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專題11直角三角形探究 垂直是常見的兩直線的位置關(guān)系 常常以直角三角形為載體來編制綜合題 作為壓軸題出現(xiàn) 一是以直角三角形為背景 結(jié)合動點 動線和動面 來探究函數(shù)圖象問題 探究最值問題 探究開放性問題 二是探究直角三角形 如兩線垂直關(guān)系 等腰直角三角形等的存在性問題 解題時需要畫出各種狀態(tài)圖形 觀察分析圖形 把復雜的圖形分解成兩直線垂直的基本圖形 利用勾股定理 三角函數(shù)等知識 把各相關(guān)線段代數(shù)化 轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 方程問題來解決 分析問題時還需注意對圖形的分類 一般以直角頂點來分類 按直角頂點分類畫出圖形 利用直角三角形的勾股定理 三角形相似來解決 二 動點在拋物線上5 2017 預測 如圖 拋物線L y ax2 bx c與x軸交于A B 3 0 兩點 A在B的左側(cè) 與y軸交于點C 0 3 已知對稱軸x 1 1 求拋物線L的解析式 2 設(shè)點P是拋物線L上任意一點 點Q在直線l x 3上 PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形 若能 求出符合條件的點P的坐標 若不能 請說明理由 當P點在x軸上方和下方時 注意等腰直角三角形的圖形特點 利用全等得出線段的等量關(guān)系 利用勾股定理轉(zhuǎn)化為方程 6 2017 預測 如圖 在平面直角坐標系中 已知拋物線y x2 bx c過A B C三點 點A的坐標是 3 0 點C的坐標是 0 3 動點P在拋物線上 1 b c 點B的坐標為 2 是否存在點P 使得 ACP是以AC為直角邊的直角三角形 若存在 求出所有符合條件的點P的坐標 若不存在 說明理由 2 3 1 0 解 2 存在 第一種情況 當以C為直角頂點時 過點C作CP1 AC 交拋物線于點P1 過點P1作y軸的垂線 垂足為M OA OC AOC 90 OCA OAC 45 ACP1 90 MCP1 90 45 45 CP1M MC MP1 由 1 可得拋物線為y x2 2x 3 設(shè)P1 m m2 2m 3 則m 3 m2 2m 3 解得m1 0 舍去 m2 1 m2 2m 3 4 則P1的坐標是 1 4 第二種情況 當以A為直角頂點時 過點A作AP2 AC 交拋物線于點P2 過點P2作y軸的垂線 垂足是N AP2交y軸于點F P2N x軸 由 CAO 45 OAP2 45 FP2N 45 AO OF 3 P2N NF 設(shè)P2 n n2 2n 3 則 n n2 2n 3 3 解得n1 3 舍去 n2 2 n2 2n 3 5 則P2的坐標是 2 5 綜上所述 符合條件的點P的坐標是 1 4 或 2 5 三 動點在圓周上7 在平面直角坐標系中 四邊形OABC的頂點分別為O 0 0 A 5 0 B m 2 C m 5 2 是否存在這樣的m 使得在邊BC上總存在點P 使 OPA 90 若存在 求出m的取值范圍 若不存在 請說明理由 解析 由題意得到BC 5 且與x軸平行 使 OPA 90 即求點P在OA為直徑的圓周上 8 如圖 AB是 O的直徑 弦BC 2cm ABC 60 1 求 O的直徑 2 若D是AB延長線上一點 連結(jié)CD 當BD長為多少時 CD與 O相切 3 若動點E以2cm s的速度從A點出發(fā)沿著AB方向運動 同時動點F以1cm s的速度從B點出發(fā)沿BC方向運動 設(shè)運動時間為t 連結(jié)EF 當t為何值時 BEF為直角三角形 解 1 O的直徑為4cm 2 當BD長為2cm時 CD與 O相切 3 根據(jù)題意得BE 4 2t BF t 如圖 當EF BC時 BEF BAC BE BA BF BC 即 4 2t 4 t 2 解得t 1 如圖 當EF BA時 BEF BCA BE BC BF BA 即 4 2t 2 t 4 解得t 1 6 當t 1s或t 1 6s時 BEF為直角三角形 在動態(tài)背景下的直角三角形存在性問題 解題關(guān)鍵是按直角頂點分類 畫出各種狀態(tài)圖 轉(zhuǎn)化為方程解決 列方程的方法常常用到勾股定理 三角形相似等 10 2017 預測 如圖 對稱軸為直線x 1的拋物線y x2 bx c與x軸相交于A B兩點 與y軸的交于C點 其中A點的坐標為 3 0 1 求拋物線的表達式 2 若將此拋物線向右平移m個單位 A B C三點在坐標軸上的位置也相應(yīng)的發(fā)生移動 在移動過程中 BOC能否成為等腰直角三角形 若能 求出m的值 若不能 請說明理由 解 1 y x2 2x 3 2 向右平移后B m 1 0 C m m2 2m 3 m2 2m 3 m 1 解得m 2 m 1 舍去 m2 2m 3 m 1 解得m 4 m 1 舍去 綜上可知 m的值為2或4 11 如圖 在 ABC中 AB 5 BC 3 AC 4 動點E 與點A C不重合 在AC邊上 EF AB交BC于點F 試問在AB上是否存在點P 使得 EFP為等腰直角三角形 若不存在 請簡要說明理由 若存在 請求出EF的長 等腰直角三角形蘊含兩個條件 即等腰和直角 在解題時可以先說明是等腰三角形 然后證明頂角是直角 也可以先作垂直 再說明是等腰三角形 或者畫出狀態(tài)圖 利用 等腰和直角 來求解