(dòng)員從8個(gè)跑道中隨機(jī)抽取1個(gè)跑道;②從20個(gè)零件中一次性拿出3個(gè)來(lái)檢驗(yàn)質(zhì)量;③某班50名學(xué)生,指定其中成績(jī)優(yōu)異的2名學(xué)生參加一次學(xué)科競(jìng)賽;④為了保證食品安全,從某廠提供的一批月餅中,拿出一個(gè)檢查后放回,再拿一個(gè)檢查,反復(fù)5次,拿了5個(gè)月餅進(jìn)行檢查.其中,屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的是_______.(把正確的序號(hào)都填上

4、) 【錯(cuò)解】②③④ 【錯(cuò)因分析】對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念理解不透徹. 【試題解析】對(duì)于②,一次性拿出3個(gè)來(lái)檢驗(yàn)質(zhì)量,違背簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣特征中的“逐個(gè)”抽取;對(duì)于③,指定其中成績(jī)優(yōu)異的2名學(xué)生,不滿足等可能抽樣的要求;對(duì)于④,不滿足不放回抽樣的要求.故填①. 【參考答案】① 1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是不放回抽樣，抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)(概率)相等. 2．應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣應(yīng)注意的問(wèn)題： (1)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)： 一是抽簽是否方便； 二是號(hào)簽是否易攪勻． 一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法． (2)在使用隨機(jī)數(shù)表時(shí)，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時(shí)，可從

5、選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計(jì)起，每三個(gè)或四個(gè)作為一個(gè)單位，自左向右選取，有超過(guò)總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去． (3)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣需滿足： ①被抽取的樣本總體的個(gè)體數(shù)有限； ②逐個(gè)抽?。? ③是不放回抽??； ④是等可能抽?。? 2．從52名學(xué)生中選取5名學(xué)生參加全國(guó)“希望杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽,若采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取,則每人入選的可能性 A．都相等,且為 B．都相等,且為 C．都相等,且為 D．都不相等 【答案】C 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣在抽樣過(guò)程中每一個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)都相等(隨機(jī)抽樣的等可能性).若樣本容量為n,總體的個(gè)體數(shù)為N,則用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣時(shí),每一個(gè)個(gè)體被抽到

6、的可能性都是,體現(xiàn)了這種抽樣方法的客觀性和公平性. 易錯(cuò)點(diǎn)3 對(duì)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)理解不到位 從2003名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為40的樣本,應(yīng)如何抽取? 【錯(cuò)解】將2003名學(xué)生按0001到2003編上號(hào);將號(hào)碼隨機(jī)分成40份,每一份再用抽簽法隨機(jī)抽取一名學(xué)生,即得到了一個(gè)容量為40的樣本. 【錯(cuò)因分析】由于2003不能被40整除,誤以為只能用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣進(jìn)行抽取,對(duì)兩種抽樣方法的特點(diǎn)理解不到位. 【試題解析】先將2003名學(xué)生按0001到2003編上號(hào),利用隨機(jī)數(shù)表法從中剔除3名學(xué)生,再對(duì)剩余的2000名學(xué)生重新從0001到2000編號(hào),按編號(hào)順序分成40組,每組50人

7、,先在第一組中用抽簽法抽出某一號(hào),如0006,依次在其他組抽取0056,0106,…,1956,這樣就得到了一個(gè)容量為40的樣本. 【參考答案】見(jiàn)試題解析 1．當(dāng)總體容量較大,總體可以分為均勻的幾個(gè)部分時(shí),用系統(tǒng)抽樣較為合理,但當(dāng)總體容量除以樣本容量不是整數(shù)時(shí),要先在總體中剔除部分個(gè)體. 2．系統(tǒng)抽樣的操作步驟： 第一步編號(hào)：先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)； 第二步分段：確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段，當(dāng)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k=； 第三步確定首個(gè)個(gè)體：在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)； 第四步獲取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)

8、個(gè)體編號(hào)，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本． 系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，取，即先從總體中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法剔除(N－nk)個(gè)個(gè)體，且剔除多余的個(gè)體不影響抽樣的公平性． 3．某裝訂廠平均每小時(shí)大約裝訂圖書362冊(cè),需要檢驗(yàn)員每小時(shí)抽取40冊(cè)圖書檢驗(yàn)其質(zhì)量狀況,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)抽樣方案. 【答案】抽樣方案見(jiàn)解析. 【解析】由于總體容量較大,樣本容量也較大,且個(gè)體間無(wú)明顯差異,所以采用系統(tǒng)抽樣的方法,步驟如下: 第一步,先從362冊(cè)圖書中剔除2冊(cè)圖書(剔除方法可用隨機(jī)數(shù)法); 第二步,將余下的360冊(cè)圖書編號(hào)為1,2,…,360

9、,并均勻分成40段,每段含k==9個(gè)個(gè)體; 第三步,從第1段即1,2,…,9這9個(gè)編號(hào)中,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)編號(hào)(如6)作為起始號(hào); 第四步,從6開(kāi)始,再將編號(hào)為15,24, …,357的個(gè)體抽出,得到一個(gè)容量為40的樣本. 易錯(cuò)點(diǎn)4 對(duì)個(gè)體的入樣可能性與抽樣間隔理解不透 中央電視臺(tái)動(dòng)畫城節(jié)目為了對(duì)本周的熱心觀眾給予獎(jiǎng)勵(lì)，要從2014名小觀眾中抽取50名幸運(yùn)小觀眾．先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣方法抽取50人，則在2014人中，每個(gè)人被抽取的可能性 A．均不相等 B．不全相等 C．都相等，且為 D．都相等，且為 【錯(cuò)解】選A

10、或D. 【錯(cuò)因分析】對(duì)于選項(xiàng)A，誤認(rèn)為剔除14人，被抽取到的機(jī)會(huì)就不相等了，錯(cuò)選A； 對(duì)于選項(xiàng)D，認(rèn)為被抽取的機(jī)會(huì)相等，但利用了剔除后的數(shù)據(jù)計(jì)算，錯(cuò)選D． 【試題解析】選C．因?yàn)樵谙到y(tǒng)抽樣中，若所給的總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除，則應(yīng)先剔除幾個(gè)個(gè)體，本題先剔除14人，然后再分組，在剔除過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會(huì)相等．所以，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，均為＝. 【參考答案】C． 1．明確系統(tǒng)抽樣的操作要領(lǐng) 系統(tǒng)抽樣操作要領(lǐng)是先將個(gè)體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先指定的規(guī)則，從每一部分中抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需樣本．系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是相等的，如

11、本題中2000人要分為50段． 2．對(duì)系統(tǒng)抽樣合理分段 在系統(tǒng)抽樣過(guò)程中，為將整個(gè)編號(hào)分段，要確定分段間隔，當(dāng)在系統(tǒng)抽樣過(guò)程中比值不是整數(shù)時(shí)，要從總體中剔除一些個(gè)體(用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)，但每一個(gè)個(gè)體入樣的機(jī)會(huì)仍然相等．如本題中剔除14人后，每個(gè)人被抽取的可能性不變． 4．從72名志愿者中抽取10名志愿者進(jìn)行專業(yè)興趣調(diào)查，若采用系統(tǒng)抽樣，則每名志愿者被抽到的可能性是 A． B． C． D． 【答案】D 在系統(tǒng)抽樣中,總體的每個(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會(huì)是均等的,也就是每個(gè)個(gè)體不被剔除的機(jī)會(huì)也是均等的,由此可知在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)仍然相等. 若計(jì)算為：每名志愿

12、者被抽到的可能性為，則是錯(cuò)誤的. 易錯(cuò)點(diǎn)5 忽略分層抽樣的特點(diǎn) 某單位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,為了調(diào)查他們的身體情況,需從中抽取一個(gè)容量為36的樣本,則適合的抽樣方法是 A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．系統(tǒng)抽樣 C．直接運(yùn)用分層抽樣 D．先從老年人中剔除1人,再用分層抽樣 【錯(cuò)解】因?yàn)榭傮w由差異明顯的三部分組成,所以考慮用分層抽樣.因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為28+54+81=163,樣本容量為36,由于按抽樣,無(wú)法得到整數(shù)解,因此考慮先剔除1人,將抽樣比變?yōu)?若從老年人中隨機(jī)地剔除1人,則老年人應(yīng)抽取27×=6(人),中年人應(yīng)抽取54×=12(人),青年人應(yīng)抽取81×=18(人

13、),從而組成容量為36的樣本.故選D． 【錯(cuò)因分析】如果用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣先從老年人中剔除1人的話,老年人被抽到的概率顯然比其他人群小了,這不符合隨機(jī)抽樣的特征——每個(gè)個(gè)體入樣的幾率相等.注意題干明確地說(shuō)“先從老年人中剔除1人”,這和以前做的從總體中隨機(jī)剔除1人是不一樣的. 【試題解析】直接運(yùn)用分層抽樣,老年人、中年人和青年人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為×28≈6,×54≈12,×81≈18,故選C． 【方法點(diǎn)睛】分層抽樣的一個(gè)很重要的特點(diǎn)是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是一樣的.當(dāng)按照比例計(jì)算出的值不是整數(shù)時(shí),一般是采用四舍五入的方法取值,若四舍五入后得到的樣本容量與要求的不盡相同,則可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義適

14、當(dāng)處理,使之相同,這只是細(xì)節(jié)性問(wèn)題,并未改變分層抽樣的本質(zhì). 【參考答案】C. 1．分層抽樣的前提和遵循的兩條原則 (1)前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小，每層中所抽取的個(gè)體數(shù)可按各層個(gè)體數(shù)在總體的個(gè)體數(shù)中所占比例抽取． (2)遵循的兩條原則： ①將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則； ②分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比． 2．與分層抽樣有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略： (1)求某一層的樣本數(shù)或總體

15、個(gè)數(shù)．可依據(jù)題意求出抽樣比，再由某層總體個(gè)數(shù)(或樣本數(shù))確定該層的樣本(或總體)數(shù)． (2)求各層的樣本數(shù)．可依據(jù)題意，求出各層的抽樣比，再求出各層樣本數(shù)． 進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： (1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊． (2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同． (3)在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣． 5．某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)某一節(jié)目的喜愛(ài)程度進(jìn)行調(diào)查,參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12000人,其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示: 很喜愛(ài)

16、 喜愛(ài) 一般 不喜愛(ài) 2435 4567 3926 1072 電視臺(tái)為了進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和意見(jiàn),打算從中再抽取60人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查,應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣? 在分層抽樣中,確定抽樣比k是抽樣的關(guān)鍵.一般地,抽樣比k=(N為總體容量,n為樣本容量),再按抽樣比k 在各層中抽取個(gè)體,就能確保抽樣的公平性.在每層抽樣時(shí),應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行. 易錯(cuò)點(diǎn)6 誤將頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)當(dāng)作頻率 中小學(xué)生的視力狀況受到社會(huì)的關(guān)注.某市有關(guān)部門從全市6萬(wàn)名高一學(xué)生中隨機(jī)抽取400名學(xué)生,對(duì)他們的視力狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì),將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻

17、率分布直方圖,如圖所示,從左至右五個(gè)小組的頻率之比為5∶7∶12∶10∶6,則該市6萬(wàn)名高一學(xué)生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有多少人? 【錯(cuò)解】由圖可知,第五小組的頻率為0.5,所以第一小組的頻率為0.5×. 所以該市6萬(wàn)名高一學(xué)生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有60000×=25000(人). 【錯(cuò)因分析】表面上看本題的回答似乎正確無(wú)誤,其實(shí)答案是錯(cuò)誤的,其錯(cuò)因在于沒(méi)有看懂所提供的頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)的含義,誤將該頻率分布直方圖中的縱坐標(biāo)(頻率與組距的比)看成了頻率,從而導(dǎo)致問(wèn)題的解答出錯(cuò). 【試題解析】由圖可知,第五小組的頻率為0.5×0.3=

18、0.15, 所以第一小組的頻率為0.15×=0.125. 所以該市6萬(wàn)名高一學(xué)生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有60000×0.125=7500(人). 【參考答案】7500. 在數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,縱坐標(biāo)表示的是頻率與組距的比, 每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積＝組距×＝頻率，將頻率與組距的比錯(cuò)認(rèn)成頻率是初學(xué)者經(jīng)常犯的錯(cuò)誤之一,解題過(guò)程中要引起足夠的重視. 1．畫頻率分布直方圖的步驟 （1）求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)； （2）決定組距與組數(shù)； （3）將數(shù)據(jù)分組； （4）列頻率分布表； （5）畫頻率分布直方圖(以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距

19、的比值). 2．頻率分布直方圖的性質(zhì) （1）落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的面積表示，且各小長(zhǎng)方形的面積的和等于1. （2）頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系 ①最高的小長(zhǎng)方形中的某個(gè)（些）點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)； ②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的； ③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和． 繪制頻率分布直方圖的注意事項(xiàng)： (1)計(jì)算極差，需要找出這組數(shù)的最大值和最小值，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時(shí)，可選一個(gè)數(shù)當(dāng)參照． (2)將一批數(shù)據(jù)分組，目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來(lái)確定分組數(shù)目，一般來(lái)說(shuō)

20、，數(shù)據(jù)越多，分組越多． (3)將數(shù)據(jù)分組，決定分點(diǎn)時(shí)，一般使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)． (4)列頻率分布表時(shí)，可通過(guò)逐一判斷各個(gè)數(shù)據(jù)落在哪個(gè)小組內(nèi)，以“正”字確定各個(gè)小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)． (5)畫頻率分布直方圖時(shí)，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，一定不能標(biāo)成頻率． 6．為了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的體重(單位：千克)情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖，如圖所示，已知圖中從左到右的前三個(gè)小組的頻率之比為，其中第2小組的頻數(shù)為12，則該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)為_(kāi)_______． 【答案】48 頻率分布直方圖是用樣本估計(jì)總體的

21、一種重要方法，是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個(gè)命題角度： (1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與總體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù)． (2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形及某范圍結(jié)合求解． (3)與概率有關(guān)的綜合問(wèn)題，可先求出頻率，再利用古典概型等知識(shí)求解. 易錯(cuò)點(diǎn)7 對(duì)莖葉圖的畫法規(guī)則認(rèn)識(shí)不夠 某市對(duì)上下班情況作了抽樣調(diào)查,上下班時(shí)間各抽測(cè)了12輛機(jī)動(dòng)車的車速如下(單位:km/h): 上班時(shí)間:30,33,18,27,32,

22、40,26,28,21,28,35,20; 下班時(shí)間:27,19,32,29,36,29,30,22,25,16,17,30.用莖葉圖表示以上數(shù)據(jù). 【錯(cuò)解】機(jī)動(dòng)車行駛速度的莖葉圖如圖所示. 【錯(cuò)因分析】莖葉圖對(duì)于重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄. 【試題解析】機(jī)動(dòng)車行駛速度的莖葉圖如圖. 【方法點(diǎn)睛】畫莖葉圖需要注意,將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖和葉兩部分,將表示莖的數(shù)字按照大小順序由上到下排列,在寫每行葉子的時(shí)候,重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字應(yīng)該按原次數(shù)寫入葉子部位,不能只按一次寫入. 【參考答案】見(jiàn)試題解析. 1．莖葉圖將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為莖，個(gè)位數(shù)字作為葉，莖相同者共用一個(gè)莖，莖按從小到

23、大的順序從上向下列出，共莖的葉可以按從大到小(或從小到大)的順序同行列出(也可以沒(méi)有大小順序)． 2．繪制莖葉圖的關(guān)鍵是分清莖和葉．一般地說(shuō)，當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位數(shù)時(shí)，十位上的數(shù)字為“莖”，個(gè)位上的數(shù)字為“葉”；如果是小數(shù)，通常把整數(shù)部分作為“莖”，小數(shù)部分作為“葉”．解題時(shí)要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)合理地選擇莖和葉． 3．應(yīng)用莖葉圖對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較時(shí)，要從數(shù)據(jù)分布的對(duì)稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾方面來(lái)比較． 4．莖葉圖只適用于樣本數(shù)據(jù)較少的情況． 在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好．它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來(lái)方便．但是當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，莖葉圖就顯

24、得不太方便，因?yàn)槊恳粋€(gè)數(shù)據(jù)都要在圖中占據(jù)一個(gè)空間，如果數(shù)據(jù)很多，枝葉就會(huì)很長(zhǎng)． 7．甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn),在培訓(xùn)期間他們參加的5次預(yù)賽成績(jī)記錄如下: 甲:82,82,79,95,87 乙:95,75,80,90,85 （1）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù); （2）求甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)與方差; （3）若現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適,說(shuō)明理由? 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）甲的成績(jī)的平均數(shù)為85，方差為31.6，乙的成績(jī)的平均數(shù)為85，方差為50；（3）派甲參賽比較合理，理由見(jiàn)解析. 【解析】（1）以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉,作出莖葉圖如圖所

25、示: （3）派甲參賽比較合理. 理由是甲,乙的平均分一樣,證明平均成績(jī)一樣,而甲的方差小于乙的方差,則證明甲的成績(jī)更穩(wěn)定. 易錯(cuò)點(diǎn)8 忽略方差的統(tǒng)計(jì)意義 甲、乙兩種冬小麥實(shí)驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位:t /km2): 品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 若某村要從中引進(jìn)一種冬小麥大量種植,給出你的建議. 【錯(cuò)解】由題意得(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10, (9.4+10.3+10.8+9.7+

26、9.8)=10, 甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)量都等于10,所以引進(jìn)兩種冬小麥的任意一種都可以. 【錯(cuò)因分析】上述錯(cuò)誤在于只對(duì)兩種冬小麥的平均產(chǎn)量做了比較,而忽略了對(duì)冬小麥產(chǎn)量穩(wěn)定性的討論. 【試題解析】由題意得(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10, (9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10, ×[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]=0.02, ×[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]=0.244, 甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)

27、量都等于10,且, 所以產(chǎn)量比較穩(wěn)定的為甲種冬小麥,推薦引進(jìn)甲種冬小麥大量種植. 【方法點(diǎn)睛】平均數(shù)反映的是樣本個(gè)體的平均水平,方差和標(biāo)準(zhǔn)差則反映了樣本的波動(dòng)、離散程度.對(duì)于形如“誰(shuí)發(fā)揮更好、誰(shuí)更穩(wěn)定、誰(shuí)更優(yōu)秀”之類的題目,除比較數(shù)據(jù)的平均值外,還應(yīng)該比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差的大小,以作出更為公正、合理的判斷. 【參考答案】推薦引進(jìn)甲種冬小麥大量種植. 用樣本估計(jì)總體時(shí),樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似.實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等時(shí)，需先分析平均水平，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差(方差)分析穩(wěn)定情況. 1．平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述. 2

28、．眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，平均數(shù)是最重要的量.平均數(shù)反映的是樣本個(gè)體的平均水平，眾數(shù)和中位數(shù)則反映樣本中個(gè)體的“重心”. 3．?dāng)?shù)據(jù)的離散程度可以通過(guò)極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述，極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度，它對(duì)一組數(shù)據(jù)中的極端值極為敏感.一般情況下,極差大,則數(shù)據(jù)波動(dòng)性大;極差小,則數(shù)據(jù)波動(dòng)性小.極差只需考慮兩個(gè)極端值,便于計(jì)算,但沒(méi)有考慮中間的數(shù)據(jù),可靠性較差.方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動(dòng)；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定． 8．3月是植樹(shù)造林的最佳季節(jié),某公園打算在3.12植樹(shù)節(jié)前后引種一

29、批名優(yōu)樹(shù)種.現(xiàn)有甲、乙兩家苗木場(chǎng)各送來(lái)一批同種樹(shù)苗,該公園園林部從中分別抽取100棵測(cè)量其高度,得到如下頻率分布表: 高度(cm) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻率 甲苗木場(chǎng) 0.18 0.24 0.26 0.32 乙苗木場(chǎng) 0.20 0.30 0.30 0.20 （1）分別算出甲、乙兩家苗木場(chǎng)樹(shù)苗樣本高度的平均值,; （2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)可算得兩個(gè)方差:=120.16,=105.0,結(jié)合（1）中算出的數(shù)據(jù),如果你是該公園園林部主管,你將選擇哪家苗木場(chǎng)的樹(shù)苗?說(shuō)明你的觀點(diǎn). 【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析. （2）

30、觀點(diǎn)一:選擇乙場(chǎng)的樹(shù)苗,因?yàn)槠涮峁┑臉?shù)苗高度方差較小,成長(zhǎng)較整齊,種在公園里比較好看. 觀點(diǎn)二:選擇甲場(chǎng)的樹(shù)苗,因?yàn)槠涮峁┑臉?shù)苗平均高度較大,說(shuō)明長(zhǎng)勢(shì)較好,且方差較大,種在公園里顯得高矮錯(cuò)落有致,更能體現(xiàn)空間美感. (注:兩種觀點(diǎn)寫一種即可) 一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)都是唯一的，眾數(shù)不唯一，可以有一個(gè)，也可以有多個(gè)，還可以沒(méi)有.如果有兩個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這兩個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù). 易錯(cuò)點(diǎn)9 運(yùn)用數(shù)字特征作評(píng)價(jià)時(shí)考慮不周 一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中,兩組學(xué)生成績(jī)?nèi)缦? 分?jǐn)?shù) 50 60 70 80 90 100 人數(shù) 甲組

31、 2 5 10 13 14 6 乙組 4 4 16 2 12 12 經(jīng)計(jì)算,已知兩個(gè)組的平均分都是80分,請(qǐng)根據(jù)所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),進(jìn)一步判斷這次競(jìng)賽中哪個(gè)組更優(yōu)秀,并說(shuō)明理由. 【錯(cuò)解】由于乙組90分以上的人數(shù)比甲組90分以上的人數(shù)多,所以乙組更優(yōu)秀. 【錯(cuò)因分析】對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的時(shí)候,應(yīng)從平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、極差等多個(gè)角度進(jìn)行判斷. 【試題解析】(1)甲組成績(jī)的眾數(shù)為90分,乙組成績(jī)的眾數(shù)為70分,從成績(jī)的眾數(shù)這一角度看,甲組成績(jī)好些. (2)×[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(

32、90-80)2+6×(100-80)2]=172. 同理=256. 因?yàn)?所以甲組的成績(jī)比乙組的成績(jī)穩(wěn)定. (3)甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分,其中甲組成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的有33人,乙組成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的有26人,從這一角度看,甲組成績(jī)總體較好. (4)從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表看,甲組成績(jī)大于或等于90分的有20人,乙組成績(jī)大于或等于90分的有24人,所以乙組成績(jī)?cè)诟叻侄蔚娜藬?shù)多.同時(shí),乙組滿分比甲組多6人,從這一角度看,乙組成績(jī)較好. 【參考答案】見(jiàn)解析. 1．平均數(shù)受個(gè)別極端數(shù)據(jù)(比其他數(shù)據(jù)大很多或小很多的數(shù)據(jù))的影響較大,因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端

33、數(shù)據(jù)時(shí),平均數(shù)對(duì)總體估計(jì)的可靠性較差,往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計(jì)總體.有時(shí)也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計(jì)總體. 2．運(yùn)用數(shù)字特征進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí),要全面考慮各數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn),從不同層面或兩兩綜合進(jìn)行評(píng)價(jià),才能得到較為可靠的估計(jì). 9．小明是班里的優(yōu)秀學(xué)生，他的歷次數(shù)學(xué)成績(jī)是96,98,95,93分，但最近的一次考試成績(jī)只有45分，原因是他帶病參加了考試．期末評(píng)價(jià)時(shí)，怎樣給小明評(píng)價(jià)？ 【答案】?jī)?yōu)秀. 這5次數(shù)學(xué)考試的平均分是＝85.4，則按平均分給小明的評(píng)價(jià)是“良好”． 這種評(píng)價(jià)是不合理的，盡管平均分是反映一組數(shù)據(jù)平均水平的重要特征，但任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起它

34、的變化，而中位數(shù)則不受某些極端值的影響． 本題中的5個(gè)成績(jī)從小到大排列為：45,93,95,96,98，中位數(shù)是95，較為合理地反映了小明的數(shù)學(xué)水平，因而應(yīng)該用中位數(shù)來(lái)衡量小明的數(shù)學(xué)成績(jī)． 易錯(cuò)點(diǎn)10 弄錯(cuò)回歸方程中，的位置 某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚? （1）畫出散點(diǎn)圖. （2）求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的線性回歸方程. 【錯(cuò)解】（1）散點(diǎn)圖如圖所示： （2）計(jì)算得，， ， ， 所以，. 所以y對(duì)x的線性回歸方程是. 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中回歸方程記憶錯(cuò)誤，應(yīng)為. 【試題解析】（1）散點(diǎn)圖如圖所示： （2）計(jì)算得，， ， ， 所以，.

35、所以y對(duì)x的線性回歸方程是. 【參考答案】. 由回歸直線方程得到的預(yù)報(bào)值不是預(yù)報(bào)變量的精確值，事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值. 1．求回歸直線方程的一般步驟： （1）作出散點(diǎn)圖，依據(jù)問(wèn)題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，觀察點(diǎn)的分布是否呈條狀分布，即是否在一條直線附近，從而判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系． （2）當(dāng)兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，求回歸系數(shù)，寫出回歸直線方程． （3）根據(jù)方程進(jìn)行估計(jì). 2．不要受前面學(xué)習(xí)的直線方程的影響，而將回歸方程寫為，實(shí)際上，回歸方程應(yīng)為. 10．某地區(qū)2008年至2016年糧食產(chǎn)量的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表: （1）求該地區(qū)2

36、008年至2016年的糧食年產(chǎn)量與年份之間的線性回歸方程; （2）利用（1）中的回歸方程,分析2008年至2016年該地區(qū)糧食產(chǎn)量的變化情況,并預(yù)測(cè)該地區(qū) 2018年的糧食產(chǎn)量. 附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為. 【答案】（1）；（2）299. 2萬(wàn)噸. （2）由（1）知,,故2008年至2016年該地區(qū)糧食產(chǎn)量逐年增加,平均每?jī)赡暝黾?. 5 萬(wàn)噸. 將代入（1）中的線性回歸方程,得, 故預(yù)測(cè)該地區(qū)2018 年的糧食產(chǎn)量為299. 2萬(wàn)噸. 回歸系數(shù)的含義是： （1）代表x每增加一個(gè)單位,y的平均增加單位數(shù),而不是增加單位數(shù). （2）當(dāng)>0時(shí),兩個(gè)

37、變量呈正相關(guān)關(guān)系,含義為：x每增加一個(gè)單位,y平均增加個(gè)單位數(shù)； 當(dāng)<0時(shí),兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系,含義為：x每增加一個(gè)單位,y平均減少個(gè)單位數(shù). 易錯(cuò)點(diǎn)11 忽略求回歸方程的前提——線性相關(guān) 假設(shè)某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)用如下表中統(tǒng)計(jì)資料所示: 使用年限x(年) 1 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用y(萬(wàn)元) 5.0 0.8 0.5 6.5 7.0 1.2 能否用線性回歸模型描述兩個(gè)變量間的關(guān)系？ 【錯(cuò)解】求出相關(guān)的數(shù)據(jù)直接代入公式求得=0.16,=2.94, 則線性回歸方程為=0.16x+2.94. 故可以用線性回歸模型描述兩個(gè)變量之間的關(guān)

38、系. 【錯(cuò)因分析】沒(méi)有先判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系. 【試題解析】畫出散點(diǎn)圖,如圖所示, 從散點(diǎn)圖上看,這些點(diǎn)的分布幾乎沒(méi)有什么規(guī)則,故不能用線性回歸模型描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系. 【參考答案】不能用線性回歸模型描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系. 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)： 共同點(diǎn)：二者都是指兩個(gè)變量間的關(guān)系． 不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系． 1．兩個(gè)變量x與y相關(guān)關(guān)系的判斷方法： (1)散點(diǎn)圖法：通過(guò)散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律，直觀地判斷；如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體

39、上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響． (2)表格、關(guān)系式法：結(jié)合表格或關(guān)系式進(jìn)行判斷； (3)經(jīng)驗(yàn)法：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷． 2．求線性回歸方程時(shí)，先利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否存在線性相關(guān)關(guān)系，只有在兩個(gè)變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，求出的線性回歸方程才有意義.否則，如果兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，即使由樣本數(shù)據(jù)求出回歸方程，用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的結(jié)果也是不可信的. 11．在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)數(shù)值如下表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 試建立y與x之間的回歸方

40、程． 【答案】. 【解析】由數(shù)值表可作散點(diǎn)圖如圖所示： 根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝，令t＝，則y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋? t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)如圖所示： 由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系．列表如下： i ti yi tiyi 1 4 16 64 16 256 2 2 12 24 4 144 3 1 5 5 1 25 4 0.5 2 1 0.25 4 5 0.25 1 0.25 0.062

41、5 1 ∑ 7.75 36 94.25 21.3125 430 所以＝1.55，＝7.2， 所以，， 所以. 所以y與x的回歸方程是. 若兩變量間的關(guān)系不是線性相關(guān)關(guān)系，應(yīng)觀察分析其散點(diǎn)圖，找出擬合函數(shù)，通過(guò)變量代換再作線性回歸．如果本題直接如下求解： ∵＝＝1.55，＝＝7.2， ＝0.25×16＋0.5×12＋1×5＋2×2＋4×1＝23， ＝0.252＋0.52＋12＋22＋42＝21.3125，＝162＋122＋52＋22＋12＝430. ∴. ，∴＝12.67－3.53x. 這種解法是錯(cuò)誤的，原因是這兩個(gè)變量之間不是線性相關(guān)關(guān)系．此類問(wèn)題的解決

42、，應(yīng)先對(duì)兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，然后結(jié)合作出的散點(diǎn)圖，選擇適宜的回歸方程． 易錯(cuò)點(diǎn)12 沒(méi)有準(zhǔn)確掌握公式中參數(shù)的含義 有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門考試，按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)后，得到如下的列聯(lián)表： 班級(jí)與成績(jī)列聯(lián)表： 優(yōu)秀 不優(yōu)秀 總計(jì) 甲班 10 35 45 乙班 7 38 45 總計(jì) 17 73 90 試問(wèn)能有多大把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”？ 參考公式及數(shù)據(jù)：,其中． 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【錯(cuò)解】計(jì)算得的觀測(cè)值為， 因?yàn)?

43、6.86＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”． 【錯(cuò)因分析】由于對(duì)2×2列聯(lián)表中a、b、c、d的位置不清楚，在代入公式時(shí)代錯(cuò)了數(shù)值導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的錯(cuò)誤． 【試題解析】計(jì)算得的觀測(cè)值為， 因?yàn)?.653＜3.841，所以沒(méi)有充分證據(jù)認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”． 【參考答案】沒(méi)有充分證據(jù)認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”． 獨(dú)立性檢驗(yàn)中，參數(shù)K2的公式復(fù)雜，計(jì)算量大，要弄清公式的特點(diǎn)，熟記公式，小心計(jì)算，避免粗心致誤． 解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，首先由題目所給的2×2列聯(lián)表確定a,b,c,d,n的值，然后代入隨機(jī)變量的計(jì)算公式求出觀測(cè)值k，將k與臨界值k0進(jìn)行對(duì)比,確定

44、有多大的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”. 列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù),它只是總體的代表,具有隨機(jī)性,因此,需要用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法確認(rèn)所得結(jié)論在多大程度上適用于總體.即獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說(shuō)結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問(wèn)題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對(duì)某個(gè)問(wèn)題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的解釋. 12．中國(guó)神舟十一號(hào)載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射,引起全國(guó)轟動(dòng).開(kāi)學(xué)后,某校高二年級(jí)班主任對(duì)該班進(jìn)行了一次調(diào)查,發(fā)現(xiàn)全班60名同學(xué)中,對(duì)此事關(guān)注的占,他們?cè)诒緦W(xué)期期末考試中的物理成績(jī)(滿分100分)如下面的

45、頻率分布直方圖: (1)求“對(duì)此事關(guān)注”的同學(xué)的物理成績(jī)的平均分(以各區(qū)間的中點(diǎn)代表該區(qū)間的均值). (2)若物理成績(jī)不低于80分的為優(yōu)秀,請(qǐng)以是否優(yōu)秀為分類變量, ①補(bǔ)充下面的列聯(lián)表: 物理成績(jī)優(yōu)秀 物理成績(jī)不優(yōu)秀 總計(jì) 對(duì)此事關(guān)注 對(duì)此事不關(guān)注 總計(jì) ②是否有以上的把握認(rèn)為“對(duì)此事是否關(guān)注”與“物理成績(jī)是否優(yōu)秀”有關(guān)系? 參考公式及數(shù)據(jù)：,其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87

46、9 10.828 【答案】（1）(分)；（2）①見(jiàn)解析；②沒(méi)有以上的把握認(rèn)為“對(duì)此事是否關(guān)注”與“物理成績(jī)是否優(yōu)秀”有關(guān)系. 【解析】(1) “對(duì)此事關(guān)注”的同學(xué)的物理成績(jī)的平均分為 6595(分). (2)①補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下: 物理成績(jī)優(yōu)秀 物理成績(jī)不優(yōu)秀 總計(jì) 對(duì)此事關(guān)注 8 12 20 對(duì)此事不關(guān)注 8 32 40 總計(jì) 16 44 60 ②由①中的列聯(lián)表可得的觀測(cè)值為, 所以沒(méi)有以上的把握認(rèn)為“對(duì)此事是否關(guān)注”與“物理成績(jī)是否優(yōu)秀”有關(guān)系. 一、三種抽樣方法 1．三種抽樣方法的比較 類別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系

47、適用范圍 簡(jiǎn)單隨 機(jī)抽樣 是不放回抽樣，抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)(概率)相等 從總體中逐個(gè)抽取 — 總體中的個(gè)數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則，在各部分抽取 在起始部分抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)數(shù)比較多 分層抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 各層抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或者系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 2．抽樣方法的選取方法 (1)若總體由差異明顯的幾個(gè)層次組成，則選用分層抽樣． (2)若總體沒(méi)有差異明顯的層次，則考慮采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣． 當(dāng)總體容量較小時(shí)宜用抽簽法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時(shí)宜用

48、隨機(jī)數(shù)表法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時(shí)宜用系統(tǒng)抽樣． 利用系統(tǒng)抽樣的兩個(gè)關(guān)鍵步驟： (1)分組，當(dāng)總體個(gè)數(shù)N能被樣本容量n整除時(shí)，分為n個(gè)組，分段間隔k＝； (2)獲取樣本用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣在第一組抽取起始數(shù)s，通常把起始數(shù)s加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(s＋k)，再加上k得第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(s＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取樣本． 二、用樣本估計(jì)總體 1．?dāng)?shù)字特征 （1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 數(shù)字特征 定義 與頻率分布直方圖的關(guān)系 眾數(shù) 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù) 最高的小長(zhǎng)方形中的某個(gè)（些）點(diǎn)的橫坐標(biāo) 中位數(shù) 將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間

49、兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)) 中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的 平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù) 每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和 （2）極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差． 方差：. 標(biāo)準(zhǔn)差：. （3）性質(zhì) ①若的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)為. ②數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)平移后方差不變． ③若的方差為s2，那么的方差為. 2．統(tǒng)計(jì)表 （1）頻率分布的估計(jì)：頻率分布是指各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小，可以用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，頻率分布表是反映樣本的頻率分布的表格．通過(guò)頻率分布直方圖和頻率分布表可以看到樣本的頻率分

50、布． （2）盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但是在實(shí)際應(yīng)用中我們并不知道它的具體表達(dá)形式，需要用樣本來(lái)估計(jì)．由于樣本是隨機(jī)的，不同的樣本得到的頻率分布折線圖不同；即使對(duì)于同一個(gè)樣本，不同的分組情況得到的頻率分布折線圖也不同．頻率分布折線圖是隨樣本容量和分組情況的變化而變化的，因此不能用樣本的頻率分布折線圖得到準(zhǔn)確的總體密度曲線． （3）估計(jì)總體分布的步驟是： ①選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒◤目傮w中抽取樣本，即收集數(shù)據(jù)． ②利用樣本數(shù)據(jù)畫出統(tǒng)計(jì)圖或計(jì)算數(shù)字特征． ③結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖分析樣本取值的分布規(guī)律． ④用樣本取值的分布規(guī)律估計(jì)總體分布，由于是用科學(xué)抽樣抽取的樣本，那么樣本與總體取值的分布規(guī)律

51、近似，有時(shí)也可看成相同. ⑤利用總體分布解決有關(guān)問(wèn)題． （4）各種統(tǒng)計(jì)表的優(yōu)點(diǎn)與不足 優(yōu)點(diǎn) 不足 頻率分布表 表示數(shù)據(jù)較確切 分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢(shì)不方便 頻率分布直方圖 表示數(shù)據(jù)分布情況非常直觀 原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉了 頻率分布折線圖 能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì) 不能顯示原有數(shù)據(jù) 莖葉圖 一是所有的信息都可以從這個(gè)莖葉圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況 樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，不方便表示數(shù)據(jù) 頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線都是描述樣本數(shù)據(jù)分布情況，估計(jì)總體頻率分布規(guī)律的，其聯(lián)系如下：

52、三、變量間的相關(guān)關(guān)系 1．相關(guān)關(guān)系 當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．即相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系． 當(dāng)一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也由小變大，則這兩個(gè)變量正相關(guān)； 當(dāng)一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，而另一個(gè)變量的值由大變小，則這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān). 2．散點(diǎn)圖 將樣本中的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖． 從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)． 具有正相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖1，具有負(fù)相關(guān)關(guān)系的

53、兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖2. 3．回歸分析 如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，則這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線． 回歸直線對(duì)應(yīng)的方程叫做回歸直線方程(簡(jiǎn)稱回歸方程)． 4．回歸方程的求解 （1）求回歸方程的方法是最小二乘法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最?。? 若變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，有n個(gè)樣本數(shù)據(jù)，則回歸方程中，. 其中，稱為樣本點(diǎn)的中心． （2）線性回歸模型，其中稱為隨機(jī)誤差，自變量稱為解釋變量，因變量稱為預(yù)報(bào)變量． ①回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，這個(gè)結(jié)論既是檢驗(yàn)所求回歸直線方程是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個(gè)依據(jù)．

54、 ②利用回歸直線方程不但可以預(yù)測(cè)在x取某一個(gè)值時(shí)，y的估計(jì)值，同時(shí)也能知道x每增加1個(gè)單位，的變化量． ③在回歸直線方程中，既表示直線的斜率，又表示自變量x的取值每增加一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)y的改變量． 5．相關(guān)系數(shù) （1）樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式 我們可以利用相關(guān)系數(shù)來(lái)定量地衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算公式為. （2）樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì) ①； ②當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)； ③|r|越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)； ④|r|越接近于0，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱. 6．非線性回歸分析 對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，可以通過(guò)變

55、量轉(zhuǎn)換，把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線性回歸問(wèn)題，然后用線性回歸的方法進(jìn)行研究． 在大量的實(shí)際問(wèn)題中，所研究的兩個(gè)變量不一定都呈線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)兩變量y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，要借助散點(diǎn)圖，與已學(xué)過(guò)的函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象相比較，找到合適的函數(shù)模型，利用變量代換轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系，從而使問(wèn)題得以解決． 求非線性回歸方程的步驟： ①確定變量，作出散點(diǎn)圖． ②根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)． ③變量置換，通過(guò)變量置換把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，并求出線性回歸方程． ④分析擬合效果：通過(guò)計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來(lái)判斷擬合效果． ⑤根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回

56、歸方程． 7．刻畫回歸效果的方式 方式方法 計(jì)算公式 刻畫效果 越接近于1，表示回歸的效果越好 殘差圖 稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差， 殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精確度越高. 殘差平方和 殘差平方和越小，模型的擬合效果越好 四、獨(dú)立性檢驗(yàn) 1．獨(dú)立性檢驗(yàn) 利用隨機(jī)變量(也可表示為)(其中為樣本容量)來(lái)判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)． 2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟 (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表； (2)計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值k，查下表確定臨界值k0：

57、 (3)如果，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”． (1)通常認(rèn)為時(shí)，樣本數(shù)據(jù)就沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”． (2)獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說(shuō)結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問(wèn)題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對(duì)某個(gè)問(wèn)題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的解釋． (3)獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的判斷． 1．從總體為的一批零件中

58、使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)容量為40的樣本,若某個(gè)零件在第2次抽取時(shí)被抽到的可能性為1%,則 A．100 B．4000 C．101 D．4001 【答案】B 2．某中學(xué)進(jìn)行初中與高中各年級(jí)的期末考試,該校共有50個(gè)考場(chǎng),每個(gè)考場(chǎng)有30個(gè)考生,每個(gè)考生的座位號(hào)按1~30號(hào)隨機(jī)編排,每個(gè)考場(chǎng)抽取座位號(hào)為18號(hào)考生的試卷進(jìn)行評(píng)分,這種抽樣方法是 A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．系統(tǒng)抽樣 C．分層抽樣 D．分組抽樣 【答案】B 【解析】如果將每個(gè)考場(chǎng)的考生的座位號(hào)按從小到大的順序排列,在50個(gè)考場(chǎng)中每個(gè)考場(chǎng)抽取座位號(hào)為18號(hào)的考生的試卷,即系統(tǒng)抽樣,故選B． 3．對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)

59、行線性回歸分析,計(jì)算得到相關(guān)系數(shù),則下列說(shuō)法中正確的是 A．與正相關(guān) B．與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系 C．與幾乎不具有線性相關(guān)關(guān)系 D．與的線性相關(guān)關(guān)系還需進(jìn)一步確定 【答案】B 4．福利彩票“雙色球”中紅色球的號(hào)碼由編號(hào)為01,02,…,33的33個(gè)個(gè)體組成,某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6組數(shù)作為6個(gè)紅色球的編號(hào),選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來(lái)的第6個(gè)紅色球的編號(hào)為 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77

60、04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A．23 B．09 C．17 D．02 【答案】D 【解析】從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出的6個(gè)紅色球的編號(hào)依次為21,32,09,16,17,02,故選出的第6個(gè)紅色球的編號(hào)為02. 5．某疾病研究所想知道吸煙與患肺病是否有關(guān),于是隨機(jī)抽取1000名成年人調(diào)查是否吸煙及是否患有肺病,得到2×2列聯(lián)表,經(jīng)計(jì)算得,已知在假設(shè)吸煙與患肺病無(wú)關(guān)的前提條件下,,則該研究所可以 A．有95%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病有關(guān)” B．有95%以上的把握認(rèn)為“吸煙

61、與患肺病無(wú)關(guān)” C．有99%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病有關(guān)” D．有99%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病無(wú)關(guān)” 【答案】A 【解析】由獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論結(jié)合題意可知:有95%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病有關(guān)”.故選A. 6．某市疾病控制中心對(duì)某校高二學(xué)生進(jìn)行了某項(xiàng)健康調(diào)查,調(diào)查的方法是采取分層抽樣的方法抽取樣本.我校高二學(xué)生共有2000人,抽取了一個(gè)200人的樣本,其中男生103人,請(qǐng)問(wèn)該校共有女生 A．970人 B．1030人 C．997人 D．206人 【答案】A 7．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖,則甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)之和是

62、 A．51 B．58 C．61 D．62 【答案】D 【解析】由莖葉圖可知,甲的這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)為27,乙的這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)為35, 所以甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)之和是27+35=62. 8．已知一組數(shù)據(jù)3,5,7,x,10的平均數(shù)為6,則這組數(shù)據(jù)的方差為 A． B．6 C． D．5 【答案】C 【解析】由題意,得3+5+7+x+10=6×5,得x=5, 所以這組數(shù)據(jù)的方差為s2=(9+1+1+1+16)=. 9．采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問(wèn)卷調(diào)查,為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1,2,…,1000,適當(dāng)分組后在第一組采用簡(jiǎn)

63、單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為8.抽到的50人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1,400]的人做問(wèn)卷A,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[401,750]的人做問(wèn)卷B,其余的人做問(wèn)卷C,則抽到的人中,做問(wèn)卷C的人數(shù)為 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 10．為了全面推進(jìn)素質(zhì)教育,教育部門對(duì)某省500所中小學(xué)進(jìn)行調(diào)研考評(píng),考評(píng)分?jǐn)?shù)在80以上(包括80分)的授予“素質(zhì)教育先進(jìn)學(xué)?！狈Q號(hào),考評(píng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,則應(yīng)授予“素質(zhì)教育先進(jìn)學(xué)?！狈Q號(hào)的學(xué)校的個(gè)數(shù)為 A．175 B．145 C

64、．180 D．240 【答案】A 【解析】由頻率和為1可知x=0.1-(0.040+0.020+0.010+0.005)=0.025, 故應(yīng)授予“素質(zhì)教育先進(jìn)學(xué)?！狈Q號(hào)的學(xué)校有(0.025+0.010)×10×500=175(所). 11．某廠家為了解銷售轎車臺(tái)數(shù)與廣告宣傳費(fèi)之間的關(guān)系,得到如表所示的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:根據(jù)數(shù)據(jù)表可得回歸直線方程其中據(jù)此模型預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為9萬(wàn)元時(shí),銷售轎車臺(tái)數(shù)為 廣告費(fèi)用萬(wàn)元) 2 3 4 5 6 銷售轎車臺(tái)數(shù)) 3 4 6 10 12 A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 12．采用系統(tǒng)抽樣的方

65、法從800名學(xué)生中抽取50名學(xué)生進(jìn)行視力檢査.為此,將他們隨機(jī)編號(hào)為1,2,3,…,800,若在116號(hào)中隨機(jī)抽到的號(hào)碼數(shù)為7,則從3348這16個(gè)號(hào)碼數(shù)中應(yīng)抽取的號(hào)碼為_(kāi)_______. 【答案】39 【解析】33?48應(yīng)在第3組中，故應(yīng)抽取的號(hào)碼為. 13．已知x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差為10,則10x1-1,10x2-1,…,10x6-1的標(biāo)準(zhǔn)差是________.? 【答案】100 【解析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的定義可得10x1-1,10x2-1,…,10x6-1的標(biāo)準(zhǔn)差是100. 14．《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問(wèn)題:“今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持錢一百八十,

66、凡三人俱出關(guān),關(guān)稅百錢,欲以錢數(shù)多少衰出之,問(wèn)各幾何?”其意為:“僅有甲帶了560錢,乙?guī)Я?50錢,丙帶了180錢,三人一起出關(guān),共需要交關(guān)稅100錢,依照錢的多少按比例出錢”,則丙應(yīng)出________錢(所得結(jié)果四舍五入,保留整數(shù)). 【答案】17 【解析】設(shè)丙應(yīng)出x錢,由題意可得,求解可得錢. 15．為了判斷高中二年級(jí)學(xué)生選修文科或理科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下的2×2列聯(lián)表: 理科 文科 總計(jì) 男 13 10 23 女 7 20 27 總計(jì) 20 30 50 已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025，根據(jù)表中數(shù)據(jù),可得有________的把握認(rèn)為選修文科或理科與性別有關(guān). 【答案】95% 16．某市在每年的春節(jié)后,市政府都會(huì)發(fā)動(dòng)公務(wù)員參與到植樹(shù)活動(dòng)中去.林管部門在植樹(shù)前,為保證樹(shù)苗的質(zhì)量,都會(huì)在植樹(shù)前對(duì)樹(shù)苗進(jìn)行檢測(cè).現(xiàn)從甲、乙兩種樹(shù)苗中各抽取了10株樹(shù)苗,量出的高度如下(單位:厘米). 甲:37,21,31,20,29,19,32,23,25,33; 乙:10,30,47,