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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 學(xué)案65　隨機(jī)變量的均值和方差 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解隨機(jī)變量均值、方差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題． 自主梳理 1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 μ＝E(X)＝________________________________為隨機(jī)變量X的均值或______________，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的____________． (2)方差 σ2＝

2、V(X)＝_________________________________＝xpi－μ2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的______________，其________________________為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，即σ＝. 2．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝________. (2)V(aX＋b)＝________(a，b為實(shí)數(shù))． 3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝____，V(X)＝____________________________________. (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝_

3、___，V(X)＝________. 自我檢測(cè) 1．若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則E(X)＝________. X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 2.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值分別為________和________． 3．(2010·課標(biāo)全國(guó)改編)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為________． 4．(2011·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、

4、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)．若P(X＝0)＝，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________. 5．隨機(jī)變量ξ的概率分布如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝，則V(ξ)＝________. 探究點(diǎn)一　離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法 例1　袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)． (1)求

5、ξ的概率分布、期望和方差； (2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，V(η)＝11，試求a，b的值． 變式遷移1　編號(hào)1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是X. (1)求隨機(jī)變量X的概率分布； (2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差． 探究點(diǎn)二　二項(xiàng)分布的期望與方差 例2　A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個(gè)試驗(yàn)組中

6、，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組．設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為. (1)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率； (2)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用ξ表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望． 變式遷移2　(2010·泰州模擬)在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐．已知只有5發(fā)子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中率都是，每次命中與否互相獨(dú)立． (1)求油罐被引爆的概率； (2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ，求ξ的概

7、率分布及ξ的數(shù)學(xué)期望． 探究點(diǎn)三　離散型隨機(jī)變量期望與方差的 實(shí)際應(yīng)用 例3　購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)a元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10 000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立．已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為1－0.999104. (1)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p； (2)設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位：元)．

8、 變式遷移3　(2010·江蘇)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元，若是二等品則虧損1萬(wàn)元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，若是二等品則虧損2萬(wàn)元．設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨(dú)立． (1)記X(單位：萬(wàn)元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)，求X的概率分布； (2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率． 1．若η＝aξ＋b，則E(η)＝aE(ξ)＋b，V(η)＝a2V(ξ)． 2

9、．若ξ～B(n，p)，則E(ξ)＝np，V(ξ)＝np(1－p)． 3．求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的常用方法有：(1)已知隨機(jī)變量的概率分布求它的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn) 差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機(jī)變量ξ的期望、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的期望、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量，是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的期望、方差公式求解． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·福州質(zhì)檢)已知某一隨機(jī)變量ξ的概率分布如下，且E(ξ)＝6.3，則a的值為______

10、__. ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b 2.設(shè)ξ～B(n，p)，若有E(ξ)＝12，V(ξ)＝4，則n、p的值分別為________________． 3．隨機(jī)變量X的概率分布為 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 則E(5X＋4)＝________. 4．(2010·成都畢業(yè)班第一次診斷)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量ξ為“|a－b|的取值”，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________. 5．(2011·上海)馬老師從課本上

11、抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！ ？ 請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________. 6．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的均值E(X)＝3，則a＋b＝________. 7．(2010·遼寧改編)兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰好有一個(gè)一等品的概率為________． 8．

12、(2010·重慶)某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)(2011·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一次測(cè)試，以便確定工資級(jí)別．公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對(duì)，則月工資定為3 500元；若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2 800元；否則月工資定為2 100元．令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù)．假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒有鑒別能力． (1)求

13、X的概率分布； (2)求此員工月工資的期望． 10．(14分)(2011·山東)紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5，0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立． (1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率； (2)用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 11．(14分)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為、、；已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)

14、整中，價(jià)格下降的概率都是p(0

15、x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn　平均偏離程度　算術(shù)平方根　2.(1)aE(X)＋b (2)a2V(X)　3.(1)p　p(1－p)　(2)np　np(1－p) 自我檢測(cè) 1．　 2．6　0.4　 3．200 4． 解析　由題意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝. 隨機(jī)變量X的概率分布為： X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 5． 解析　由　得， 故V(ξ)＝(－1－)2·＋(0－)2×＋(1－)2×＝. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　要求期望，需先求出概率分布，

16、要求概率分布，需先求隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率，而求概率離不開常見事件概率的計(jì)算方法．第(2)小題注意性質(zhì)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，V(aξ＋b)＝a2V(ξ)的應(yīng)用． 解　(1)ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. V(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由V(η)＝a2V(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(η)＝aE(ξ)＋b， 所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；

17、當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴或 變式遷移1　解　(1)P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝；P(X＝3)＝＝. ∴隨機(jī)變量X的概率分布為 X 0 1 3 P (2)E(X)＝0×＋1×＋3×＝1. V(X)＝(1－0)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1. 例2　解題導(dǎo)引　(1)準(zhǔn)確理解事件“甲類組”的含義，把“甲類組”這一復(fù)雜事件用幾個(gè)互斥的基本事件的和來(lái)表示； (2)第(2)小題首先判斷隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，再求其概率分布和均值． 解　(1)設(shè)Ai表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2， B

18、i表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2. 依題意有 P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝. P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝. 所求的概率為 P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2) ＝×＋×＋×＝. (2)ξ的可能值為0,1,2,3，且ξ～B. P(ξ＝0)＝3＝， P(ξ＝1)＝C××2＝， P(ξ＝2)＝C×2×＝， P(ξ＝3)＝3＝. ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 變式遷移2　解　(1)記“油罐被引爆”為事件A，其對(duì)立事件

19、為， 則P()＝C()()4＋()5， ∴P(A)＝1－[C()()4＋()5]＝. 故油罐被引爆的概率為. (2)射擊次數(shù)ξ的可能取值為2,3,4,5， P(ξ＝2)＝()2＝， P(ξ＝3)＝C×××＝， P(ξ＝4)＝C××()2×＝， P(ξ＝5)＝C×()()3＋()4＝. 故ξ的概率分布為 ξ 2 3 4 5 P E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 例3　解題導(dǎo)引　各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是p，投保人中出險(xiǎn)人數(shù)ξ～B(104，p)，進(jìn)而利用二項(xiàng)分布的有關(guān)性質(zhì)求解． 解　各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是p

20、，記投保的10 000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為ξ，則ξ～B(104，p)． (1)記A表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10 000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)ξ＝0， P(A)＝1－P()＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104， 又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001. (2)該險(xiǎn)種總收入為10 000a元，支出是賠償金總額與成本的和． 支出10 000ξ＋50 000. 盈利η＝10 000a－(10 000ξ＋50 000)， 盈利的期望為E(η)＝10 000a－10 000E(ξ)－50 000， 由ξ～B(104,10－3)知， E(ξ)＝10 000×10－3

21、， E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104 ＝104a－104×104×10－3－5×104. E(η)≥0?104a－104×10－5×104≥0 ?a－10－5≥0?a≥15(元)． 故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元． 變式遷移3　解　(1)由題意知，X的可能取值為10,5,2，－3. P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08， P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02， 所以X的概率分布為 X 10 5 2 －3 P 0.72 0.18 0.08 0.

22、02 (2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n(n≤4且n∈N*)件，則二等品有(4－n)件． 由題設(shè)知4n－(4－n)≥10，解得n≥. 又n∈N*，得n＝3或n＝4. 所以P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.819 2. 故所求概率為0.819 2. 課后練習(xí)區(qū) 1．7　 2．18，　 3．15　 4． 5．2 解析　設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為1－2x，則 E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2. 6. 7． 解析　設(shè)事件A：“一個(gè)實(shí)習(xí)生加工一等品”， 事件B：“另一個(gè)實(shí)習(xí)生

23、加工一等品”，由于A、B相互獨(dú)立，則恰有一個(gè)一等品的概率P＝P(A)＋P(B) ＝P(A)·P()＋P()·P(B) ＝×＋×＝. 8． 解析　設(shè)此隊(duì)員每次罰球的命中率為p，則1－p2＝， ∴p＝. 9．解　(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4. (2分) P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)． (4分) 即 X 0 1 2 3 4 P (7分) (2)令Y表示此員工的月工資，則Y的所有可能取值為2 100，2 800,3 500. (9分) 則P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝， P(

24、Y＝2 800)＝P(X＝3)＝， P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝. E(Y)＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280. (12分) 所以此員工月工資的期望為2 280元． (14分) 10．解　(1)設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則，，分別表示甲不勝A，乙不勝B，丙不勝C的事件． 因?yàn)镻(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5， 由對(duì)立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5， P()＝0.5.(2分) 紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：DE，DF，EF，DEF. 由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各

25、盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立， (4分) 因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為 P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF) ＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (7分) (2)由題意知ξ可能的取值為0,1,2,3.(9分) 又由(1)知 F，E，D 是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，(11分) 因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1， P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D ) ＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.35，

26、 P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由對(duì)立事件的概率公式得 P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4. (12分) 所以ξ的概率分布為： ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.(14分) 11．解　(1)ξ1的概率分布為 ξ1 1.2 1.18 1.17 P E(ξ1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18. (3分) 由題設(shè)得ξ～B(2，p)，即ξ的概率分布為

27、ξ 0 1 2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 (5分) 故ξ2的概率分布為 ξ2 1.3 1.25 0.2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 所以ξ2的數(shù)學(xué)期望是E(ξ2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3. (8分) (2)由E(ξ1)1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0， 解得－0.4