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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 學(xué)案9　冪函數(shù) 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象，了解它們的單調(diào)性和奇偶性． 自主梳理 1．冪函數(shù)的概念 形如________的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中____是自變量，____是常數(shù)． 2．冪函數(shù)的性質(zhì) (1)五種常見冪函數(shù)的性質(zhì)，列表如下： 定義域 值域 奇偶性 單調(diào)性 過定點 y＝x R R 奇  (1,1) y＝x2 R [0，＋∞) 偶 [0，＋∞) (－∞，0] y＝x3 R R 奇  Y＝x [0，＋∞) [

2、0，＋∞) 非奇 非偶 [0，＋∞) Y＝x－1 (－∞，0) ∪(0，＋∞) (－∞，0) ∪(0，＋∞) 奇 (－∞，0) (0，＋∞) (2)所有冪函數(shù)在________上都有定義，并且圖象都過點(1,1)，且在第____象限無圖象． (3)α>0時，冪函數(shù)的圖象通過點____________，并且在區(qū)間(0，＋∞)上是________，α<0時，冪函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，圖象______原點． 自我檢測 1．如圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，±四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為_______________

3、_． 2．已知函數(shù)：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝x.則下列函數(shù)圖象(在第一象限部分)從左到右依次與函數(shù)序號的正確對應(yīng)順序是_____________________________________． 3．設(shè)α∈{－1,1，，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域為R且為奇函數(shù)的所有α值為________． 4．與函數(shù)y＝的圖象形狀一樣的是________(填序號)． ①y＝2x；②y＝log2x；③y＝；④y＝x＋1. 5．已知點(，3)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達式是____________． 探究點一　冪函數(shù)的定義與圖象 例1　已知冪函

4、數(shù)f(x)的圖象過點(，2)，冪函數(shù)g(x)的圖象過點(2，)． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)求當(dāng)x為何值時：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)

5、_______； ②0.20.5________0.40.3. (2)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，則m的取值范圍為_____________________________． 探究點三　冪函數(shù)的綜合應(yīng)用 例3　(2010·葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足(a＋1)－<(3－2a)－的a的范圍． 變式遷移3　已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈N*)． (1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性； (2)若該函數(shù)還經(jīng)過點(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(

6、2－a)>f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍． 1．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準． 2．在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸．冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共

7、48分) 1．若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足＝3，則f()的值為________． 2．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，則n＝________. 3．下列函數(shù)圖象中，正確的序號有________． 4．(2010·安徽改編)設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系為____________． 5．下列命題中正確的是________(填序號)． ①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和點(0,0)； ②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限； ③當(dāng)n＝0時，函數(shù)y＝xn的圖象是一條直線； ④冪函數(shù)y＝xn當(dāng)n>0時是增函數(shù)； ⑤冪函數(shù)y＝xn當(dāng)n<0時在第一

8、象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小． 6．(2011·徐州模擬)若冪函數(shù)y＝的圖象不經(jīng)過原點，則實數(shù)m的值為________． 7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈(0,1)，α∈(0,1)，則a，b，c的大小順序是______________． 8．已知函數(shù)f(x)＝xα(0<α<1)，對于下列命題：①若x>1，則f(x)>1；②若00時，若f(x1)>f(x2)，則x1>x2；④若0

9、1≤x<1時，y＝f(x)的表達式是冪函數(shù)，且經(jīng)過點(，)．求函數(shù)在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表達式． 10．(14分)已知f(x)＝(n＝2k，k∈Z)的圖象在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)． 11．(14分)(2011·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(k∈Z)滿足f(2)0，使函數(shù)g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區(qū)間[－1,2]上的值域為[－4，]？若存在，求出q；若不存在，請說明理由．

10、 答案 自主梳理 1．y＝xα　x　α　2.(2)(0，＋∞)　四　(3)(0,0)，(1,1)　增函數(shù)　不過 自我檢測 1．2，，－，－2 解析　方法一　由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，n<0時不過原點，故C3，C4對應(yīng)的n值均為負，C1，C2對應(yīng)的n值均為正； 由增(減)快慢知n(c1)>n(c2)>n(c3)>n(c4)． 故C1，C2，C3，C4的n值依次為2，，－，－2. 方法二　作直線x＝2分別交C1，C2，C3，C4于點A1，A2，A3，A4，則其對應(yīng)點的縱坐標(biāo)顯然為，2－2，故n值分別為2，，－，－2. 2．④③①② 解析　第一個圖象過點(0,0)，與

11、④對應(yīng)；第二個圖象為反比例函數(shù)圖象，表達式為y＝，③y＝x－1恰好符合，∴第二個圖象對應(yīng)③； 第三個圖象為指數(shù)函數(shù)圖象，表達式為y＝ax，且a>1，①y＝2x恰好符合，∴第三個圖象對應(yīng)①； 第四個圖象為對數(shù)函數(shù)圖象，表達式為y＝logax，且a>1，②y＝log2x恰好符合，∴第四個圖象對應(yīng)②. ∴四個函數(shù)圖象與函數(shù)序號的對應(yīng)順序為④③①②. 3．1,3 4．③ 5．f(x)＝x－3 課堂活動區(qū) 例1　解　(1)設(shè)f(x)＝xα， ∵圖象過點(，2)，故2＝()α， 解得α＝2，∴f(x)＝x2. 設(shè)g(x)＝xβ，∵圖象過點(2，)， ∴＝2β，解得β＝－2. ∴g

12、(x)＝x－2. (2)在同一坐標(biāo)系下作出f(x)＝x2與g(x)＝x－2的圖象，如圖所示． 由圖象可知，f(x)，g(x)的圖象均過點(－1，1)和(1,1)． ∴①當(dāng)x>1，或x<－1時， f(x)>g(x)； ②當(dāng)x＝1，或x＝－1時，f(x)＝g(x)； ③當(dāng)－1

13、冪的大小關(guān)鍵是搞清楚是底數(shù)相同，還是指數(shù)相同，若底數(shù)相同，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；若指數(shù)相同，利用冪函數(shù)的性質(zhì)；若底數(shù)、指數(shù)皆不相同，考慮用中間值法，常用0和1“搭橋”進行分組． 解　(1)函數(shù)y＝3x是增函數(shù)，∴30.8>30.7. (2)函數(shù)y＝x3是增函數(shù)，∴0.213<0.233. (3)∵， ∴. (4)＝1；0<＝1； <0，∴ <. 變式遷移2　(1)①<　②<　(2)m>0 解析　根據(jù)冪函數(shù)y＝x1.3的圖象， 當(dāng)01時，y>1，∴1.30.7>1. 于是有0.71.3

14、<1.30.7. 對于冪函數(shù)y＝xm，由(0.71.3)m<(1.30.7)m知，當(dāng)x>0時，隨著x的增大，函數(shù)值也增大，∴m>0. 例3　解　∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞減， ∴m2－2m－3<0，解得－13－2a>0， 或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a， 解得a<－1或

15、<}． 變式遷移3　解　(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*， 而m與m＋1中必有一個為偶數(shù)， ∴m(m＋1)為偶數(shù)． ∴函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定義域為[0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)． (2)∵函數(shù)f(x)經(jīng)過點(2，)， ∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1. ∴m2＋m＝2. 解得m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1. 由f(2－a)>f(a－1)得 解得1≤a<.∴a的取值范圍為[1，)． 課后練習(xí)區(qū) 1. 解析　依題意設(shè)f(x)＝xα(α∈R)， 則有＝3，即2α＝3，得α＝log23， 則f(x)＝，于是f

16、()＝＝＝. 2．－1或2 解析　可以逐一進行檢驗，也可利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解． 3．③ 解析　對①、②，由y＝x＋a知a>1，可知①、②圖象不正確； ③④中由y＝x＋a知0c>b 解析　∵y＝在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴，即a>c， ∵y＝()x在x∈(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴，即c>b，∴a>c>b. 5．②⑤ 6．1或2 解析　由解得m＝1或2. 經(jīng)檢驗m＝1或2都適合． 7．cα>. 又∵x∈(0,1)，∴x

17、 8．①②③ 解析　作出y＝xα(0<α<1)在第一象限內(nèi)的圖象，如圖所示， 可判定①②③正確， 又表示圖象上的點與原點連線的斜率， 當(dāng)0， 故④錯． 9．解　設(shè)在[－1,1)中，f(x)＝xn， 由點(，)在函數(shù)圖象上，求得n＝3.…………………………………………………(5分) 令x∈[2k－1,2k＋1)，則x－2k∈[－1,1)， ∴f(x－2k)＝(x－2k)3.……………………………………………………………………(10分) 又f(x)周期為2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3. 即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．………………

18、………………………………………………(14分) 10．解　由條件知>0， －n2＋2n＋3>0，解得－1f(x＋3)轉(zhuǎn)化為x2－x>x＋3. 解得x<－1或x>3. ∴原不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(14分) 11．解　(1)∵f(2)

19、＋2>0，解得－10滿足題設(shè)，由(1)知 g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]． ∵g(2)＝－1，∴兩個最值點只能在端點(－1，g(－1))和頂點(，)處取得． ……………………………………………………………………………………………(8分) 而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0， ∴g(x)max＝＝，………………………………………………………………(12分) g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4. 解得q＝2.∴存在q＝2滿足題意．……………………………………………………(14分) 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品