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牛吃草問題 導(dǎo)入 一堆草可供10頭牛吃3天 這堆草可供6頭牛吃幾天 這道題太簡單了 同學(xué)們一下就可求出 3 10 6 5 天 如果我們把 一堆草 換成 一片正在生長的草地 問題就不那么簡單了 因?yàn)椴菝刻於荚谏L 草的數(shù)量在不斷變化 這類工作總量不固定 均勻變化 的問題就是牛吃草問題 牛吃草問題是牛頓問題的俗稱 英國大數(shù)學(xué)家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學(xué)題 牧場(chǎng)上一片青草 每天牧草都勻速生長 這片牧草可供10頭牛吃20天 或者可供15頭牛吃10天 問 可供25頭牛吃幾天 設(shè)1頭牛一天吃的草為1份 那么 10頭牛20天吃200份 草被吃完 15頭牛10天吃150份 草也被吃完 前者的總草量是200份 后者的總草量是150份 前者是原有的草加20天新長出的草 后者是原有的草加10天新長出的草 200 150 50 份 20 10 10 天 說明牧場(chǎng)10天長草50份 1天長草5份 也就是說 5頭牛專吃新長出來的草剛好吃完 5頭牛以外的牛吃的草就是牧場(chǎng)上原有的草 由此得出 牧場(chǎng)上原有草 l0 5 20 100 份 或 15 5 10 100 份 現(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100份 每天新長出草5份 當(dāng)有25頭牛時(shí) 其中的5頭專吃新長出來的草 剩下的20頭吃原有的草 吃完需100 20 5 天 所以 這片草地可供25頭牛吃5天 在例1的解法中要注意三點(diǎn) 1 每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計(jì)算出來的 2 在已知的兩種情況中 任選一種 假定其中幾頭牛專吃新長出的草 由剩下的牛吃原有的草 根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量 3 在所求的問題中 讓幾頭牛專吃新長出的草 其余的牛吃原有的草 根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天 練習(xí) 1 一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長 這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周 那么 可供21頭牛吃幾周 例2 由于天氣逐漸冷起來 牧場(chǎng)上的草不僅不長大 反而以固定的速度在減少 已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天 或可供15頭牛吃6天 照此計(jì)算 可供多少頭牛吃10天 設(shè)1頭牛1天吃的草為1份 20頭牛5天吃100份 15頭牛6天吃90份 100 90 10 份 說明寒冷使牧場(chǎng)1天減少青草10份 也就是說 寒冷相當(dāng)于10頭牛在吃草 由 草地上的草可供20頭牛吃5天 再加上 寒冷 代表的10頭牛同時(shí)在吃草 所以牧場(chǎng)原有草 20 10 5 150 份 由150 10 15知 牧場(chǎng)原有草可供15頭牛吃10天 寒冷占去10頭牛 所以 可供5頭牛吃10天 變式訓(xùn)練 1 一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管 先打開進(jìn)水管 等水池存了一些水后 再打開出水管 如果同時(shí)打開2個(gè)出水管 那么8分鐘后水池空 如果同時(shí)打開3個(gè)出水管 那么5分鐘后水池空 那么出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘 分析 雖然表面上沒有 牛吃草 但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓?水 相當(dāng)于 草 進(jìn)水管進(jìn)的水相當(dāng)于新長出的草 出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草 所以也是牛吃草問題 解法自然也與例1相似 出水管所排出的水可以分為兩部分 一部分是出水管打開之前原有的水量 另一部分是開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水 因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊?所以可以從比較兩次排水所用的時(shí)間及排水量入手解決問題 設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份 則2個(gè)出水管8分鐘所排的水是2 8 16 份 3個(gè)出水管5分鐘所排的水是3 5 15 份 這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量 兩者相減就是在8 5 3 份 內(nèi)所放進(jìn)的水量 所以每分鐘的進(jìn)水量是1 3 份 原有水的水量為 2 1 3 8 40 3 份 解 設(shè)出水管每分鐘排出得水為1份 每分鐘進(jìn)水量 2 8 3 5 8 5 1 3 份 進(jìn)水管提前開了 2 1 3 8 1 3 40 分 答 出水管比進(jìn)水管晚開40分鐘 變式訓(xùn)練2 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著 兩位性急的孩子要從扶梯上樓 已知男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí) 女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí) 結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上 女孩用了6分鐘到達(dá)樓上 問 該扶梯共有多少級(jí) 分析 上樓的速度可以分為兩部分 一部分是男 女孩自己的速度 另一部分是自動(dòng)扶梯的速度 男孩5分鐘走了20 5 100 級(jí) 女孩6分鐘走了15 6 90 級(jí) 女孩比男孩少走了100 90 10 級(jí) 多用了6 5 1 分 說明電梯1分鐘走10級(jí) 所以扶梯共有 20 10 5 150 級(jí) 解 自動(dòng)扶梯每分鐘走 20 5 15 6 6 5 10 級(jí) 自動(dòng)扶梯共有 20 10 5 150 級(jí) 答 扶梯共有150級(jí) 解 自動(dòng)扶梯每分鐘走 20 5 15 6 6 5 10 級(jí) 自動(dòng)扶梯共有 20 10 5 150 級(jí) 答 扶梯共有150級(jí) 變式訓(xùn)練3 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì) 每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多 從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失 同時(shí)開4個(gè)檢票口需30分鐘 同時(shí)開5個(gè)檢票口需20分鐘 如果同時(shí)打開7個(gè)檢票口 那么需多少分鐘 分析與解 等候檢票的旅客人數(shù)在變化 旅客 相當(dāng)于 草 檢票口 相當(dāng)于 牛 可以用牛吃草問題的解法求解 旅客總數(shù)由兩部分組成 一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客 另一部分是開始檢票后新來的旅客 設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份 因?yàn)?個(gè)檢票口30分鐘通過 4 30 份 5個(gè)檢票口20分鐘通過 5 20 份 說明在 30 20 分鐘內(nèi)新來旅客 4 30 5 20 份 所以每分鐘新來旅客 4 30 5 20 30 20 2 份 假設(shè)讓2個(gè)檢票口專門通過新來的旅客 兩相抵消 其余的檢票口通過原來的旅客 可以求出原有旅客為 4 2 30 60 份 或 5 2 20 60 份 60 7 2 12 分 小結(jié) 通常思路 1 求出每天長草量 2 求出牧場(chǎng)原有草量 3 求出每天實(shí)際消耗原有草量 牛吃的草量 生長的草量 消耗原有草量 4 最后求出可吃天數(shù) 謝謝大家