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高中數(shù)學(xué)必修4教學(xué)分析和建議 余建國 三角函數(shù) 約16課時 平面上的向量 簡稱平面向量 約12課時 三角恒等變換 約8課時 教育價值課程內(nèi)容加強的方面及依據(jù)課程內(nèi)容削弱的方面及依據(jù)教學(xué)說明與建議 教育價值 1 有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系 以及數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用 07江蘇卷 16 某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為5 秒針均勻地繞點O旋轉(zhuǎn) 當(dāng)時間t 0時 點A與鐘面上標(biāo)12的點B重合 將A B兩點間的距離d 表示成t s 的函數(shù) 則d 其中t 0 60 課本 P 46習(xí)題11 摩天輪 教育價值 2 有助于學(xué)生認識數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系 體驗數(shù)學(xué)的發(fā)展與創(chuàng)造過程 教學(xué)片斷 推導(dǎo)兩角差的余弦公式 設(shè)向量a cos75 sin75 b cos15 sin15 試分別計算a b a cos 及a b x1x2 y1y2 比較兩次計算的結(jié)果 你能發(fā)現(xiàn)什么 教材P83第15題 探究 拓展 教育價值 3 有助于發(fā)展學(xué)生的運算能力和推理能力 課程內(nèi)容加強的方面及依據(jù) 1 加強幾何直觀 對于三角函數(shù)及其性質(zhì)的學(xué)習(xí) 要發(fā)揮單位圓的直觀作用 對于平面向量 強調(diào)向量概念的幾何背景 教學(xué)片段 誘導(dǎo)公式的推導(dǎo) 誘導(dǎo)公式所揭示的是終邊有某種對稱關(guān)系的兩個角三角函數(shù)之間的關(guān)系 換句話說 誘導(dǎo)公式實質(zhì)是將 終邊對稱的圖形關(guān)系 翻譯成 三角函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系 課程內(nèi)容加強的方面及依據(jù) 2 強調(diào)數(shù)學(xué)建模 教學(xué)片斷 三角函數(shù)的周期性 師 三角函數(shù)是刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型 那么 周而復(fù)始 的基本性質(zhì)必然蘊含在三角函數(shù)的性質(zhì)之中 請同學(xué)回憶一下 在前面學(xué)過的三角函數(shù)知識中 哪些具有 周而復(fù)始 的規(guī)律 生 三角函數(shù)線 當(dāng)角 的終邊順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一周后回到原來位置 生 三角函數(shù)值 sin 2k x sinx k Z 師 由單位圓中的三角函數(shù)線 幾何角度 可知 正弦 余弦函數(shù)值 代數(shù)角度 的變化呈現(xiàn)出周期現(xiàn)象 每當(dāng)角增加 或減少 2 所得角的終邊與原來角的終邊相同 故兩角的正弦 余弦函數(shù)值也分別相同 即有 sin 2 x sinx設(shè)f x sinx 用f x 表示怎么寫 生 f 2 x f x 師 這里x的有什么要求 生 定義域中的 任意的 師 這里2 的就稱為正弦函數(shù)sinx的周期 請用一段數(shù)學(xué)語言表達 生 對于函數(shù)sinx 對于定義域中的任意x 都有sin 2 x sinx 則稱2 為函數(shù)sinx的周期 生 對于函數(shù)f x 對于定義域中的任意x 都有f 2 x f x 則稱2 為函數(shù)f x 的周期 師 鐘面上點數(shù)的周期是12小時 星期的周期是7 一般地 函數(shù)f x 的周期是T 應(yīng)如何定義 生 對于函數(shù)f x 對于定義域中的任意x 都有f T x f x 則稱T為函數(shù)f x 的周期 課程內(nèi)容加強的方面及依據(jù) 3 強調(diào)信息技術(shù)的運用 典型的問題 1 生成和度量任意角 2 三角函數(shù)線 3 畫三角函數(shù)的圖象 4 研究函數(shù)y Asin x 的圖象和性質(zhì) 5 向量的線形運算 數(shù)學(xué)實驗 渡河時間最短問題假定某條河的兩岸是兩條平行的直線 河中水流速度是2m s 船在靜水中的速度為4m s 問這條船應(yīng)以怎樣的航向行使 才能使船從河的一邊到達另一邊而用時最短 課程內(nèi)容加強的方面及依據(jù) 4 強調(diào)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系 課程內(nèi)容削弱的方面及依據(jù) 1 三角函數(shù)與三角恒等變換 削減了以下內(nèi)容 任意角的余切 正割 余割 已知三角函數(shù)值求角及符號arcsinx arccosx arcctanx 解三角形等內(nèi)容 降低了要求 任意角 弧度制概念 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式分別由原來的理解 掌握減弱為了解 理解 兩角和與差的正余弦公式 正切公式 二倍角的正余弦公式 正切公式由原來的掌握減弱為能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出等 對三角恒等變換 要求以推導(dǎo)積化和差 和差化積 半角公式作為三角恒等變換的基本訓(xùn)練 不要求用積化和差 和差化積 半角公式作復(fù)雜的恒等變形 課程內(nèi)容削弱的方面及依據(jù) 2 平面向量 削減了以下內(nèi)容 平面上兩點間距離公式 線段定比分點及中點公式 平移公式 教學(xué)說明與建議 1 要突出數(shù)學(xué)模型思想 所謂數(shù)學(xué)模型 是指針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系 采用形式化的數(shù)學(xué)語言 概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 徐利治 在三角函數(shù)中 第一 根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗 創(chuàng)設(shè)豐富的情境 第二 注重三角函數(shù)型的應(yīng)用 P 42 1 3 4三角函數(shù)的應(yīng)用 三個例題 向量概念的教學(xué)中 第一 通過實例 可使學(xué)生了解向量的物理背景與幾何背景 第二 注重向量模型的運用 教學(xué)說明與建議 2 突出向量運算的核心地位 教學(xué)說明與建議 3 以問題為中心 用問題串為線索揭示知識的發(fā)生過程 教學(xué)片段 向量的數(shù)量積 問題1 物理學(xué)中 向量的運算比較多 比如求位移 速度 合力的大小等 用到了向量的加法 減法和數(shù)乘運算 那么 物理中有沒有其它的向量運算呢 創(chuàng)設(shè)情境 問題2 初中物理中的 功 是怎樣計算的 學(xué)生活動 問題 當(dāng)F和S存在一個夾角 時 力對物體所做的功是多少 學(xué)生活動 問題4 從求功的運算中 可以抽象出什么樣的數(shù)學(xué)運算 建構(gòu)數(shù)學(xué) 問題 在上面的向量的數(shù)量積的定義中 提到了 兩個向量的夾角 的概念 它究竟代表什么意義呢 建構(gòu)數(shù)學(xué) 問題 在進一步弄清了 向量的夾角 的意義以后 應(yīng)該怎樣更精確地表述向量的數(shù)量積的概念 建構(gòu)數(shù)學(xué) 問題 零向量有沒有數(shù)量積 應(yīng)該如何定義 建構(gòu)數(shù)學(xué) 問題 向量的數(shù)量積有什么樣的性質(zhì) 數(shù)學(xué)理論 向量的數(shù)量積的正負如何確定 單位向量與任何向量的數(shù)量積有什么規(guī)律 互相垂直的兩個向量的數(shù)量積有什么特點 共線向量的數(shù)量積有什么規(guī)律 任何求兩個向量的夾角 比較兩個向量的數(shù)量積的模與兩個向量模的乘積的大小關(guān)系 兩個相等向量的數(shù)量積等于什么 問題 向量的數(shù)量積滿足什么樣的運算律 數(shù)學(xué)理論 教學(xué)說明與建議 4 形成對基本初等函數(shù)的完整認識和理解 5 加強相關(guān)知識的聯(lián)系 注意章節(jié)之間的鋪墊與呼應(yīng) 形與數(shù)的結(jié)合 發(fā)揮單位圓 三角函數(shù)線 圖象的直觀作用 6 準確地把握教學(xué)要求 7 恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù) 有條件應(yīng)盡量使用計算器 機 把計算機變成學(xué)習(xí)的好伙伴 不當(dāng)之處敬請指正謝謝