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1、高考專題突破六高考中的圓錐曲線問題考點(diǎn)自測課時(shí)訓(xùn)練題型分類深度剖析內(nèi)容索引考點(diǎn)自測考點(diǎn)自測 1.(2015課標(biāo)全國)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為答案解析則|AB|2a，由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MNx軸于點(diǎn)N(x1，0)，ABM為等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，x1|OB|BN|a2acos 602a. 2.設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為答案解析 3.(2016山西質(zhì)量監(jiān)測)已知A，B分別為橢

2、圓 1(ab0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線ykx(k0)與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的面積的最大值為2c2，則橢圓的離心率為答案解析設(shè)C(x1，y1)(x10)，D(x2，y2)，即2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，4.(2016北京)雙曲線 1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長為2，則a_.2設(shè)B為雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖所示.四邊形OABC為正方形且邊長為2，又a2b2c28，a2.答案解析題型分類題型分類深度剖析深度剖析 題型一求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型一求圓錐曲線的

3、標(biāo)準(zhǔn)方程答案解析求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，解得標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，從而求得方程.思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1(2015天津)已知雙曲線 1(a0，b0 )的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為答案解析則a2b24， 題型二圓錐曲線的幾何性質(zhì)題型二圓錐曲線的幾何性質(zhì)例例2(1)(2015湖南)若雙曲線 1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則此雙曲線的離心率為答案解析即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，答案解析 圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問

4、題的關(guān)鍵是熟練掌握各性質(zhì)的定義，及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系.掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運(yùn)算能力.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2已知橢圓 1(ab0)與拋物線y22px(p0)有相同的焦點(diǎn)F，P，Q是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，若PQ經(jīng)過焦點(diǎn)F，則橢圓 1(ab0)的離心率為_.答案解析題型三最值、范圍問題題型三最值、范圍問題解答(1)求雙曲線的方程；(2)若過點(diǎn)B(0，b)且與x軸不平行的直線和雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)M，N，MN的垂直平分線為m，求直線m在y軸上的截距的取值范圍.解答由(1)知B(0,1)，依題意可設(shè)過點(diǎn)B的直線方程為 ykx1(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)得13k2(

5、1,0)(0,1)，故直線m在y軸上的截距的取值范圍為(，4)(4，).圓錐曲線中的最值、范圍問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和均值不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值與范圍.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3直線l：xy0與橢圓 y21相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則ABC面積的最大值為_.答案解析設(shè)與l平行的直線l：yxm與橢圓相切于P點(diǎn).則ABP面積最大.(4m)243(2m22)0，題型四定值、定點(diǎn)問題題型四定值、定點(diǎn)問題例例4(2016全國乙卷)設(shè)圓

6、x2y22x150的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；因?yàn)閨AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.解答(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.解答當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).求定點(diǎn)及定值

7、問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4 (2016北京)已知橢圓C： 1(ab0)的離心率為 ，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；解答(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|BM|為定值.證明由(1)知，A(2，0)，B(0，1).當(dāng)x00時(shí)，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|為定值.題型五探索性問題題型五探索性問題圓C1：x2y26x50化為

8、(x3)2y24，圓C1的圓心坐標(biāo)為(3，0).例例5(2015廣東)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；解答(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；解答設(shè)M(x，y)，A，B為過原點(diǎn)的直線l與圓C1的交點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，由圓的性質(zhì)知MC1MO，由向量的數(shù)量積公式得x23xy20.易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ymx，把相切時(shí)直線l的方程代入圓C1的方程，當(dāng)直線l經(jīng)過圓C1的圓心時(shí)，M的坐標(biāo)為(3，0).又直線l與圓C1交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存

9、在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.解答由題意知直線L表示過定點(diǎn)(4，0)，斜率為k的直線，把直線L的方程代入軌跡C的方程x23xy20，若直線L與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，令f(x)0.此時(shí)方程可化為25x2120 x1440，即(5x12)20，(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.思維升華解答(2)若直線l：ykxm與橢圓

10、C相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由.解答以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，64m2k216(34k2)(m23)0，得34k2m20.課時(shí)訓(xùn)練課時(shí)訓(xùn)練12345(1)求橢圓E的方程；解答(2)經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.證明12345得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，12345(1)求橢圓C的方程；解答123451234

11、5(2)設(shè)不經(jīng)過頂點(diǎn)A，B的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，且 2，求橢圓右頂點(diǎn)D到直線l距離的取值范圍. 解答12345()當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為x1，此時(shí)d1.()當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykxm(m1)，聯(lián)立橢圓方程得(4k21)x28kmx4(m21)0，由04k2m210，12345橢圓右頂點(diǎn)D(2，0)到直線l的距離綜上可知d0，2).123453.(2017浙江新高考預(yù)測)已知曲線C的方程是mx2ny21(m0，n0)，且曲線C過A( )，B( )兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求曲線C的方程；解答所以曲線C的方程為y24x21.1

12、2345(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲線C上兩點(diǎn)，且OMON，求證：直線MN恒與一個(gè)定圓相切.證明12345原點(diǎn)O到直線MN的距離12345123454.已知橢圓 1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn).(1)求該橢圓的離心率；解答12345(2)設(shè)直線AB和AC分別與直線x4交于點(diǎn)M，N，問：x軸上是否存在定點(diǎn)P使得MPNP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 解答12345依題意，直線BC的斜率不為0，設(shè)其方程為xty1.設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)P(p，0)使得MPNP，12345將x1ty11，x2ty21代入上式，整理得即(p4)290，解得p1或p7.所以x軸上存在定點(diǎn)P(1，0)或P(7，0)，使得MPNP.12345解答12345因?yàn)锳，B分別是直線l：yexa與x軸，y軸的交點(diǎn)，1234512345 解答(2)若PF1F2為等腰三角形，求的值.12345因?yàn)镻F1l，所以PF1F290BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|F1F2|，12345