《數(shù)學(xué)總第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)總第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）（128頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四章第四章 圖形的認(rèn)識(shí)圖形的認(rèn)識(shí)4.34.3等腰三角形與直角三角形等腰三角形與直角三角形中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) (浙江專用浙江專用)1.(2017湖州,6,4分)如圖,已知在RtABC中,C=90,AC=BC,AB=6,點(diǎn)P是RtABC的重心,則點(diǎn)P到AB所在直線的距離等于()A.1B.C.D.2232考點(diǎn)一考點(diǎn)一 等腰三角形等腰三角形A A組組 2014-20182014-2018年年浙江浙江中考題組中考題組五年中考答案答案A如圖,連接CP并延長(zhǎng)交AB于D,連接BP并延長(zhǎng)交AC于E,且延長(zhǎng)到F,使EF=PE,連接AF,C=90,AC=BC,AB=6,AC=BC=3,P為ABC的重心,CE=AE,

2、AD=DB,CD=AB=3,CDB=90.在AEF和CEP中,212AEF CEP.FAE=ECP=45,CP=AF=3-DP.FAD=90,CDFA,BPDBFA.=.=.PD=1.故選A.,AECEAEFCEPEFEP PDFABDBA3PDPD36關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示三角形的重心是三條中線的交點(diǎn).2.(2017杭州,10,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,BC=12,E為AC邊的中點(diǎn),線段BE的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)D.設(shè)BD=x,tanACB=y,則()A.x-y2=3B.2x-y2=9C.3x-y2=15D.4x-y2=21答案答案B如圖,過A作AMBC于M,過E作ENBC于N,連接E

3、D.E為AC的中點(diǎn),AMEN,EN=,MN=,AB=AC,AMBC,2AM2CMCM=6,MN=3,tanACB=y,AM=6y,EN=3y,直線DF是線段BE的垂直平分線,ED=BD=x,DE2=DN2+EN2,x2=(9-x)2+(3y)2,即2x-y2=9,此題選B.2BC6AM3.(2016杭州,9,3分)已知直角三角形紙片的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m和n(mAB,且ABE和AEC均為等腰三角形,AB=BE=m,AE=EC=n-m,AE=AB,n-m=m,兩邊平方整理得,m2+2mn-n2=0,故選C.22關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示本題考查直角三角形與等腰三角形,涉及等式變形,關(guān)鍵是畫出草圖,挖掘條件

4、.4.(2017麗水,10,3分)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100,則頂角的度數(shù)是.答案答案100解析解析10090,100的角是頂角,故答案為100.5.(2016杭州,14,4分)在菱形ABCD中,A=30,在同一平面內(nèi),以對(duì)角線BD為底邊作頂角為120的等腰三角形BDE,則EBC的度數(shù)為.答案答案45或105解析解析根據(jù)題意,知點(diǎn)E所在位置有2種可能,如圖.四邊形ABCD是菱形,且A=30,ABC=150,BD平分ABC,CBD=75,又以DB為底邊的等腰三角形DBE的頂角DEB=120,EDB=EBD=30,EBC=75-30=45或EBC=30+75=105.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵解題的關(guān)鍵是

5、畫出草圖,并對(duì)點(diǎn)E所處位置進(jìn)行分類討論.評(píng)析評(píng)析本題考查菱形和等腰三角形的性質(zhì),以及分類討論思想.6.(2015紹興,13,5分)由于木質(zhì)的衣架沒有柔性,在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作.小敏設(shè)計(jì)了一種衣架,在使用時(shí)能輕易收攏,然后套進(jìn)衣服后松開即可.如圖1,衣架桿OA=OB=18cm.當(dāng)衣架收攏時(shí),AOB=60,如圖2,則此時(shí)A,B兩點(diǎn)間的距離是cm.答案答案18解析解析OA=OB=18cm,收攏后,AOB=60,連接AB,則AOB是正三角形,故AB=18cm.7.(2015嘉興、舟山,14,4分)已知一張三角形紙片ABC,AB=AC=5.如圖,折疊該紙片,使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)上,折痕交AC、A

6、B分別于點(diǎn)E、F,則AE的長(zhǎng)為.答案答案2.5解析解析連接AA,設(shè)AA與EF交于點(diǎn)O.折疊問題就是軸對(duì)稱問題,所以EF所在直線是AA的中垂線,又由等腰三角形的性質(zhì)可知AABC,所以EFBC,又AO=AO,所以EF是ABC的中位線.所以AE=AC=2.5.12解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵證出EF是ABC的中位線是解題的關(guān)鍵.8.(2018杭州,21,10分)如圖,在ABC中,ACB=90,以點(diǎn)B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫弧,交線段AB于點(diǎn)D;以點(diǎn)A為圓心,AD長(zhǎng)為半徑畫弧,交線段AC于點(diǎn)E,連接CD.(1)若A=28,求ACD的度數(shù);(2)設(shè)BC=a,AC=b.線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax-b2=0的一個(gè)根嗎

7、?說明理由;若AD=EC,求的值.ab解析解析(1)ACB=90,A=28,B=62,由題意知BD=BC,BCD=BDC=59,ACD=90-BCD=31.(2)線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax-b2=0的一個(gè)根.理由如下:由勾股定理得AB=,AD=-a,解方程x2+2ax-b2=0,得x=-a,線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax-b2=0的一個(gè)根.AD=AE,AD=EC,AE=EC=,由勾股定理得a2+b2=,整理得=.22ACBC22ab22ab222442aab22ab2b212baab34思路分析思路分析(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出B,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BCD,根據(jù)ACD為BCD的

8、余角計(jì)算即可;(2)根據(jù)勾股定理求出AB,進(jìn)而得到AD,利用求根公式解方程,比較即可;根據(jù)勾股定理及等量關(guān)系列出等式,化簡(jiǎn)、整理即可.方法總結(jié)方法總結(jié)本題考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、熟練應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.1.(2016寧波,12,4分)下圖是一個(gè)由5張紙片拼成的平行四邊形,相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙,其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1,另兩張直角三角形紙片的面積都為S2,中間一張正方形紙片的面積為S3,則這個(gè)平行四邊形的面積一定可以表示為()A.4S1B.4S2C.4S2+S3D.3S1+4S3考點(diǎn)考點(diǎn)二二 直角三角形直角三角形答案答案A設(shè)

9、等腰直角三角形紙片的直角邊長(zhǎng)為a,中間一張正方形紙片的邊長(zhǎng)為m,則S1=a2,S3=m2,S2=(a-m)(a+m)=(a2-m2),S2=(2S1-S3),即S3=2S1-2S2,所求平行四邊形的面積為2S1+2S2+S3=2S1+2S2+(2S1-2S2)=4S1.故選A.12121212解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是引入字母表示出紙片的邊長(zhǎng),從而找出S1、S2、S3之間的關(guān)系.2.(2015溫州,9,4分)如圖,在RtAOB的平分線ON上依次取點(diǎn)C,F,M,過點(diǎn)C作DEOC,分別交OA,OB于點(diǎn)D,E,以FM為對(duì)角線作菱形FGMH.已知DFE=GFH=120,FG=FE.設(shè)OC=x,圖

10、中陰影部分面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是()A.y=x2B.y=x2C.y=2x2D.y=3x232333答案答案BON是RtAOB的平分線,DEOC,DCO、ECO、ODE是等腰直角三角形,且OC=DC=CE.OC=x,DE=2x.易得DF=EF,從而EDF=DEF.DFE=120,EDF=30.CF=x.SDEF=2xx=x2.在菱形FGMH中,GFH=120,又FG=FE,S菱形FGMH=2SDEF.y=3SDEF=x2.故選B.331233333解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵分析出S菱形FGMH=2SDEF,并用含x的式子表示出DE和CF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.3.(2015臺(tái)州,8,4分)如果將長(zhǎng)

11、為6cm,寬為5cm的長(zhǎng)方形紙片折疊一次,那么這條折痕的長(zhǎng)不可能是()A.8cmB.5cmC.5.5cmD.1cm2答案答案A因?yàn)榫匦蔚淖铋L(zhǎng)折痕是對(duì)角線,對(duì)角線長(zhǎng)=cmDEBD,連接AD,AE分別交FG于點(diǎn)M,N,求證:點(diǎn)M,N是線段FG的勾股分割點(diǎn);(3)已知點(diǎn)C是線段AB上的一定點(diǎn),其位置如圖3所示,請(qǐng)?jiān)贐C上畫一點(diǎn)D,使C,D是線段AB的勾股分割點(diǎn)(要求尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,畫出一種情形即可);(4)如圖4,已知點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn),MNAMBN,AMC,MND和NBE均是等邊三角形,AE分別交CM,DM,DN于點(diǎn)F,G,H,若H是DN的中點(diǎn),試探究SAMF,SBEN和S四邊

12、形MNHG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.解析解析(1)當(dāng)MN為最長(zhǎng)線段時(shí),點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn),BN=.當(dāng)BN為最長(zhǎng)線段時(shí),點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn),BN=.綜上,BN=或.(2)證明:FG是ABC的中位線,FGBC.=1.點(diǎn)M,N分別是AD,AE的中點(diǎn).BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG.點(diǎn)D,E是線段BC的勾股分割點(diǎn),且ECDEBD,EC2=BD2+DE2.(2NG)2=(2FM)2+(2MN)2.22MNAM94522MNAM9413513AMMDANNEAGGCNG2=FM2+MN2.點(diǎn)M,N是線段FG的勾股分割點(diǎn).(3)如圖.(4)S四邊形MNHG=SAMF+SBEN

13、.理由:設(shè)AM=a,BN=b,MN=c,H是DN的中點(diǎn),DH=HN=c.MND,BNE均為等邊三角形,D=DNE=60.12又DHG=NHE,DH=HN,DGH NEH.DG=EN=b.MG=c-b.GMEN,AGMAEN.=.=.c2=2ab-ac+bc.點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn),且MNAMBN,c2=a2+b2.a2+b2=2ab-ac+bc,整理得(a-b)(a-b+c)=0,又a-b+c0,a=b.在DGH和CAF中,D=C,DG=CA,DGH=CAF,DGH CAF.SDGH=SCAF.c2=a2+b2,c2=a2+b2.SDMN=SACM+SENB.MGNEAMANcbbaa

14、c343434SDMN=SDGH+S四邊形MNHG,SACM=SCAF+SAMF,S四邊形MNHG=SAMF+SBEN.8.(2014溫州,22,8分)勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感.他驚喜地發(fā)現(xiàn):當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí),都可以用“面積法”來證明.下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程.將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中DAB=90.求證:a2+b2=c2.圖1證明:連接DB,過點(diǎn)D作CBD的BC邊上的高DF,則DF=EC=b-a.S四邊形ADCB=SACD+SABC=b2+ab,又S四邊形ADCB=SADB+SDCB=

15、c2+a(b-a),12121212b2+ab=c2+a(b-a).a2+b2=c2.請(qǐng)參照上述證法,利用圖2完成下面的證明.將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中DAB=90.求證:a2+b2=c2.證明:連接.S五邊形ACBED=,12121212圖2又S五邊形ACBED=,.a2+b2=c2.證明證明連接BD,過點(diǎn)B作BDE的DE邊上的高BF,則BF=b-a,S五邊形ACBED=SACB+SABE+SADE=ab+b2+ab,121212又S五邊形ACBED=SACB+SABD+SBDE=ab+c2+a(b-a),ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),a2+b2=c2.1212

16、12121212121212評(píng)析評(píng)析本題主要考查了勾股定理的證明,表示出五邊形面積是解題關(guān)鍵.1.(2017湖北武漢,10,3分)如圖,在RtABC中,C=90,以ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為()A.4B.5C.6D.7考點(diǎn)一考點(diǎn)一 等腰三角形等腰三角形B B組組 2014-2018 2014-2018年全國(guó)中考題組年全國(guó)中考題組答案答案D如圖1,以B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)D,則BCD就是等腰三角形;如圖2,以A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)E,則ACE就是等腰三角形;如圖3,以C為圓心,BC長(zhǎng)

17、為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)F,則BCM、BCF就是等腰三角形;如圖4,作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)H,則ACH就是等腰三角形;如圖5,作AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)G,則AGB就是等腰三角形;如圖6,作BC的垂直平分線交AB于I,則BCI就是等腰三角形.故選D.2.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部,點(diǎn)E在邊BC上,滿足PBEDBC.若APD是等腰三角形,則PE的長(zhǎng)為.答案答案3或65解析解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,ABAD,根據(jù)PBEDBC可知P點(diǎn)在線段BD上,當(dāng)AD=PD=8時(shí),由

18、相似可得=PE=;當(dāng)AP=PD時(shí),P點(diǎn)為BD的中點(diǎn),PE=CD=3,故答案為3或.2268PECDBPBD210651265思路分析思路分析根據(jù)AB0),則FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=,CE=CF=.選A.32322.(2014山西,4,3分)下圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注解時(shí)給出的“弦圖”,它解決的數(shù)學(xué)問題是()A.黃金分割B.垂徑定理C.勾股定理D.正弦定理答案答案C中國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家.周髀算經(jīng)記載了古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理的“弦圖”.故選C.3.(2014江蘇揚(yáng)州,8,3

19、分)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=6,ABBC,ADCD,BAD=60,點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上,若AM MB=AN ND=1 2,則tanMCN=()A.B.C.D.-23 3132 5112 395答案答案A連接MN,AC,在RtABC與RtADC中,AB=AD,AC=AC,所以RtABC RtADC,因?yàn)锽AD=60,所以BAC=DAC=30,在RtABC中,AB=6,BAC=30,所以BC=2,因?yàn)锳M BM=1 2,所以AM=2,BM=4,在RtBCM中,BM=4,BC=2,所以MC=2.同理可得NC=2,又AMN為等邊三角形,所以MN=2,過M點(diǎn)作MHCN,垂足為H,所

20、以CM2-CH2=MN2-HN2.設(shè)CH=x,則(2)2-x2=22-(2-x)2,解得x=,在RtHCM中,CM=2,CH=,所以MH=,所以tanMCN=.故選A.33777713 77713 773 217MHCH3 21713 773 313解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造包含MCN的直角三角形.4.(2017安徽,14,5分)在三角形紙片ABC中,A=90,C=30,AC=30cm.將該紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處,折痕記為BD(如圖1),剪去CDE后得到雙層BDE(如圖2),再沿著過BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開,使得展開后的平面圖形中有一個(gè)是平行

21、四邊形.則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為cm.答案答案40或(只寫出一個(gè)正確答案得3分)8033解析解析由已知可知ADB EDB,又A=90,C=30,所以ABD=EBD=C=30,則CD=BD,設(shè)AD=DE=xcm,則CD=(30-x)cm,在直角三角形ABD中,sin30=,解得x=10,所以BD=20cm,AB=10cm.經(jīng)分析可知滿足題意的剪法有以下兩種:取BD的中點(diǎn)F,連接EF,AF,沿EF剪開所得四邊形ADEF是平行四邊形,也是菱形,其邊長(zhǎng)DE為10cm,故其周長(zhǎng)為40cm;作EDB的平分線DM,沿DM剪開所得四邊形是平行四邊形,也是菱形,其邊長(zhǎng)DM=cm,故其周長(zhǎng)為4=cm.綜上,所求周

22、長(zhǎng)為40cm或cm.ADBD30 xx123cos30DE103220 3320 3380338033思路分析思路分析由軸對(duì)稱的性質(zhì)得ADB EDB,由已知可求AD,AB,BD,考慮到在三角形BDE中,BED=90,EBD=30,BDE=60,故沿BD上的中線或EDB的平分線剪開可得平行四邊形,且都為菱形,求出邊長(zhǎng)即可求得周長(zhǎng).5.(2017湖北武漢,15,3分)如圖,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,點(diǎn)D,E都在邊BC上,DAE=60.若BD=2CE,則DE的長(zhǎng)為.3答案答案3-33解析解析如圖,將ABD沿AD翻折得AFD,連接EF,AB=AF=AC,BD=DF,AFD=B=30,

23、BAC=120,DAE=60,BAD+CAE=60,又BAD=FAD,FAD+CAE=60,CAE=FAE,ACE AFE(SAS),CE=EF,AFE=C=30,DFE=60.過點(diǎn)E作EHDF,交DF于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作AMBC,交BC于點(diǎn)M.設(shè)CE=2x,則BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,DH=3x,又BC=2BM=2ABcos30=6,DE=6-6x,在RtDEH中,DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2,解得x1=,x2=(舍去).DE=6-6x=3-3.333323323一題多解一題多解將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得ACF,連接E

24、F,CF=BD.可證ADE AFE,DE=EF.ACD=B=30,FCE=60.過點(diǎn)E作EHCF,交CF于點(diǎn)H,設(shè)CE=2x,則BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=x.過點(diǎn)A作AMBC,交BC于點(diǎn)M,則BC=2CM=2ACcos30=22=6,FE=DE=6-6x,在RtEFH中,FE2=FH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2,解得x1=,x2=(舍去).DE=6-6x=3-3.3332333233236.(2018安徽,23,14分)如圖1,RtABC中,ACB=90.點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn),DEAB于點(diǎn)E.點(diǎn)M為BD的中點(diǎn),CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F.(1)求證:

25、CM=EM;(2)若BAC=50,求EMF的大小;(3)如圖2,若DAE CEM,點(diǎn)N為CM的中點(diǎn).求證:ANEM.圖1圖2解析解析(1)證明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M為斜邊BD的中點(diǎn),CM=BD.又DEAB,同理,EM=BD,CM=EM.(4分)(2)由已知得,CBA=90-50=40.又由(1)知CM=BM=EM,CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80,EMF=180-CME=100.(9分)(3)證明:DAE CEM,CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM.又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等邊三角形,MEF=DEF-DEM

26、=30.證法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,1212MFEF12又NM=CM=EM=AE,FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF.=.又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF,ANEM.(14分)證法二:連接AM,則EAM=EMA=MEF=15,12121212121212MFEFFNAF1212AMC=EMC-EMA=75,又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD,ACM=(180-30)=75.由可知AC=AM,又N為CM的中點(diǎn),ANCM,又EMCF,ANEM.(14分)12思路分析思路分析(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證;(2)

27、由直角三角形中兩銳角互余求出CBA,由等腰三角形的性質(zhì)可得MEB=MBE,MCB=MBC,從而可得CME=DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由補(bǔ)角性質(zhì)求出EMF;(3)由DAE CEM可推出DEM為等邊三角形,從而可得MEF=30,下面證ANEM有兩個(gè)思路:一是根據(jù)直角三角形30角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半可得=,又點(diǎn)N是CM的中點(diǎn),可推出=,從而可證AFNEFM,進(jìn)一步即可證明ANEM;二是連接AM,計(jì)算可得AMC=ACM,而N是CM的中點(diǎn),從而ANCM,進(jìn)一步即可證明ANEM.MFEF12NFAF121.(2015陜西,6,3分)如圖,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的

28、角平分線.若在邊AB上截取BE=BC,連接DE,則圖中等腰三角形共有()A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)考點(diǎn)一考點(diǎn)一 等腰三角形等腰三角形C C組組 教師專用題組教師專用題組答案答案D依題意,可知題圖中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB為等腰三角形,則共有5個(gè)等腰三角形.故選D.2.(2015廣西南寧,7,3分)如圖,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,則C的度數(shù)為()A.35B.40C.45D.50答案答案AAB=AD,ADB=B=70,AD=DC,C=DAC.ADB是ADC的外角,C=ADB=35.故選A.123.(2015江蘇蘇州,7,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,D為B

29、C中點(diǎn),BAD=35,則C的度數(shù)為()A.35B.45C.55D.60答案答案CAB=AC,D為BC中點(diǎn),CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90-DAC=55,故選C.4.(2015吉林長(zhǎng)春,6,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,過點(diǎn)A作ADBC.若1=70,則BAC的大小為()A.30B.40 C.50D.70答案答案BAB=AC,B=C.ADBC,1=C=70.B=70.BAC=40.故選B.5.(2014江蘇蘇州,6,3分)如圖,在ABC中,點(diǎn)D在BC上,AB=AD=DC,B=80,則C的度數(shù)為()A.30B.40C.45D.60答案答案B因?yàn)锳B=AD,所以B=ADB=

30、80,因?yàn)镈C=AD,所以C=CAD,又因?yàn)锳DB是ACD的外角,所以ADB=C+CAD=2C,所以C=40,故選B.6.(2018貴州貴陽,24,12分)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,P是BC邊上的一點(diǎn),且BP=2CP.(1)用尺規(guī)在圖中作出CD邊上的中點(diǎn)E,連接AE,BE(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)如圖,在(1)的條件下,判斷EB是否平分AEC,并說明理由;(3)如圖,在(2)的條件下,連接EP并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AP.不添加輔助線,PFB能否由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與PAE組成一個(gè)等腰三角形?如果能,說明理由,并寫出兩種方法(指出對(duì)稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋

31、轉(zhuǎn)角或平移方向和平移距離);如果不能,也請(qǐng)說明理由.3解析解析(1)如圖所示,點(diǎn)E為所作的點(diǎn),EA,EB為所連的線段.(2)EB平分AEC,理由如下:如題圖,由(1)及已知可知DE=1.四邊形ABCD是矩形,AD=,在RtADE中,tanDEA=,AE=2,DEA=60,EAB=60,AEC=180-60=120.由作圖可知EA=EB,EAB是等邊三角形,AEB=60,CEB=120-60=60,AEB=CEB,3ADDE3EB平分AEC.(3)PFB能由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與PAE組成一個(gè)等腰三角形,理由如下:如題圖,BP=2CP,AD=BC=,BP=.由題意可知,C=PBF=90,EPC=

32、FPB,ECPFBP,=,FB=2EC=DC=2,B是AF的中點(diǎn),PB是線段AF的垂直平分線,PBF PBA.在RtPFB中,tanF=,F=30,AEP=180-F-EAF=90.AE=AB,AP=AP,AEP=ABP=90,32 33ECFBCPBP12PBFB33RtPEA RtPBA,PBF PBA PEA,可將PFB作如下變換后與PAE組成一個(gè)等腰三角形.PFB關(guān)于PF對(duì)稱,再以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120;PFB以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120,再關(guān)于PE對(duì)稱.7.(2018遼寧沈陽,24,12分)已知:ABC是等腰三角形,CA=CB,0ACB90,點(diǎn)M在邊AC上,點(diǎn)N在邊B

33、C上(點(diǎn)M、點(diǎn)N不與所在線段端點(diǎn)重合),BN=AM,連接AN,BM.射線AGBC,延長(zhǎng)BM交射線AG于點(diǎn)D,點(diǎn)E在直線AN上,且AE=DE.(1)如圖,當(dāng)ACB=90時(shí):求證:BCM ACN;求BDE的度數(shù);(2)當(dāng)ACB=,其他條件不變時(shí),BDE的度數(shù)是;(用含的代數(shù)式表示)(3)若ABC是等邊三角形,AB=3,點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn),直線ED與直線BC交于點(diǎn)F,請(qǐng)直接寫出線段CF的長(zhǎng).3備用圖1備用圖2解析解析(1)證明:CA=CB,BN=AM,CB-BN=CA-AM,即CN=CM,BC=AC,MCB=ACN,CM=CN,BCM ACN.BCM ACN,MBC=NAC,EA=ED,EAD

34、=EDA,AGBC,GAC=ACB=90,ADB=DBC,ADB=NAC,ADB+EDA=NAC+EAD=180-90=90,BDE=90.(2)或180-.(3)4或.詳解:(2)由E在直線AN上,可知,分兩種情況討論:如圖1,E與N在點(diǎn)A異側(cè),可得BDE=180-;如圖2,E與N在點(diǎn)A同側(cè),可得BDE=.圖1圖2332(3)由點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn)可知,分兩種情況討論:如圖3,當(dāng)CN=MC=BC=2時(shí),由ADBC可得ADMCBM,=,=,AD=.由EA=ED得AN=DF,又由BCM ACN可得AN=BM.過點(diǎn)A作AHBC于H,由勾股定理可得,AN=.由(2)知BDE=120BDF=60,

35、從而可得BCMBDF,=,=,BF=,CF=BF-BC=.233EAANEDDFADBCAMMCDMBM1232321BMBFMCDFDFBFMCDF72332圖3圖4如圖4,當(dāng)CN=BC=時(shí),與同法可求得CF=4.1333思路分析思路分析(1)由“邊角邊”可證三角形全等.BDE=EDA+ADM,由等邊對(duì)等角可得EAD=EDA.由BCM ACN,可得CBM=CAN,由兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,可得ADM=CBM,DAM=C=90.而CAN+EAD+DAM=180,CAN+EAD=90,BDE=90.(2)分E與N在點(diǎn)A同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論求解.(3)N為BC的三等分點(diǎn),分類討論BN=BC和BN

36、=BC兩種情況.1323易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于審題,第(2)問E在直線AN上,第(3)問點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn),都需要分類討論.8.(2014溫州,20,10分)如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,且DEAB,過點(diǎn)E作EFDE,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求F的度數(shù);(2)若CD=2,求DF的長(zhǎng).解析解析(1)ABC是等邊三角形,B=60.DEAB,EDC=B=60.EFDE,DEF=90.F=90-EDC=30.(2)ACB=60,EDC=60,EDC是等邊三角形.ED=DC=2.DEF=90,F=30,DF=2DE=4.9.(2015北京,20,5分)如圖

37、,在ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,BEAC于點(diǎn)E.求證:CBE=BAD.證明證明AB=AC,AD是BC邊上的中線,ADBC,BAD=CAD.BEAC,BEC=ADC=90.CBE=90-C,CAD=90-C.CBE=CAD.CBE=BAD.10.(2015福建龍巖,24,13分)如圖,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)B點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng).M,N分別是AD,CD的中點(diǎn),連接MN.設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.(1)判斷MN與AC的位置關(guān)系;(2)求點(diǎn)D由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)的過程中,線段MN所掃過區(qū)域的面積;(3)若DMN是等

38、腰三角形,求t的值.解析解析(1)在ADC中,M是AD的中點(diǎn),N是DC的中點(diǎn),MNAC.(3分)(2)如圖,分別取ABC三邊中點(diǎn)E,F,G,并連接EG,FG.根據(jù)題意可知線段MN掃過區(qū)域的面積就是 AFGE的面積.AC=6,BC=8,AE=3,GC=4,ACB=90,S AFGE=AEGC=12,線段MN掃過區(qū)域的面積為12.(7分)(3)解法一:依題意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.i)當(dāng)MD=MN=3時(shí),DMN為等腰三角形,此時(shí)AD=AC=6,t=6.(9分)ii)當(dāng)MD=DN時(shí),AD=DC,121212過D作DHAC交AC于H,則AH=AC=3,cosA=,AD=t=5.(

39、11分)iii)當(dāng)DN=MN=3時(shí),AC=DC.連接MC,則CMAD.12AHADACABcosA=,即=,AM=,AD=t=2AM=.綜上所述,當(dāng)t=5或6或時(shí),DMN為等腰三角形.(13分)解法二:依題意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.i)當(dāng)MD=MN=3時(shí),DMN為等腰三角形,此時(shí)AD=AC=6,t=6.(9分)ii)當(dāng)MD=DN時(shí),AD=DC,DAC=ACD,ACB=90,BCD+ACD=90,B+BAC=90,B=BCD,BD=CD=AD,在RtABC中,AB=10,t=AD=AB=5.(11分)iii)當(dāng)DN=MN=3時(shí),AC=DC,連接MC,則CMAB.AMACAC

40、AB6AM61018536536512121222ACBC12SACB=BCAC=ABMC,CM=.在RtAMC中,AM=.t=AD=2AM=.綜上所述,當(dāng)t=5或6或時(shí),DMN為等腰三角形.(13分)121224522ACCM18536536511.(2014黑龍江哈爾濱,28,10分)如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E,且ACBD,ADB=CAD+ABD,BAD=3CBD.(1)求證:ABC為等腰三角形;(2)M是線段BD上一點(diǎn),BM AB=3 4,點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上,連接FM,BFM的平分線FN交BD于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)G,點(diǎn)H為BF中點(diǎn),連接MH,當(dāng)GN=GD時(shí),探究

41、線段CD、FM、MH之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解析解析(1)證明:如圖1,作BAP=DAE,AP交BD于P,圖1設(shè)CBD=,CAD=,ADB=CAD+ABD,APE=BAP+ABD,APE=ADB,AP=AD,(1分)ACBD,PAE=DAE=,(2分)PAD=2,BAD=3,BAD=3CBD,3=3,=,(3分)ACBD,ACB=90-=90-,ABC=180-BAC-ACB=90-,ACB=ABC,(4分)AB=AC,ABC為等腰三角形.(5分)(2)2MH=FM+CD.(6分)證明:如圖2,由(1)知,AP=AD,AB=AC,BAP=CAD=,ABP ACD,ABE=ACD,(7分

42、)ACBD,GDN=90-,GN=GD,GND=GDN=90-,AGF=NGD=2,AFG=BAD-AGF=3-2=,FN平分BFM,NFM=,FMN=90,(8分)H為BF中點(diǎn),BF=2MH,34在FB上截取FR=FM,連接RM,圖2FRM=FMR=90-,ABC=90-,FRM=ABC,RMBC,CBD=RMB,CAD=CBD=,RMB=CAD.(9分)又RBM=ACD,RMBDAC,=,FB-FM=BR=CD.2MH=FM+CD.(10分)BRCDBMACBMAB343434評(píng)析評(píng)析本題是一道綜合題,主要考查了等腰三角形的判定,三角形全等的判定及三角形相似的判定等知識(shí),所探究的線段之間的

43、數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜,綜合性較強(qiáng),屬難題.1.(2018福建,15,4分)把兩個(gè)同樣大小的含45角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD=.2考點(diǎn)考點(diǎn)二二 直角三角形直角三角形答案答案-13解析解析由題意知ABC,ADE均為等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=,由勾股定理得BC=AD=2.過A作AFBC于F,則FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD=,故CD=FD-FC=-1.2332.(2017河南,15,3分)如圖,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,點(diǎn)M,N分別是

44、邊BC,AB上的動(dòng)點(diǎn),沿MN所在的直線折疊B,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在邊AC上.若MBC為直角三角形,則BM的長(zhǎng)為.2始終答案答案或1212解析解析在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45.(1)當(dāng)MBC=90時(shí),BMC=C=45.設(shè)BM=x,則BM=BC=x,在RtMBC中,由勾股定理得MC=x,x+x=+1,解得x=1,BM=1.(2)如圖,當(dāng)BMC=90時(shí),點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,此時(shí)BM=BM=BC=.22212212綜上所述,BM的長(zhǎng)為1或.2123.(2015上海,18,4分)已知在ABC中,AB=AC=8,BAC=30.將ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)B落在原ABC的點(diǎn)C處,此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)

45、D處.延長(zhǎng)線段AD,交原ABC的邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,那么線段DE的長(zhǎng)等于.答案答案4-43解析解析如圖,作BFAE交AE于點(diǎn)F,在RtABF中,BAF=60,AB=8,可得AF=4,BF=4,所以DF=AD-AF=8-4=4.易證BFE是等腰直角三角形,所以EF=BF=4,所以DE=EF-DF=4-4.333評(píng)析評(píng)析本題考查解含特殊角的直角三角形,畫出圖形,通過作出適當(dāng)?shù)妮o助線,把一般的三角形化為直角三角形是關(guān)鍵,屬于中等難度題.5.(2014貴州貴陽,15,4分)如圖,在RtABC中,BAC=90,AB=AC=16cm,AD為BC邊上的高,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AD方向以cm/s的速度向點(diǎn)D

46、運(yùn)動(dòng).設(shè)ABP的面積為S1,矩形PDFE的面積為S2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0t8),則t=時(shí),S1=2S2.2答案答案6解析解析由題意可知RtADC和RtEFC都是等腰直角三角形,AD=DC=BD=8cm.因?yàn)锳P=tcm,所以DP=EF=FC=(8-t)cm,DF=tcm;S1=APBD=t8=8tcm2,S2=PDDF=(8-t)t=(-2t2+16t)cm2,所以當(dāng)S1=2S2時(shí),有8t=-4t2+32t,解得t=6.222221212222226.(2018四川成都,27,10分)在RtABC中,ACB=90,AB=,AC=2,過點(diǎn)B作直線mAC,將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ABC(點(diǎn)A,

47、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B),射線CA,CB分別交直線m于點(diǎn)P,Q.(1)如圖1,當(dāng)P與A重合時(shí),求ACA的度數(shù);(2)如圖2,設(shè)AB與BC的交點(diǎn)為M,當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時(shí),求線段PQ的長(zhǎng);(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點(diǎn)P,Q分別在CA,CB的延長(zhǎng)線上時(shí),試探究四邊形PABQ的面積是否存在最小值.若存在,求出四邊形PABQ的最小面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.7解析解析(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AC=2,ACB=90,AB=,AC=2,BC=,ACB=90,mAC,ABC=90,cosACB=,ACB=30,ACA=60.(2)M為AB的中點(diǎn),ACB=90,MA=MB=MC,ACM=MAC,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得MA

48、C=A,A=ACM,tanPCB=tanA=,PB=BC=,tanBQC=tanPCB=,BQ=BC=2,PQ=PB+BQ=.(3)S四邊形PABQ=SPCQ-SACB=SPCQ-,722ABAC3BCA C323232323223323723S四邊形PABQ最小即SPCQ最小,SPCQ=PQBC=PQ.取PQ的中點(diǎn)G,連接CG.PCQ=90,CG=PQ.當(dāng)CG最小時(shí),PQ最小,CGPQ,即CG與CB重合時(shí),CG最小,CGmin=,PQmin=2,(SPCQ)min=3,(S四邊形PABQ)min=3-.123212333思路分析思路分析(1)在RtABC中,由勾股定理得BC=,根據(jù)旋轉(zhuǎn)知AC

49、=AC=2,解直角ABC,得ACB=30,所以ACA=60;(2)根據(jù)M為AB的中點(diǎn),可得ACM=MAC=A,且A=BQC,解RtPBC,RtBQC,求出PB=,BQ=2,進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=;(3)依據(jù)S四邊形PABQ=SPCQ-SACB=SPCQ-,得當(dāng)SPCQ最小時(shí),S四邊形PABQ最小,又SPCQ=PQBC=PQ,求出PQ最小值即可得到SPCQ的最小值為3,則四邊形PABQ的最小面積是3-.33272312323解后反思解后反思本題是以直角三角形旋轉(zhuǎn)為背景的幾何綜合題,主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),平行線的性質(zhì),解直角三角形,直角三角形的性質(zhì)等,根據(jù)直線mAC以及旋轉(zhuǎn)變換中相等的線段和相

50、等的角,求PQC中角的大小和邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.7.(2015麗水,19,6分)如圖,已知ABC中,C為直角,ACBC,D為BC上一點(diǎn),且到A,B兩點(diǎn)的距離相等.(1)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)D的位置(不寫作法,保留作圖痕跡);(2)連接AD,若B=37,求CAD的度數(shù).解析解析(1)作圖如下:(2)ABC中,C為直角,B=37,BAC=53.AD=BD,B=BAD=37,CAD=BAC-BAD=16.思路分析思路分析(1)由點(diǎn)D到A,B兩點(diǎn)的距離相等知,點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上,結(jié)合點(diǎn)D在BC上知,點(diǎn)D是線段AB的垂直平分線與BC的交點(diǎn).(2)根據(jù)直角三角形兩銳角互余,求出BAC,根據(jù)等腰三角形

51、“等邊對(duì)等角”的性質(zhì),求出BAD,從而作差求得CAD的度數(shù).8.(2016北京,23,5分)如圖,在四邊形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點(diǎn),連接BM,MN,BN.(1)求證:BM=MN;(2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的長(zhǎng).解析解析(1)證明:在ABC中,ABC=90,M為AC的中點(diǎn),BM=AC.N為CD的中點(diǎn),MN=AD.AC=AD,BM=MN.(2)BAD=60,AC平分BAD,BAC=CAD=30.由BM=AM,可得BMC=2BAC=60.由MNAD,可得CMN=CAD=30.BMN=BMC+CMN=90.AC=AD=2,BM=MN

52、=1.在RtBMN中,BN=.121222BMMN29.(2015重慶,25,12分)如圖1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.點(diǎn)E是BAC角平分線上一點(diǎn).過點(diǎn)E作AE的垂線,過點(diǎn)A作AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)D,連接DB,點(diǎn)F是BD的中點(diǎn).DHAC,垂足為H,連接EF,HF.(1)如圖1,若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn),AC=2,求AB,BD的長(zhǎng);(2)如圖1,求證:HF=EF;(3)如圖2,連接CF,CE.猜想:CEF是不是等邊三角形?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)說明理由.圖1圖23解析解析(1)點(diǎn)H是AC的中點(diǎn),AC=2,AH=AC=.(1分)ACB=90,BAC=60,ABC=30,AB=2AC=

53、4.(2分)DAAB,DHAC,DAB=DHA=90.DAH=30,AD=2.(3分)在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2.BD=2.(4分)(2)證明:連接AF,如圖.31233222(4 3)13F是BD的中點(diǎn),DAB=90,AF=DF,FDA=FAD.(5分)DEAE,DEA=90.DHA=90,DAH=30,DH=AD.AE平分BAC,CAE=BAC=30.DAE=60,ADE=30.AE=AD,AE=DH.(6分)FDA=FAD,HDA=EAD=60,FDA-HDA=FAD-EAD.FDH=FAE.(7分)FDH FAE(SAS).FH=FE.(8分)(3)CEF是等

54、邊三角形.(9分)理由如下:取AB的中點(diǎn)G,連接FG,CG.如圖.121212F是BD的中點(diǎn),FGDA,FG=DA.FGA=180-DAG=90,又AE=AD,AE=FG.在RtABC中,ACB=90,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),CG=AG.又CAB=60,GAC為等邊三角形.(10分)AC=CG,ACG=AGC=60.1212FGC=30,FGC=EAC.FGC EAC(SAS).(11分)CF=CE,ACE=GCF.ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60.CEF是等邊三角形.(12分)10.(2014上海,22,10分)如圖,已知在RtABC中,ACB=90,CD是斜邊AB上的中線,過

55、點(diǎn)A作AECD,AE分別與CD、CB相交于點(diǎn)H、E,AH=2CH.(1)求sinB的值;(2)如果CD=,求BE的長(zhǎng).5解析解析(1)在RtABC中,ACB=90,CD是斜邊AB上的中線,AB=2CD=2BD,DCB=B.AHCD,AHC=CAH+ACH=90.又DCB+ACH=90,CAH=DCB=B.ABCCAH.=.又AH=2CH,BC=2AC.可設(shè)AC=k,BC=2k,在RtABC中,AB=k.sinB=.(2)AB=2CD,CD=,AB=2.在RtABC中,AC=ABsinB=2=2.BC=2AC=4.在RtACE和RtAHC中,tanCAE=.CE=AC=1.BE=BC-CE=3.

56、ACBCCHAH22ACBC5ACAB5555555CEACCHAH121211.(2014湖南郴州,25,10分)如圖,在RtABC中,BAC=90,B=60,BC=16cm,AD是斜邊BC上的高,垂足為D,BE=1cm,點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā),與點(diǎn)M同時(shí)同方向以相同的速度運(yùn)動(dòng).以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH.點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)G剛好落在線段AD上?(2)設(shè)正方形MNGH與RtABC重疊部分的圖形的面積為S.當(dāng)重疊部分的圖形是正方形時(shí),求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量

57、t的取值范圍;(3)設(shè)正方形MNGH的邊NG所在直線與線段AC交于點(diǎn)P,連接DP,當(dāng)t為何值時(shí),CPD是等腰三角形?解析解析(1)在RtABC中,BAC=90,ABC=60,BC=16cm,所以AB=BCcos60=16=8(cm),(1分)在RtABD中,ADB=90,ABC=60,AB=8cm,所以BD=ABcos60=8=4(cm),(2分)所以DE=BD-BE=4-1=3(cm),t=3.所以當(dāng)t=3時(shí),點(diǎn)G剛好落在線段AD上.(3分)(2)當(dāng)t4時(shí),S=1cm2.(4分)如圖,當(dāng)點(diǎn)G落在線段AC上時(shí),121233因?yàn)镚NAD,所以=,即=,解得DN=(6-6)cm,即t-3=6-6,

58、所以t=6-3.所以當(dāng)45,三角形周長(zhǎng)為6+5;(ii)當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為5時(shí),5+5=103,三角形周長(zhǎng)為10+3.將一個(gè)大于0且小于1的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示,其形式為a10-n,其中1a0時(shí),m,此時(shí)m-1-0,故點(diǎn)P不可能在第一象限;根據(jù)偶函數(shù)的定義,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,函數(shù)y=1,y=x2為偶函數(shù).故正確的命題有2個(gè).23333323222232312122.(2018麗水二模)如圖,在ABC中,ACB=90,BC=4,AC=8,FDE與ABC是兩個(gè)完全相同的三角形,FDE的頂點(diǎn)D與ABC的邊AB的中點(diǎn)重合,DE,DF分別交AC于點(diǎn)P,Q,若重疊部分DPQ是以DP為腰的等腰三角形,則D

59、PQ的面積為.答案答案或2-25252解析解析分兩種情況:當(dāng)PD=PQ時(shí),如圖,過點(diǎn)D作DKAC于點(diǎn)K,則DKBC,又點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),DK=BC=4=2,PD=PQ,PQD=PDQ,PDQ=B,PQD=B,又DKQ=C=90,DKQACB,=,即=,得KQ=1,設(shè)PD=PQ=x,則PK=x-1,在RtDPK中,由勾股定理得PK2+DK2=PD2,即(x-1)2+22=x2,解得x=,SPDQ=PQDK=2=.當(dāng)PD=DQ時(shí),如圖,過點(diǎn)D作DKAC,分別交AC、EF于點(diǎn)K、M,過M作MNEF,交DF于點(diǎn)N,則MNDE,NMD=EDM,又PD=PQ,DKAC,FDM=EDM,FDM=NMD,MN

60、=DN,設(shè)MN=DN=x,tanF=,FM=2x,FD=AB=4,FN=4-x,在RtFMN中,由勾股定理得:FN2=FM2+MN2,即(4-x)2=(2x)2+x2,解得x=5-或-5-(不合題意,舍去),ME=EF-FM=8-2x=2-2,由得DK=2,tanMDE=,=,PK=-1,PD=DQ,DKPQ,PQ=2PK=2-2,SPDQ=PQDK=(2-2)2=2-2.綜上所述,重疊部分DPQ的面積是或2-2.1212KQCBDKAC4KQ285212125252DEEFMNFM481222BCAC555555MEDEPKDK2 5242PK55121255525圖圖評(píng)析評(píng)析本題易錯(cuò)點(diǎn)是容

61、易忽略等腰三角形中常存在的多解性問題,DPQ是以DP為腰的等腰三角形,則有兩種情況:PD=PQ,PD=DQ,分別在每種情況下求解即可.3.(2018金華一模)在等腰RtABC中,C=90,AB=6,點(diǎn)E、F分別為AB和BC上的點(diǎn),將EBF沿EF折疊,使點(diǎn)B落在B處,若B為AB的三等分點(diǎn),則CE=.3答案答案或3930解析解析等腰RtABC中,C=90,AB=6,B=45,BC=AC=3,當(dāng)BB=AB時(shí),如圖,過點(diǎn)E作EGBC交BC于點(diǎn)G,B與B關(guān)于直線EF對(duì)稱,BE=BE,BB=AB,EGAC,=,CG=CB=,BG=EG=CB=,在RtCEG中,CE=;當(dāng)BB=AB時(shí),如圖,此時(shí)CG=CB=

62、2,BG=EG=,CE=.故CE的長(zhǎng)為或.361313AEABCGCB56565 62166222CGEG225 66223923236622EGCG22( 6)(2 6)303930評(píng)析評(píng)析首先根據(jù)題意畫出示意圖是關(guān)鍵,由B為AB的三等分點(diǎn)得BB=AB或BB=AB,再利用勾股定理求得CE的長(zhǎng).13234.(2016湖州一模,12)已知等腰三角形中兩邊長(zhǎng)分別為4,9,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為.答案答案22解析解析分兩種情況討論:當(dāng)三角形的三邊長(zhǎng)是4,4,9時(shí),4+49,不符合三角形的三邊關(guān)系定理,此時(shí)不存在三角形;當(dāng)三角形的三邊長(zhǎng)是4,9,9時(shí),易知符合三角形的三邊關(guān)系定理,此時(shí)三角形的周長(zhǎng)是

63、4+9+9=22.綜上,等腰三角形周長(zhǎng)為22.5.(2016杭州拱墅一模,18)如圖,銳角ABC中,BAC=60,O是BC邊上的一點(diǎn),連接AO,以AO為邊向兩側(cè)作等邊AOD和等邊AOE,分別與邊AB,AC交于點(diǎn)F,G.求證:AF=AG.證明證明AOD和AOE是等邊三角形,E=AOF=60,AE=AO,OAE=60,BAC=60,FAO=60-CAO=EAG,在AFO和AGE中,AFO AGE(ASA),AF=AG.,FAOGAEAOAEAOFE 1.(2018紹興二模)若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,斜邊上的高為h,則()A.ab=hB.+=C.+=D.a2+b2=2h21a1

64、b1h21a21b21h考點(diǎn)考點(diǎn)二二 直角三角形直角三角形答案答案C作草圖:利用計(jì)算面積的兩種不同方式得S=ab=hc,ab=hc,解得c=,+=.1212abh21a21b222()abab222ch c21h2.(2017杭州二模,8)九章算術(shù)中有這樣一道題:“今有勾七步,股二十四步,問勾中容圓徑幾何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角邊)長(zhǎng)為7步,股(長(zhǎng)直角邊)長(zhǎng)為24步,問該直角三角形的容圓(內(nèi)切圓)直徑是多少?”該問題的答案是()A.4步B.5步C.6步D.8步答案答案C由勾股定理可求得直角三角形的斜邊長(zhǎng)為25步,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為x步,則24-x+(7-x)=25,解得x=3,

65、所以直徑為6步,故選C.3.(2017杭州西湖一模,3)在直角三角形中,兩直角邊長(zhǎng)為a,b,且滿足a2+b2=2ab,則此三角形三邊長(zhǎng)之比為()A.3 4 5B.1 2 1C.1 1D.1 1 12答案答案C由a2+b2=2ab知(a-b)2=0,即a=b,所以三角形為等腰直角三角形,即此三角形三邊長(zhǎng)之比為1 1,故選C.24.(2017杭州拱墅二模,21)已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的和為2,且其中一條直角邊長(zhǎng)為x,斜邊長(zhǎng)為y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及自變量x的取值范圍;(2)在自變量取值范圍內(nèi),當(dāng)且僅當(dāng)x=m時(shí),對(duì)應(yīng)的y的值為n,求m與n的值.解析解析(1)由題意得y2=x2+(2-

66、x)2,可得y=,其中0 x2.(2)y=,m=1,n=.2244xx22(1)2x21.(2016杭州下城二模,6)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知A(,1),在y軸上確定點(diǎn)P,使得AOP為等腰三角形,則符合條件的P點(diǎn)共有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)3B B組組 2016201820162018年模擬年模擬提升題組提升題組( (時(shí)間時(shí)間:15:15分鐘分值分鐘分值:15:15分分) )一、選擇題一、選擇題（共（共3 3分）分）答案答案C如圖,過點(diǎn)A作ACx軸于點(diǎn)C,A(,1),AO=2,以O(shè)為圓心,2為半徑畫圓,易知交y軸于兩點(diǎn)(0,2),(0,-2);作AO的垂直平分線,易知交y軸于一點(diǎn),該點(diǎn)正好與點(diǎn)(0,2)重合;以A為圓心,2為半徑畫圓,可得與y軸的交點(diǎn)為(0,2),(0,0),綜上可知,符合條件的P點(diǎn)共有2個(gè),分別為點(diǎn)P1(0,2)和P2(0,-2),故選C.322ACOC221( 3)方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)AOP為等腰三角形,需分別考慮OA為底邊和OA為腰的情形.2.(2016杭州下沙一模,15)小敏的叔叔家有一塊等腰三角形形狀的菜地,腰長(zhǎng)為40米,一條筆直的水渠從