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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆ 第4講　導數(shù)的綜合應用 一、填空題 1．已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為________． 解析 ∵y＝－x3＋81x－234， ∴y′＝－x2＋81(x>0)． 令y′＝0得x＝9， 令y′<0得x>9，[來源:數(shù)理化網] 令y′>0得0

2、范圍是________． 解析　因為函數(shù)y＝ex＋2mx有大于零的極值點，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的實根． 令y1＝ex，y2＝－2m，則兩曲線的交點必在第一象限．由圖象可得－2m>1，即m<－. 答案　 3．設p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)內單調遞增，q：m≥，則p是q的________條件． 解析　∵f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m. 由f(x)為增函數(shù)得f′(x)≥0在R上恒成立，則Δ≤0，即16－12m≤0，解得m≥.故為充分必要條件． 答案　充分必要 4．若函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x

3、∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為________． 解析　令g(x)＝f(x)－2x－4，則g′(x)＝f′(x)－2＞0， ∴g(x)在R上遞增．又g(－1)＝f(－1)－2·(－1)－4＝0. ∴g(x)＞0?x＞－1. 答案　(－1，＋∞) 5．已知函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a處取到極大值，則a的取值范圍是________． 解析　結合二次函數(shù)圖象知，當a>0或a<－1時，在x＝a處取得極小值，當－1

4、個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2. 解析　設矩形的長為x m，則寬為：＝8－x(m) ∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16. 答案　16 7．一輛列車沿直線軌道前進，從剎車開始到停車這段時間內，測得剎車后t秒內列車前進的距離為S＝27t－0.45t2米，則列車剎車后________秒車停下來，期間列車前進了________米． 解析　S′(t)＝27－0.9t，由瞬時速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(秒)，期間列車前進了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)． 答案　30　405 8．挖一條隧道，截面下方為矩形

5、，上方為半圓(如圖)， 如果截面積為20 m2，當寬為________時，使截面周長最?。? 解析：如圖所示，設半圓的半徑為r，矩形的高為h， 則截面積S＝2rh＋＝20， 截面周長C＝2r＋2h＋πr＝2r＋＋πr＝2r＋－＋πr ＝r＋. 設C′(r)＝－， 令C′(r)＝0，解得r＝2 . 故當r＝2 時，周長C最小，即寬為4 時，截面周長最?。? 答案：4 9．將邊長為1 m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝，則s的最小值是________． 解析　如圖所示，設AD＝x m(0＜x＜1)，則DE＝AD＝x m，

6、 ∴梯形的周長為x＋2(1－x)＋1＝ 3－x (m)， 又S△ADE＝x2(m2)， ∴梯形的面積為－x2(m2)， ∴s＝×(0＜x＜1)， ∴s′＝×， 令s′＝0得x＝或3(舍去)，當x∈時，s′＜0，s遞減；當x∈時，s′＞0，s遞增．故當x＝時，s的最小值是. 答案　 10．設函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，則實數(shù)a的值為________． 解析　若x＝0，則不論a取何值，f(x)≥0顯然成立； 當x>0，即x∈(0,1]時，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≥－.設g(x)＝－，則g′(x)＝，

7、 所以g(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，因此g(x)max＝g＝4，從而a≥4. 當x<0，即x∈[－1,0)時，同理a≤－. g(x)在區(qū)間[－1,0)上單調遞增， ∴g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4， 綜上可知a＝4. 答案　4 二、解答題 11．請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點．設AE＝FB＝x(cm)． (1)某廣告商要

8、求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？ (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值． 解　設包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)．由已知得 a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800. 所以當x＝15 cm時，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)． 由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20. 當x∈(0,20)時，V′＞0；當x∈(20,30)時，V′＜0. 所以當x＝20時，V取得極大值，

9、也就是最大值， 此時＝，即包裝盒的高與底面邊長的比值為. 12．某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方米，且l≥2r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元，設該容器的建造費用為y千元． (1)寫出y關于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域； (2)求該容器的建造費用最小時的r. 解　(1)設容器為V，則由題意，得V＝πr2l＋πr3. 又V＝，故l＝＝－r＝. 由于l≥2r，所以0

10、y＝2πrl×3＋4πr2c ＝2πr××3＋4πr2c. 因此y＝4π(c－2)r2＋，03，所以c－2>0，故當 r3－＝0，即r＝ 時． 令 ＝m，則m>0， 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)． ①當0時， 若r∈(0，m)，則y′<0；若r∈(m,2)，則y′>0 所以當r＝m是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點． ②當m≥2即3

11、當c>時，建造費用最小時r＝ . 13．已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； (2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數(shù)，求m的取值范圍． 解　(1)根據(jù)題意知，f′(x)＝(x＞0)， 當a＞0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1]，單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)； 當a＜0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(0,1]； 當a＝0時，f(x)不是單調函數(shù)． (2)∵f′(2)＝－＝1，∴a＝－2，

12、 ∴f(x)＝－2ln x＋2x－3.∴g(x)＝x3＋x2－2x， ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數(shù)，且g′(0)＝－2， ∴ 由題意知：對于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立， ∴∴－＜m＜－9. 14． 設函數(shù)f(x)＝ex－ax－2. (1)求f(x)的單調區(qū)間； (2)若a＝1，k為整數(shù)，且當x>0時，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值． 解 (1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)單調遞增． 若a>0，則當

13、x∈(－∞，ln a)時，f′(x)<0；[來源:] 當x∈(ln a，＋∞)時，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，ln a)單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增． (2)由于a＝1， 所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1. 故當x>0時，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價于 k<＋x　(x>0)① 令g(x)＝＋x， 則g′(x)＝＋1＝. 由(1)知，函數(shù)h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上單調遞增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零點，故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零點．設此零點為α，則α∈(1,2)． 當x∈(0，α)時，g′(x)<0； 當x∈(α，＋∞)時，g′(x)>0. 所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(α)．[來源:] 又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2， 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等價于k