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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆ 第9講　函數(shù)模型及其應用 一、填空題 1．某商場在節(jié)假日對顧客購物實行一定的優(yōu)惠，商場規(guī)定： ①如一次購物不超過200元，不給予折扣； ②如一次購物超過200元而不超過500元，按標準價給予九折優(yōu)惠； ③如一次購物超過500元，其中500元的部分給予九折優(yōu)惠，超過500元的剩余部分給予八五折優(yōu)惠． 某人兩次去購物，分別付款176元和432元．如果他只去一次購買同樣的商品，則他應該付款為________元． 解析 設購物應付款x元，實際付款y元，則由題意知： y＝，那么該人兩次實際購物應付款分別為x1＝176元，x2＝432÷0.9＝

2、480元，則x1＋x2＝656元，如果他只去一次，則應該付款y＝0.85×656＋25＝582.6元． 答案 582.6 2．從盛滿20升純消毒液的容器中倒出1升，然后用水加滿，再倒出1升，再用水加滿．這樣繼續(xù)下去，則所倒次數(shù)x和殘留消毒液y之間的函數(shù)解析式為________． 解析　所倒次數(shù)1次，則y＝19；所倒次數(shù)2次，則y＝19×，……，所倒次數(shù)x次，則y＝19x－1＝20x. 答案　y＝20x 3．為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下： 明文密文密文明文 已知加密為y＝ax－2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“

3、6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文為________． 解析　依題意y＝ax－2中，當x＝3時，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密為y＝2x－2，因此，當y＝14時，由14＝2x－2，解得x＝4. 答案　4 4．某種儲蓄按復利計算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關系式為________． 解析　已知本金為a元，利率為r，則 1期后本利和為y＝a＋ar＝a(1＋r)， 2期后本利和為y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2， 3期后本利和為y＝a(

4、1＋r)3， …… x期后本利和為y＝a(1＋r)x，x∈N*. 答案　y＝a(1＋r)x，x∈N* 5. 某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖)，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應分別為________． 解析　由三角形相似，得＝，得x＝(24－y)，所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，所以當y＝12時，Smax＝180，此時x＝15. 答案　15,12 6．將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指 數(shù)衰減曲線y＝aent.若5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，又過了

5、m分鐘后甲桶中的水只有升，則m的值為________． 解析 令a＝aent，即＝ent，因為＝e5n，故＝e15n，比較知t＝15，m＝15－5＝10. 答案 10 7．小王每月除去所有日常開支，大約結(jié)余a元．小王決定采用零存整取的方式把余錢積蓄起來，每月初存入銀行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假設一年期零存整取的月利率為r，每期存款按單利計息．那么，小王的存款到期利息為________元． 解析 依題意得，小王存款到期利息為12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝ar＝78ar元． 答案 78ar 8．一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資1

6、00萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當x≤20時，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當x>20時，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關系式為________，該工廠的年產(chǎn)量為________件時，所得年利潤最大．(年利潤＝年銷售總收入一年總投資)． 解析 本題考查了函數(shù)的實際應用．當x≤20時，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當x>20時，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*)． 當0

7、6)2＋156，x＝16時，ymax＝156.而當x>20時，160－x<140，故x＝16時取得最大年利潤． 答案 y＝(x∈N*)；16 9．某商人購貨，進價已按原價a扣去25%.他希望對貨物訂一新價，以便按新價讓利20%銷售后仍可獲得售價25%的利潤，則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關系式為________． 解析　設新價為b，依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化簡得b＝a，所以y＝b·20%·x＝a·20%·x，即y＝x(x∈N*)． 答案　y＝x(x∈N*) 10.某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的

8、劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線． ①則第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(t)＝________. ②據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效．則服藥一次后治療有效的時間是________小時． 解析?、僭Oy＝當t＝1時，由y＝4得k＝4， 由1－a＝4得a＝3.則y＝ ②由y≥0.25得或 解得≤t≤5， 因此服藥一次后治療有效的時間是5－＝小時． 答案?、賧＝?、? 二、解答題 11．即將開工的上海與周邊城市的城際列車鐵路線將大大緩解交通的壓力，加速城市之間的流通．根據(jù)測算，如果

9、一列火車每次拖4節(jié)車廂，每天能來回16次；如果每次拖7節(jié)車廂，則每天能來回10次．每天來回次數(shù)是每次拖掛車廂個數(shù)的一次函數(shù)，每節(jié)車廂一次能載客110人，試問每次應拖掛多少節(jié)車廂才能使每天營運人數(shù)最多？并求出每天最多的營運人數(shù)．(注：營運人數(shù)指火車運送的人數(shù)) 解　設這列火車每天來回次數(shù)為t次，每次拖掛車廂n節(jié)， 則設t＝kn＋b.由解得 所以t＝－2n＋24. 設每次拖掛n節(jié)車廂每天營運人數(shù)為y人， 則y＝tn×110×2＝2(－220n2＋2 640n)． 當n＝＝6時，總?cè)藬?shù)最多為15 840人．故每次應拖掛6節(jié)車廂才能使每天的營運人數(shù)最多為15 840人． 12．某創(chuàng)業(yè)投資

10、公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計能獲得10萬元到1 000萬元的投資收益．現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過收益的20%. (1)請分析函數(shù)y＝＋2是否符合公司要求的獎勵函數(shù)模型，并說明原因； (2)若該公司采用函數(shù)模型y＝作為獎勵函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值． 解：(1)對于函數(shù)模型y＝f(x)＝＋2， 當x∈[10,1 000]時，f(x)為增函數(shù)， f(x)max＝f(1 000)＝＋2＝＋2<9， 所以f(x)≤9恒成立， 但當x＝10時，f(10)＝＋2>，即f(x

11、)≤不恒成立， 故函數(shù)模型y＝＋2不符合公司要求． (2)對于函數(shù)模型y＝g(x)＝， 即g(x)＝10－， 當3a＋20>0，即a>－時遞增， 為使g(x)≤9對于x∈[10,1 000]恒成立， 即要g(1 000)≤9,3a＋18≥1 000， 即a≥，[來源:] 為使g(x)≤對于x∈[10,1 000]恒成立， 即要≤5，即x2－48x＋15a≥0恒成立， 即(x－24)2＋15a－576≥0(x∈[10,1 000])恒成立，又24∈[10,1 000]， 故只需15a－576≥0即可， 所以a≥. 綜上，a≥，故最小的正整數(shù)a的值為39. 13．我國是

12、水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價格調(diào)控等手段以達到節(jié) 約用水的目的．某市用水收費標準是：水費＝基本費＋超額費＋定額損耗費，且有如下三條規(guī)定： ①若每月用水量不超過最低限量m立方米時，只付基本費9元和每戶每月定額損耗費 a元； ②若每月用水量超過m立方米時，除了付基本費和定額損耗費外，超過部分每立方米付n元的超額費； ③每戶每月的定額損耗費a不超過5元． (1)求每戶每月水費y(元)與月用水量x(立方米)的函數(shù)關系式； (2)該市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的費用如下表所示： 月份 用水量(立方米) 水費(元) 一 4 17 二 5 23 三 2.5

13、 11 試分析該家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超過最低限量，并求m，n，a的值． 解：(1)依題意，得 y＝ 其中0

14、a. 由解得 所以，該家庭今年一、二月份用水量超過最低限量，三月份用水量沒有超過最低限量，m＝3，n＝6，a＝2. 14．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和． (1)求k的值及f(x)的表達式； (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值． 解　(1)設隔熱層厚度為x cm，由題設，每年能源消耗費用為C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝. 而建造費用為C1(x)＝6x. 最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f(x)＝2－10≥2×2－10＝70(當且僅當＝3x＋5，即x＝5時，“＝”成立)，所以當x＝5時，f(x)min＝f(5)＝70.故隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元. 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品