《高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題課件 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題課件 文（33頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、文數(shù)課標(biāo)版第四節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形.(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x).(3)對(duì)h(x)求導(dǎo).(4)利用h(x)判斷h(x)的單調(diào)性或最值.教材研讀教材研讀(5)下結(jié)論.2.一元三次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題一元三次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),則f (x)=3ax2+2bx+c.方程f (x)=0的判別式=(2b)2-12ac,(1)當(dāng)0,即b23ac時(shí), f (x)0恒成立, f(x)在R上為增函數(shù),結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象知,方程f(x)=0有唯一 一個(gè)實(shí)根.(2)當(dāng)0,即b23ac時(shí),方程f (x

2、)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根,設(shè)為x1,x2(x1m).a.當(dāng)m0時(shí),方程f(x)=0有一 個(gè)實(shí)根;b.當(dāng)m=0時(shí),方程f(x)=0有兩 個(gè)實(shí)根;c.當(dāng)m0時(shí),方程f(x)=0有三 個(gè)實(shí)根;d.當(dāng)M=0時(shí),方程f(x)=0有兩 個(gè)實(shí)根;e.當(dāng)M0時(shí),方程f(x)=0有一 個(gè)實(shí)根.3.生活中的利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題我們稱之為優(yōu)化問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)是解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的有力工具,用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路:(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系,建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x),解方程f (x)=0,確定極值點(diǎn);(3)比較函數(shù)在區(qū)間端

3、點(diǎn)的值和在極值點(diǎn)的值的大小,最大(小)值為函數(shù)的最大(小)值;(4)還原到實(shí)際問(wèn)題中作答. 1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A.13萬(wàn)件 B.11萬(wàn)件C.9萬(wàn)件 D.7萬(wàn)件答案答案 C y=-x2+81.令y=0,得x=9或x=-9(舍去).當(dāng)0 x0,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)x9時(shí),y0,函數(shù)單調(diào)遞減.故當(dāng)x=9時(shí),y取最大值.132.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,4,部分對(duì)應(yīng)值如下表, f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的圖象如圖所示.當(dāng)1a2時(shí),函數(shù)y=f(x)-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

4、)A.2 B.3 C.4 D.5x-10234f(x)12020答案答案 C根據(jù)已知條件可還原出函數(shù)f(x)在定義域-1,4內(nèi)的大致圖象.函數(shù)y=f(x)-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線y=a與曲線y=f(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).因?yàn)?a3,則方程x3-ax2+1=0在(0,2)上的實(shí)根個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3答案答案 B設(shè)f(x)=x3-ax2+1,則f (x)=3x2-2ax=x(3x-2a),由于a3,則在(0,2)上f (x)0, f(2)=9-4a0, 即x(0,1時(shí), f(x)=ax3-3x+10可化為a-.設(shè)g(x)=-,則g(x)=,所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,

5、因此g(x)max=g=4,從而a4.當(dāng)x0,即x-1,0)時(shí),a-.同理可求得a4,綜上,可知a=4.23x31x23x31x43(12 ) xx10,21,121223x31x考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題命題角度一恒成立問(wèn)題命題角度一恒成立問(wèn)題典例典例1 (2016陜西西北九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=-ln x+t(x-1),t為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)t=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)t=時(shí),-f(x)0,f (x)=-+1=.由f (x)0可得0 x0可得x1,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+).12kx

6、121x1xx考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破(2)當(dāng)t=時(shí), f(x)=-ln x+-,則-f(x)=-=ln x-+,當(dāng)x1時(shí),-f(x)0恒成立等價(jià)于k1,則g(x)=x-(ln x+1)=x-1-ln x,x1.令h(x)=x-1-ln x,x1,則h(x)=1-=,x1.當(dāng)x1時(shí),h(x)0,函數(shù)h(x)=x-1-ln x在(1,+)上單調(diào)遞增,故h(x)h(1)=0,從而當(dāng)x1時(shí),g(x)0,即函數(shù)g(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,故g(x)g(1)=,實(shí)數(shù)k的取值范圍是.122x 12kx12kx121ln22xx2xkxkx1222x22x1x1xx121,21-1 (2016湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)

7、已知函數(shù)g(x)滿足g(x)=g(1)ex-1-g(0)x+x2,且存在實(shí)數(shù)x0使得不等式2m-1g(x0)成立,則m的取值范圍為()A.(-,2 B.(-,3 C.1,+) D.0,+)答案答案 C g(x)=g(1)ex-1-g(0)+x,當(dāng)x=1時(shí),g(0)=1,由g(0)=g(1)e0-1,解得g(1)=e,所以g(x)=ex-x+x2,則g(x)=ex-1+x,當(dāng)x0時(shí),g(x)0時(shí),g(x)0,所以當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值g(0)=1,根據(jù)題意將不等式轉(zhuǎn)化為2m-1g(x)min=1,所以m1,故選C.1212典例典例2已知函數(shù)f(x)=x-(a+1)ln x-(aR),

8、g(x)=x2+ex-xex.(1)當(dāng)x1,e時(shí),求f(x)的最小值;(2)當(dāng)a1時(shí),若存在x1e,e2,使得對(duì)任意的x2-2,0, f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范圍.解析解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)=.當(dāng)a1時(shí),x1,e, f (x)0,f(x)為增函數(shù),所以f(x)min=f(1)=1-a.當(dāng)1ae時(shí),x1,a時(shí), f (x)0, f(x)為減函數(shù);xa,e時(shí), f (x)0, f(x)為增函數(shù).ax122(1)()xxax命題角度二存在性問(wèn)題命題角度二存在性問(wèn)題所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1.當(dāng)ae時(shí),x1,e時(shí), f (x)0

9、,f(x)在1,e上為減函數(shù),所以f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.綜上,當(dāng)a1時(shí), f(x)min=1-a;當(dāng)1ae時(shí), f(x)min=a-(a+1)ln a-1;當(dāng)ae時(shí), f(x)min=e-(a+1)-.(2)由題意知f(x)(xe,e2)的最小值小于g(x)(x-2,0)的最小值.當(dāng)a1時(shí),由(1)知f(x)在e,e2上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.eaeaea由題意知g(x)=(1-ex)x.當(dāng)x-2,0時(shí),g(x)0,g(x)為減函數(shù),g(x)min=g(0)=1,所以e-(a+1)-,所以a的取值范圍為.ea2e2ee 12e2e,1e1

10、易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示“恒成立”與“存在性”問(wèn)題的求解是“互補(bǔ)”關(guān)系,即f(x)g(a)對(duì)于xD恒成立,應(yīng)求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,應(yīng)求f(x)的最大值.在具體問(wèn)題中究竟是求最大值還是最小值,可以先聯(lián)想“恒成立”是求最大值還是最小值,這樣也就可以解決相應(yīng)的“存在性”問(wèn)題是求最大值還是最小值.特別需要關(guān)注等號(hào)是否成立問(wèn)題,以免細(xì)節(jié)出錯(cuò).考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例典例3 (2016課標(biāo)全國(guó),21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明當(dāng)x(1,+)時(shí),11,證明當(dāng)x(0,1)時(shí),1+(c-1)xcx.解析

11、解析(1)由題設(shè)知, f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)=-1,令f (x)=0,解得x=1.當(dāng)0 x0, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x1時(shí), f (x)0, f(x)單調(diào)遞減.(2)證明:由(1)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.所以當(dāng)x1時(shí),ln xx-1.1lnxx1x故當(dāng)x(1,+)時(shí),ln xx-1,ln-1,即11,設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0,解得x0=.當(dāng)x0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xx0時(shí),g(x)0,g(x)單調(diào)遞減.由(2)知1c,故0 x01.又g(0)=g(1)=0,故當(dāng)0 x0.所以當(dāng)x(0

12、,1)時(shí),1+(c-1)xcx.1x1x1lnxx1lnlnlnccc1lncc方法技巧方法技巧若證明f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),若F(x)0,則F(x)在(a,b)上是減函數(shù),同時(shí),若F(a)0,由減函數(shù)的定義可知,當(dāng)x(a,b)時(shí),有F(x)0,即證明了f(x)g(x).2-1 (2016安徽合肥二模)已知函數(shù)f(x)=.(1)若f(x)在區(qū)間(-,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若a=0,x01,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處的切線,求證:f(x)g(x).解析解析(1)易得f (x)=-,由已知可知f (

13、x)0對(duì)x(-,2)恒成立,1-a2,a-1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-,-1.(2)證明:a=0,則f(x)=,故f (x)=.函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處的切線方程為y=g(x)=f (x0)(x-x0)+f(x0).exxa(1)exxaexx1exx令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f (x0)(x-x0)-f(x0),xR,則h(x)=f (x)-f (x0)=-=.設(shè)(x)=(1-x)-(1-x0)ex,則(x)=-(1-x0)ex,x01,(x)0,(x)在R上單調(diào)遞減,而(x0)=0,當(dāng)x0,當(dāng)xx0時(shí),(x)0,當(dāng)x0,當(dāng)xx0時(shí),h(x)0,h(x)在區(qū)間(-,x0

14、)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,+)上為減函數(shù),xR時(shí),h(x)h(x0)=0,f(x)g(x).1exx001exx000(1)e(1)eexxx xxx0ex0ex考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問(wèn)題考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問(wèn)題典例典例4 (2016課標(biāo)全國(guó),21,12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.解析解析(1)f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)設(shè)a0,則當(dāng)x(-,1)時(shí), f (x)0.所以f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)

15、遞增.(ii)設(shè)a-,則ln(-2a)0;當(dāng)xe2e2(ln(-2a),1)時(shí), f (x)0.所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)上單調(diào)遞增,在(ln(-2a),1)上單調(diào)遞減.若a1,故當(dāng)x(-,1)(ln(-2a),+)時(shí), f (x)0;當(dāng)x(1,ln(-2a)時(shí), f (x)0,則由(1)知, f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b滿足b0且b(b-2)+a(b-1)2=a0,所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).(ii)設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).e22a2a232bb(iii)設(shè)a0,若a-,

16、則由(1)知, f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,又當(dāng)x1時(shí)f(x)0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn);若a-,則由(1)知, f(x)在(1,ln(-2a)上單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+)上單調(diào)遞增,又當(dāng)x1時(shí)f(x)0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上,a的取值范圍為(0,+).e2e2方法技巧方法技巧利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法:方法一:(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)作出圖象;(3)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).方法二:(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)分類討論,判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).3-1 (2014課標(biāo),21,12分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2

17、,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.(1)求a;(2)證明:當(dāng)k0.當(dāng)x0時(shí),g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)單調(diào)遞增,g(-1)=k-10時(shí),令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+)上單調(diào)遞增,所以g(x)h(x)h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+)上沒(méi)有實(shí)根.綜上,g(x)=0在R上有唯一實(shí)根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).考點(diǎn)四用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題考點(diǎn)四用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題典例典例5 (

18、2016云南玉溪一中月考)時(shí)下網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài),它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì),假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位:千套)與銷售價(jià)格x(單位:元/套)滿足的關(guān)系式為y=+4(x-6)2,其中2x6,m 為常數(shù).已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí),每日可售出套題21千套.(1)求m的值;(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價(jià)格x的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大.(精確到0.1)2mx解析解析(1)因?yàn)閤=4時(shí),y=21,所以+16=21,解得m=10.(2)設(shè)每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)為f(x)元.由(1)可知,套題每日的銷

19、售量y=+4(x-6)2.2m102x所以f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240 x-278(2x6),2104(6)2xx從而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在上, f (x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以x=是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以當(dāng)x=3.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值.故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí),網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大.103102,310,63103103規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間

20、的關(guān)系,建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x),解方程f (x)=0;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f (x)=0的點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值;(4)回歸實(shí)際問(wèn)題,結(jié)合實(shí)際問(wèn)題作答.4-1某食品廠進(jìn)行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本為20元,并且每千克蘑菇的加工費(fèi)為t元(t為常數(shù),且2t5).設(shè)該食品廠每千克蘑菇的出廠價(jià)為x元(25x40),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,銷售量q千克與ex成反比,當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)為30元時(shí),日銷售量為100千克.(1)求該工廠的每日利潤(rùn)y元與每千克蘑菇的出廠價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式;(2)若t=5,當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)x為多少時(shí),該工廠的每日利潤(rùn)y最大?并求最大值.解析解析(1)設(shè)q=(k0),則=100,所以k=100e30,所以q=,所以y=(25x40,2t5).exk30ek30100eex30100e (20)exxt(2)由題意知y=,則y=.由y0得25x26,由y0,得26x40,所以y在區(qū)間25,26上單調(diào)遞增,在區(qū)間26,40上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=26時(shí),ymax=100e4,即當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)為26元時(shí),該工廠的每日利潤(rùn)最大,最大值為100e4元.30100e (25)exx30100e (26)exx