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2 2 2反證法 自主學習新知突破 1 了解反證法是間接證明的一種方法 2 理解反證法的思維過程 并會用反證法證明簡單的數學問題 1 問題 A B C三個人 A說B撒謊 B說C撒謊 C說A B都撒謊 則C必定是在撒謊 為什么 提示 假設C沒有撒謊 則C真 那么A假且B假 由A假 知B真 這與B假矛盾 那么假設C沒有撒謊不成立 則C必定是在撒謊 2 已知正整數a b c滿足a2 b2 c2 求證 a b c不可能都是奇數 問題1 你能利用綜合法和分析法證明該問題嗎 提示1 不能 問題2 a b c不可能都是奇數的反面是什么 提示2 都是奇數 假設原命題 經過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明 從而證明了 這種證明方法叫做反證法 定義 不成立 假設錯誤 原命題成立 反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾 這個矛盾可以是與 矛盾 或與 矛盾 或與 公理 定理 事實矛盾等 反證法常見的矛盾類型 已知條件 假設 定義 反證法的實質及注意事項 1 反證法的實質反證法不直接證明命題 而是從原命題的反面入手 合乎邏輯地推出一個矛盾結果 由于兩個相互矛盾的判斷必有一真一假 由此肯定命題 若p則q 為真 2 注意事項 用反證法證明問題的第一步是 反設 這一步一定要準確 否則后面的過程毫無意義 反證法的 歸謬 要合理 1 應用反證法推出矛盾的推導過程中可以把下列哪些作為條件使用 結論相反判斷 即假設 原命題的條件 公理 定理 定義等 原結論 A B C D 解析 由反證法定義可知 正確 答案 C 2 用反證法證明命題 a b N ab可被5整除 那么a b中至少有一個能被5整除 時 假設的內容應為 A a b都能被5整除B a b都不能被5整除C a b不都能被5整除D a不能被5整除解析 至少有一個 的否定是 一個也沒有 即 a b都不能被5整除 答案 B 3 用反證法證明 一個三角形不能有兩個直角 有三個步驟 A B C 90 90 C 180 這與三角形內角和為180 矛盾 故假設錯誤 所以一個三角形不能有兩個直角 假設 ABC中有兩個直角 不妨設 A 90 B 90 上述步驟的正確順序為 解析 由反證法的一般步驟可知 正確的順序應為 答案 合作探究課堂互動 用反證法證明否 肯 定式命題 平面上有四個點 假設無三點共線 證明以每三點為頂點的三角形不可能都是銳角三角形 思路點撥 1 結論中含有 不 不是 不可能 不存在 等詞語的命題 此類問題的反面比較具體 適于應用反證法 2 用反證法證明問題的一般步驟 1 假設命題的結論不成立 即假設結論的反面成立 2 從這個假設出發(fā) 經過推理論證 得出矛盾 3 從矛盾判定假設不正確 從而肯定命題的結論正確 用反證法證明唯一性問題 已知a與b是異面直線 求證 過a且平行于b的平面只有一個 思路點撥 這是一個唯一性問題 直接證明較困難 宜用反證法 如圖 假設過直線a且平行于直線b的平面有兩個 分別為 和 在直線a上取點A 過b和A確定一個平面 且 與 分別交于過點A的直線c d 由b 知b c 同理b d 故c d 這與c d相交于點A矛盾 故假設不成立 原結論成立 用反證法證明唯一性命題的適用類型 1 當證明結論以 有且只有 只有一個 唯一存在 等形式出現的命題時 由于反設結論易于推出矛盾 所以用反證法證明唯一性就非常簡單明了 2 用反證法證題時 一定要處理好推出矛盾這一步驟 因為反證法的核心就是從求證的結論反面出發(fā) 導出矛盾的結果 因此如何導出矛盾 就成為了關鍵所在 對于證題步驟 絕不可死記 而要具有全面扎實的基礎知識 靈活運用 特別提醒 證明 有且只有一個 的問題 需要證明兩個問題 即存在性問題和唯一性問題 2 已知 一點A和平面 求證 經過點A只能有一條直線和平面 垂直 證明 根據點A和平面 的位置關系 分兩種情況證明 1 如圖 點A在平面 內 假設經過點A至少有平面 的兩條垂線AB AC 那么AB AC是兩條相交直線 它們確定一個平面 平面 和平面 相交于經過點A的一條直線a 因為AB 平面 AC 平面 a 所以AB a AC a 在平面 內經過點A有兩條直線都和直線a垂直 這與平面幾何中經過直線上一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾 所以AB BC AC BC 在平面 內經過點A有兩條直線都和BC垂直 這與平面幾何中經過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾 綜上 經過一點A只能有一條直線和平面 垂直 用反證法證明 至多 至少 存在性問題 已知a b c是互不相等的實數 求證 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點 思路點撥 結論中有詞語 至少 宜采用反證法 注意 至少有一個 的否定形式為 一個也沒有 所以AB BC AC BC 在平面 內經過點A有兩條直線都和BC垂直 這與平面幾何中經過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾 綜上 經過一點A只能有一條直線和平面 垂直 1 當命題出現 至多 至少 等形式時 適合用反證法 2 常見的 結論詞 與 反設詞 用反證法證明命題 a b為整數 若a b不是偶數 則a b都不是偶數 時 應假設為 錯解 a b不都是偶數 錯因 應用反證法時 假設錯誤a b不都是偶數包括的情況有 a是偶數 b是奇數 a是奇數 b是偶數 a是奇數 b是奇數 注意否定的結論是不是結論的對立面 a b都不是偶數 指 a b都是奇數 它的反面是 a b不都是奇數 正解 a b不都是奇數