《高考數(shù)學一輪復習 第二章 第4課時 函數(shù)的奇偶性和周期性課件 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高考數(shù)學一輪復習 第二章 第4課時 函數(shù)的奇偶性和周期性課件 理(65頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)第第4課時函數(shù)的奇偶性和周期性課時函數(shù)的奇偶性和周期性 1了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義,并能運用奇偶性的定義判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性 2掌握奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖像對稱關系,并能熟練地利用對稱性解決函數(shù)的綜合問題 請注意 函數(shù)的奇偶性在高考中占有重要的地位,在命題時主要是與函數(shù)的概念、圖像、性質綜合在一起考查而近幾年的高考中加大了對非三角函數(shù)的周期性和抽象函數(shù)的奇偶性、周期性的考查力度 1奇函數(shù)、偶函數(shù)、奇偶性 對于函數(shù)f(x),其定義域關于原點對稱: (1)如果對于函數(shù)定義域內任意一個x,都有 ,那么函數(shù)f(x)就是奇函數(shù); (2)如果對于函數(shù)定義域內
2、任意一個x,都有 ,那么函數(shù)f(x)就是偶函數(shù); (3)如果一個函數(shù)是奇函數(shù)(或偶函數(shù)),那么稱這個函數(shù)在其定義域內具有奇偶性f(x)f(x)f(x)f(x) 2證明函數(shù)奇偶性的方法步驟 (1)確定函數(shù)定義域關于對稱; (2)判定f(x)f(x)(或f(x)f(x),從而證得函數(shù)是奇(偶)函數(shù)原點 3奇偶函數(shù)的性質 (1)奇函數(shù)圖像關于 對稱,偶函數(shù)圖像關于 對稱; (2)若奇函數(shù)f(x)在x0處有意義,則f(0); (3)若奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上分別單調,則其單調性 ; 若偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上分別單調,則其單調性 (4)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則f(x)f(|x|),反
3、之也成立y軸0一致相反原點 4一些重要類型的奇偶函數(shù) (1)函數(shù)f(x)axax為函數(shù),函數(shù)f(x)axax為函數(shù);偶奇奇 奇 奇 5周期函數(shù) 若f(x)對于定義域中任意x均有 (T為不等于0的常數(shù)),則f(x)為周期函數(shù) 6函數(shù)的對稱性 若f(x)對于定義域中任意x,均有f(x)f(2ax),或f(ax)f(ax),則函數(shù)f(x)關于對稱f(xT)f(x)xa 1判斷下列說法是否正確(打“”或“”) (1)偶函數(shù)圖像不一定過原點,奇函數(shù)的圖像一定過原點 (2)函數(shù)f(x)0,x(0,)即是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù),則函數(shù)yf(x)關于直線xa對稱 (4)若函數(shù)yf(
4、xb)是奇函數(shù),則函數(shù)yf(x)關于點(b,0)中心對稱 (6)若函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x),則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù) 答案(1)(2)(3)(4)(5)(6) 答案D 3(2014新課標全國)設函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結論中正確的是() Af(x)g(x)是偶函數(shù) B|f(x)|g(x)是奇函數(shù) Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù) D|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 答案C 解析利用函數(shù)奇偶性的定義求解A項,令h(x)f(x)g(x),則h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x),h(x)是奇函數(shù),A錯
5、 B項,令h(x)|f(x)|g(x),則h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x),h(x)是偶函數(shù),B錯 C項,令h(x)f(x)|g(x)|,則h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x),h(x)是奇函數(shù),C正確D項,令h(x)|f(x)g(x)|,則h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x),h(x)是偶函數(shù),D錯 4若函數(shù)yf(x)(xR)是奇函數(shù),則下列坐標表示的點一定在函數(shù)yf(x)圖像上的是() A(a,f(a) B(a,f(a) C(a,f(a) D(a,f(a) 答案B 解析函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)
6、,f(a)f(a) 即點(a,f(a)一定在函數(shù)yf(x)的圖像上 答案3 例1判斷下列函數(shù)的奇偶性,并證明 (1)f(x)x3x; (2)f(x)x3x1; (3)f(x)x2|x|1,x1,4; (4)f(x)|x1|x1|;題型一題型一 判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性 【解析】(3)由于f(x)x2|x|1,x1,4的定義域不是關于原點對稱的區(qū)間,因此,f(x)是非奇非偶函數(shù) (4)函數(shù)的定義域x(,),關于原點對稱 f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x), f(x)|x1|x1|是奇函數(shù) 【答案】(1)奇函數(shù)(2)非奇非偶函數(shù)(3)非奇非偶(4)奇函數(shù)(5)奇函
7、數(shù)(6)偶函數(shù) 探究1判斷函數(shù)的奇偶性,一般有以下幾種方法: (1)定義法:若函數(shù)的定義域不是關于原點對稱的區(qū)間,則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);若函數(shù)的定義域是關于原點對稱的區(qū)間,再判斷f(x)是否等于f(x) (2)圖像法:奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖像關于原點(或y軸)對稱 (3)性質法:偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)(注:利用上述結論時要注意各函數(shù)的定義域)判斷下列函數(shù)的奇偶性思考題思考題1 (3)方法一:f(x)的定義域為R, 當x0時,
8、x0, f(x)(x)22(x)x22xf(x) 當x0時,f(0)0f(0) 當x0時,x0, f(x)(x)22(x)x22xf(x) 對于xR總有f(x)f(x) f(x)為偶函數(shù) 方法二:當x0時,f(x)x22xx22|x|. 當x0時,f(x)x22xx22|x|. f(x)x22|x|. f(x)(x)22|x|x22|x|f(x) f(x)為偶函數(shù) 【答案】(1)奇函數(shù)(2)奇函數(shù)(3)偶函數(shù) 例2(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域為R,x0時,f(x)x1,f(x)的解析式為_ (3)若函數(shù)f(x1)為偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸方程為_題型二題型二 奇偶性的應用
9、奇偶性的應用 【解析】(1)f(x)為奇函數(shù),f(x)f(x) 當x0時,有f(0)f(0),f(0)0. 當x0時,x0. f(x)f(x)(x1)x1. (3)f(x1)為偶函數(shù), 函數(shù)g(x)f(x1)的圖像關于直線x0對稱 又函數(shù)f(x)的圖像是由函數(shù)g(x)f(x1)的圖像向右平移一個單位而得到, 函數(shù)f(x)的圖像關于直線x1對稱 探究2奇偶函數(shù)的性質主要體現(xiàn)在: (1)若f(x)為奇函數(shù),則f(x)f(x); 若f(x)為偶函數(shù),則f(x)f(x) (2)奇偶函數(shù)的對稱性 (3)奇偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性(1)若函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且在0,)上是減函數(shù),則滿足
10、f()f(a)的實數(shù)a的取值范圍是_ 【解析】若a0,f(x)在0,)上是減函數(shù), 且f()f(a),得a,0a. 若a0,f()f(),則由f(x)在0,)上是減函數(shù),得知f(x)在(,0上是增函數(shù) 由于f().即a0. 由上述兩種情況知a(,) 【答案】(,)思考題思考題2 (2)若函數(shù)yf(x2)為奇函數(shù),則函數(shù)yf(x)的圖像的對稱中心為_ 【解析】f(x2)為奇函數(shù), f(x2)的圖像的對稱中心為(0,0) 又f(x)的圖像可由函數(shù)f(x2)的圖像向左平移兩個單位而得, f(x)的圖像的對稱中心為(2,0) 【答案】(2,0) 例3設函數(shù)f(x)在(,)上滿足f(2x)f(2x),f
11、(7x)f(7x),且在閉區(qū)間0,7上,只有f(1)f(3)0. (1)證明:函數(shù)f(x)為周期函數(shù); (2)試求方程f(x)0在閉區(qū)間2 005,2 005上的根的個數(shù),并證明你的結論 【思路】用周期函數(shù)的定義證明題型三題型三 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 (2)f(3)f(1)0, f(11)f(13)f(7)f(9)0,故f(x)在0,10和10,0上均有兩個解 從而可知函數(shù)yf(x)在0,2 005上有402個解, 在2 005,0上有400個解, 所以函數(shù)yf(x)在2 005,2 005上有802個解 【答案】(1)略(2)802個 探究3(1)證明函數(shù)是周期函數(shù)應緊扣周期函數(shù)的定義
12、(2)若函數(shù)f(x)對任意x滿足f(xa)f(xb),則f(x)為周期函數(shù)若函數(shù)f(x)對任意x滿足f(xa)f(bx),則函數(shù)圖像為軸對稱圖形思考題思考題3 f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5) 22.53,由題意,得f(2.5)2.5. f(105.5)2.5. 【答案】2.5 (2)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足對任意xR,都有f(x8)f(x)f(4),且x0,4時,f(x)4x,則f(2 015)的值為_ 【解析】f(4)0,f(x8)f(x),T8. f(2 015)f(7)f(1)f(1)3. 【答案】3 例4已知f(x)為偶函數(shù),且f(1x)f(1x),當
13、x0,1時,f(x)x1,求x5,7時,f(x)的解析式 【解析】方法一:f(1x)f(1x), f(x)f(2x),f(x)為周期函數(shù),T2. f(x)為偶函數(shù), x1,0時,x0,1 f(x)f(x)x1. x5,6時,x61,0 f(x)f(x6)(x6)1x5. x6,7時,x60,1 f(x)f(x6)(x6)1x7. 方法二:f(1x)f(1x), T2.又f(x)是偶函數(shù), f(x)在R上的圖像如圖: 探究4高考中對函數(shù)周期性的考查,主要涉及函數(shù)周期性的判斷,利用函數(shù)周期性求值,以及解決與周期有關的函數(shù)綜合問題解決此類問題的關鍵是充分利用題目提供的信息,找到函數(shù)的周期,利用周期在
14、有定義的范圍上進行求解設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x,恒有f(x2)f(x)當x0,2時,f(x)2xx2. (1)求證:f(x)是周期函數(shù); (2)當x2,4時,求f(x)的解析式; (3)計算f(0)f(1)f(2)f(2 015) 【解析】(1)f(x2)f(x), f(x4)f(x2)f(x) f(x)是周期為4的周期函數(shù)思考題思考題4 (2)當x2,0時,x0,2,由已知得 f(x)2(x)(x)22xx2. 又f(x)是奇函數(shù),f(x)f(x)2xx2. f(x)x22x. 又當x2,4時,x42,0, f(x4)(x4)22(x4) 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)
15、, f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8. 從而求得x2,4時,f(x)x26x8. (3)f(0)0,f(2)0,f(1)1,f(3)1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù), f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0. f(0)f(1)f(2)f(2 015)0. 【答案】(1)略(2)f(x)x26x8,x2,4(3)0 常用結論記心中,快速解題特輕松: 1(1)若f(x)定義域不對稱,則f(x)不具有奇偶性 (2)若f(x)為奇函數(shù),且在x0處有定義,則f(0)0. (3)若f(x)為偶函
16、數(shù),則f(|x|)f(x) (2)若函數(shù)yf(x)的定義域關于原點對稱,則f(x)f(x)為偶函數(shù),f(x)f(x)為奇函數(shù),f(x)f(x)為偶函數(shù) 3函數(shù)f(x)關于xa對稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)f(2ax)f(x) 4(1)若函數(shù)f(x)滿足f(xa)f(x),則f(x)周期T2a. 5(1)若f(x)關于xa,xb都對稱,且ab,則f(x)是周期函數(shù)且T2(ba) (2)若f(x)關于(a,0),(b,0)都對稱,且ab,則f(x)是周期函數(shù),且T2(ba) (3)若f(x)關于(a,0)及xb都對稱,且a0Bf(x)f(x)0 Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x
17、)0 答案D 解析f(x)f(x),f(x)f(x)f2(x)0. 2下列函數(shù)中,不具有奇偶性的函數(shù)是() 答案D 3(2015衡水調研卷)函數(shù)f(x)在定義域R上不是常數(shù)函數(shù),且f(x)滿足:對任意xR,都有f(2x)f(2x),f(1x)f(x),則f(x)是() A奇函數(shù)但非偶函數(shù) B偶函數(shù)但非奇函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù) 答案B 解析依題意,得f(x2)f(x1)f(x),即函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù),所以f(x2)f(x)又f(2x)f(2x),因此有f(x)f(x),即f(x)是偶函數(shù);若f(x)是奇函數(shù),則有f(x)f(x)f(x),得f(x)0,這與“f(x)不是常數(shù)函數(shù)”相矛盾,因此f(x)是偶函數(shù)但不是奇函數(shù),選B. 答案C 答案 6(2014新課標全國)已知偶函數(shù)f(x)在0,)上單調遞減,f(2)0.若f(x1)0,則x的取值范圍是_ 答案(1,3) 解析由題可知,當2x0.f(x1)的圖像是由f(x)的圖像向右平移1個單位長度得到的,若f(x1)0,則1x3.