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中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設組 3 3定積分的應用 高等數(shù)學A 第3章一元函數(shù)積分學 3 3 1平面圖形的面積3 3 2體積 1 3 3定積分的應用 3 3 1平面圖形的面積 問題的提出與微元法 直角坐標情形 參數(shù)方程情形 計算平面圖形面積習例1 4 極坐標情形 計算平面圖形面積習例5 7 3 3 2立體體積 旋轉(zhuǎn)體的體積 計算立體體積習例8 11 內(nèi)容小結(jié) 定積分的幾何應用 回顧 曲邊梯形求面積的問題 一 問題的提出與微元法 將曲邊梯形面積表示為定積分的步驟如下 提示 1 求總體量 先求部分量 以不變代變 2 對部分量求和取極限 若所求量U須滿足條件 1 U是與一個變量x的變化區(qū)間 a b 有關的量 2 U對于區(qū)間 a b 具有可加性 就是說 如果把區(qū)間 a b 分成許多部分區(qū)間 則U相應地分成許多部分量 而U等于所有部分量之和 則可用定積分來表達這個量U 微元法的一般步驟 根據(jù)問題的具體情況 選取一個變量 如x 為積分變量 并確定它的變化區(qū)間 a b 2 設想把區(qū)間 a b 分成n個小區(qū)間 取其中任一小區(qū)間并記為 x x dx 求出相應于這小區(qū)間的部分量 U的近似值 如果 U能近似地表示為 a b 上的一個連續(xù)函數(shù)在x處的值f x 與dx的乘積 就把f x dx稱為量U的微元 且記為dU 這個方法通常叫做微元法 應用方向 平面圖形的面積 體積 平面曲線的弧長 功 水壓力 引力和平均值等 曲邊梯形的面積 圍成圖形的面積 1 直角坐標情形 二 平面圖形的面積 說明 注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式 則曲邊梯形面積 此時要注意曲邊是有正方向的 從而確定出起點和終點 當你沿曲邊朝著這方向前進時曲邊梯形將在你的右邊 2 參數(shù)方程情形 計算平面圖形面積習例 例4 例1 例2 例3 解 兩曲線的交點 選x為積分變量 例1 兩曲線的交點 選為積分變量 例2 解 橢圓的參數(shù)方程 由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積 例3 解 例4 解 所求面積 面積元素 曲邊扇形的面積 3 極坐標情形 計算平面圖形面積習例 例5 例6 例7 由對稱性知總面積 4倍第一象限部分面積 例5 解 利用對稱性知 例6 解 例7 解 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸 圓柱 圓錐 圓臺 旋轉(zhuǎn)體的體積 三 立體體積 旋轉(zhuǎn)體的體積為 例8 例10 例11 計算立體體積習例 例9 解 例8 解 1 繞x軸旋轉(zhuǎn)時 選x為積分變量 2 繞y軸旋轉(zhuǎn)時 例9 解 例10 2 解法2 柱殼法 柱殼體積 柱面面積 補充 體積元素為 例11 解 內(nèi)容小結(jié) 1 平面圖形的面積 邊界方程 參數(shù)方程 極坐標方程 直角坐標方程 上下限按順時針方向確定 2 旋轉(zhuǎn)體的立體體積 繞x軸 繞y軸 柱殼法