高考文科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第輪 極坐標(biāo)與參數(shù)方程
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1、 高考文科數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) (極坐標(biāo)與參數(shù)方程) 第二講 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 目標(biāo)認(rèn)知 考試大綱要求: 1. 理解坐標(biāo)系的作用,了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況; 2. 能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置,理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化; 3. 能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程,理解用方程表示平面圖
2、形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義; 4. 了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法,并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的方法相比較,了解它們的區(qū)別; 5. 了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義,能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程; 6. 了解平擺線、漸開線的生成過程,并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程,了解其他擺線的生成過程,了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用,了解擺線在表示行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用。 重點(diǎn)、難點(diǎn): 1.理解參數(shù)方程的概念,了解常用參數(shù)方程中參數(shù)的意義,掌握參數(shù)方程與普通方程的互化。 2.理解極坐標(biāo)的概念,掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化;直線和圓的極坐標(biāo)方程。
3、【知識(shí)要點(diǎn)梳理】: 知識(shí)點(diǎn)一:極坐標(biāo) 1.極坐標(biāo)系 平面內(nèi)的一條規(guī)定有單位長(zhǎng)度的射線,為極點(diǎn),為極軸,選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角的正方向(通常取逆時(shí)針方向),這就構(gòu)成了極坐標(biāo)系。 2.極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo) 平面上一點(diǎn)到極點(diǎn)的距離稱為極徑,與軸的夾角稱為極角,有序?qū)崝?shù)對(duì) 就叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)。 (1)一般情況下,不特別加以說明時(shí)表示非負(fù)數(shù); 當(dāng)時(shí)表示極點(diǎn); 當(dāng)時(shí),點(diǎn)的位置這樣確定:作射線, 使,在的反向延長(zhǎng)線上取一點(diǎn),使得,點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。 ?。?)點(diǎn)與點(diǎn)()所表示的是同一個(gè)點(diǎn),即角與的終邊是相同的。 綜上所述
4、,在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)與其點(diǎn)的極坐標(biāo)之間不是一一對(duì)應(yīng)而是一對(duì)多的對(duì)應(yīng), 即,, 均表示同一個(gè)點(diǎn). 3. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 當(dāng)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系在特定條件下(①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合;②極軸與軸正半軸重合;③長(zhǎng)度單位相同),平面上一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)有如下關(guān)系: 直角坐標(biāo)化極坐標(biāo):; 極坐標(biāo)化直角坐標(biāo):. 此即在兩個(gè)坐標(biāo)系下,同一個(gè)點(diǎn)的兩種坐標(biāo)間的互化關(guān)系. 4. 直線的極坐標(biāo)方程: (1)過極點(diǎn)傾斜角為的直線:或?qū)懗杉? ?。?)過垂直于極軸的直線: 5. 圓的極坐標(biāo)方程: (1)以極點(diǎn)為圓心,為半徑的圓:. ?。?)
5、若,,以為直徑的圓: 知識(shí)點(diǎn)二:柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系: 1. 柱坐標(biāo)系的定義: 空間點(diǎn)與柱坐標(biāo)之間的變換公式: 2. 球坐標(biāo)系的定義: 空間點(diǎn)與球坐標(biāo)之間的變換公式: 知識(shí)點(diǎn)三:參數(shù)方程 1. 概念:一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù): ,并且對(duì)于的每一個(gè)允許值,方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系間的關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)(簡(jiǎn)稱參數(shù)). 相對(duì)于參數(shù)方程來說,前面學(xué)過的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程,叫做曲線的普通方程。 知識(shí)點(diǎn)四:常見曲線的參數(shù)方程 1.直線的參數(shù)方程
6、 (1)經(jīng)過定點(diǎn),傾斜角為的直線的參數(shù)方程為: (為參數(shù)); 其中參數(shù)的幾何意義:,有,即表示直線上任一點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離。(當(dāng)在上方時(shí),,在下方時(shí),)。 ?。?)過定點(diǎn),且其斜率為的直線的參數(shù)方程為: ?。閰?shù),為為常數(shù),); 其中的幾何意義為:若是直線上一點(diǎn),則。 2.圓的參數(shù)方程 ?。?)已知圓心為,半徑為的圓的參數(shù)方程為: ?。ㄊ菂?shù),); 特別地當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),其參數(shù)方程為(是參數(shù))?!? (2)參數(shù)的幾何意義為:由軸的正方向到連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的半徑所成的角。
7、 ?。?)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地指出圓心和半徑,圓的一般方程突出方程形式上的特點(diǎn),圓的參數(shù)方程則直接指出圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的特點(diǎn)。 3. 橢圓的參數(shù)方程 (1)橢圓()的參數(shù)方程(為參數(shù))。 ?。?)參數(shù)的幾何意義是橢圓上某一點(diǎn)的離心角。 如圖中,點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角為(過作軸, 交大圓即以為直徑的圓于),切不可認(rèn)為是。 (3)從數(shù)的角度理解,橢圓的參數(shù)方程實(shí)際上是關(guān)于橢圓的一組三角代換。 橢圓上任意一點(diǎn)可設(shè)成, 為解決有關(guān)橢圓問題提供了一條新的途徑。 4. 雙曲線的參數(shù)方程 雙曲線(,)的參數(shù)方程為(為參數(shù))。
8、5. 拋物線的參數(shù)方程 拋物線()的參數(shù)方程為(是參數(shù))。 參數(shù)的幾何意義為:拋物線上一點(diǎn)與其頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù),即。 規(guī)律方法指導(dǎo): 1、把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒? 常見的消參方法有:代入消法 ;加減消參;平方和(差)消參法;乘法消參法;比值消參法;利用恒等式消參法;混合消參法等. 2、把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是適當(dāng)選取參數(shù);二是確?;セ昂蠓匠痰牡葍r(jià)性, 注意方程中的參數(shù)的變化范 【課前演練】 一、選擇題 1.已知集合,,則= A.{x|-1≤x<1} B.{x |x>1} C
9、.{x|-1<x<1} D.{x |x≥-1} 2.若復(fù)數(shù)(1+bi)(2+i)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位,b是實(shí)數(shù)),則b= A.-2 B. C. D.2 3.若函數(shù)f(x)=x3(x∈R),則函數(shù)y=f(-x)在其定義域上是 A.單調(diào)遞減的偶函數(shù) B.單調(diào)遞減的奇函數(shù) C.單凋遞增的偶函數(shù) D.單涮遞增的奇函數(shù) 4.若向量滿足,與的夾角為,則 A. B. C. D.2
10、 5.客車從甲地以60km/h的速度勻速行駛1小時(shí)到達(dá)乙地,在乙地停留了半小時(shí),然后以80km/h的速度勻速行駛l小時(shí)到達(dá)丙地。下列描述客車從甲地出發(fā),經(jīng)過乙地,最后到達(dá) 丙地所經(jīng)過的路程s與時(shí)間t之間關(guān)系的圖象中,正確的是 二、填空題 11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,且過點(diǎn)P(2,4),則該拋物線的方程是 . 12.函數(shù)f(x)=xlnx(x>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是 . 13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,則其通項(xiàng)a
11、n= ;若它的第k項(xiàng)滿足5 12、參數(shù)); (2) (,為參數(shù));
?。?) (,為參數(shù)); (4) (為參數(shù)).
思路點(diǎn)撥:
?。?)將第二個(gè)式子變形后,把第一個(gè)式子代入消參;
(2)利用三角恒等式進(jìn)行消參;
?。?)觀察式子的結(jié)構(gòu),注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),因而可以采取加減消參的辦法;或把用表示,反解出后再代入另一表達(dá)式即可消參;
(4)此題是(3)題的變式,僅僅是把換成而已,因而消參方法依舊,但需要注意、的范圍。
總結(jié)升華:
1 13、. 消參的方法主要有代入消參,加減消參,比值消參,平方消參,利用恒等式消參等。
2.消參過程中應(yīng)注意等價(jià)性,即應(yīng)考慮變量的取值范圍,一般來說應(yīng)分別給出、的范圍.在這過程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過程,因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法.
舉一反三:
【變式1】化參數(shù)方程為普通方程。
?。?)(t為參數(shù)) ; (2)(t為參數(shù)).
【變式2】(1)圓的半徑為_________ ;
?。?)參數(shù)方程(表示的曲線為( )。
A、雙曲線一支,且過點(diǎn) B、拋物線的一部分,且過點(diǎn)
14、 C、雙曲線一支,且過點(diǎn) D、拋物線的一部分,且過點(diǎn)
【變式3】(1)直線: (t為參數(shù))的傾斜角為( )。
A、 B、 C、 D、
(2)為銳角,直線的傾斜角( )。
A、 B、 C、 D、
5.已知曲線的參數(shù)方程(、為常數(shù))。
(1)當(dāng)為常數(shù)(),為參數(shù)()時(shí),說明曲線的類型;
(2)當(dāng)為常數(shù)且,為參數(shù)時(shí),說明曲線的類型。
思路點(diǎn)撥:通過消參,化 15、為普通方程,再做判斷。
總結(jié)升華:從本例可以看出:某曲線的參數(shù)方程形式完全相同,但選定不同的字母為參數(shù),則表示的意義也不相同,表示不同曲線。因此在表示曲線的參數(shù)方程時(shí),一般應(yīng)標(biāo)明選定的字母參數(shù)。
舉一反三:
【變式】已知圓錐曲線方程為。
?。?)若為參數(shù),為常數(shù),求此曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離。
?。?)若為參數(shù),為常數(shù),求此曲線的離心率。
【課堂檢測(cè)】
16、
選擇題
30.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )。
A.(-3, 5),(-3, -3) B.(3, 3),(3, -5)
C.(1, 1),(-7, 1) D.(7, -1),(-1, -1)
六、1.若直線的參數(shù)方程為,則直線的斜率為( )
A. B.
C. D.
2.下列在曲線上的點(diǎn)是( )
A. B. C. D.
3.將參數(shù)方程化為普通方程為( )
A. B. C. D.
6.極坐標(biāo)方程表示的曲線為( )
A.一條射 17、線和一個(gè)圓 B.兩條直線 C.一條直線和一個(gè)圓 D.一個(gè)圓
七、1.直線的參數(shù)方程為,上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)是,則點(diǎn)與之間的距離是( )
A. B. C. D.
2.參數(shù)方程為表示的曲線是( )
A.一條直線 B.兩條直線 C.一條射線 D.兩條射線
3.直線和圓交于兩點(diǎn),
則的中點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
5.與參數(shù)方程為等價(jià)的普通方程為( )
A. B.
C. D.
6.直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
八、1 18、.把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是( )
A. B. C. D.
2.曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是( )
A. B.
C. D.
3.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為( )
A. B.
C. D.
4.若點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上,
則等于( )
A. B.
C. D.
6.在極坐標(biāo)系中與圓相切的一條直線的方程為( )
A. B.
C. D.
填空題
參、5.把參數(shù)方程(α為參數(shù))化為普通方程,結(jié)果是。
六、1.直線的斜率為__________________ 19、____。
2.參數(shù)方程的普通方程為__________________。
3.已知直線與直線相交于點(diǎn),又點(diǎn),
則_______________。
4.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為______________。
七、1.曲線的參數(shù)方程是,則它的普通方程為__________________。
2.直線過定點(diǎn)_____________。
3.點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最大值為___________。
4.曲線的極坐標(biāo)方程為,則曲線的直角坐標(biāo)方程為________________。
5.設(shè)則圓的參數(shù)方程為__________________________。
八、1.已知曲線上的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,那么=_______________。
2.直線上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______。
3.圓的參數(shù)方程為,則此圓的半徑為_______________。
4.極坐標(biāo)方程分別為與的兩個(gè)圓的圓心距為_____________。
5.直線與圓相切,則_______________。
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