《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)：第2章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)3》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)：第2章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)3（49頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.6.3 2.6.3 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法由英國工程師由英國工程師KarnaughKarnaugh首先提出，首先提出，也稱卡諾圖為也稱卡諾圖為K K圖圖。利用卡諾圖可以方便地對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡。通常利用卡諾圖可以方便地對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡。通常稱為稱為圖解法或卡諾圖化簡法圖解法或卡諾圖化簡法。卡諾圖是一張?zhí)厥饨Y(jié)構(gòu)的卡諾圖是一張?zhí)厥饨Y(jié)構(gòu)的格圖形式的真值表格圖形式的真值表。A BF0 000 111 001 1100010111AB注意：變量對應(yīng)的取值按注意：變量對應(yīng)的取值按循環(huán)碼的變化規(guī)律循環(huán)碼的變化規(guī)律 寫在格圖的左側(cè)和上方。寫在格圖的左側(cè)和上方。三變量的卡諾圖：三變量的卡諾圖：四變量的卡

2、諾圖：四變量的卡諾圖：1010110100ABC1011010010110100ABCD1011010010ABCA B C F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1例：請根據(jù)以下真值表完成卡諾圖。例：請根據(jù)以下真值表完成卡諾圖?？ㄖZ圖中的每個(gè)小格可代表一個(gè)最小項(xiàng)?？ㄖZ圖中的每個(gè)小格可代表一個(gè)最小項(xiàng)。m6m7m5m41m2m3m1m0010110100ABC1011010010110100ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6m14m10m11m15m13m12m8m9“1 1格格”代表最小項(xiàng)進(jìn)入函數(shù)的

3、最小項(xiàng)表達(dá)式；代表最小項(xiàng)進(jìn)入函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式；“ 0 0格格”代表最小項(xiàng)不進(jìn)入函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式。代表最小項(xiàng)不進(jìn)入函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式。卡諾圖和函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式的關(guān)系：卡諾圖和函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式的關(guān)系： )4 , 2 , 1 , 0(m)C,B,A(F1 )7 , 6 , 5 , 3(),(2mCBAF試填寫以下函數(shù)的卡諾圖：試填寫以下函數(shù)的卡諾圖： )15,12,11, 7 , 6 , 5 , 1(),(3mDCBAF )14,12,11,10, 9 , 8 , 7(),(4mDCBAF例：例： 將如圖所示卡諾圖用最小項(xiàng)表達(dá)式表示。將如圖所示卡諾圖用最小項(xiàng)表達(dá)式表示。解：解：10011001001

4、0110100ABC641),(mmmCBAF = A B C + A B C + A B C由一般表達(dá)式寫出最小項(xiàng)表達(dá)式的方法：由一般表達(dá)式寫出最小項(xiàng)表達(dá)式的方法： 與或式與或式 A + A = 1最小項(xiàng)表達(dá)式最小項(xiàng)表達(dá)式 )7 , 6 , 5 , 3 , 1(mCBACBAF ),(例：例：)B)(BA(ACC( CAB）C BACBBCACC AABAB例例2.6.12 試將試將 F(A,B,C,D) = ABCD + ABD + AC 用卡諾圖表示。用卡諾圖表示。解：解： 11101111111010010110100ABCD圖圖 2.6.5根據(jù)一般與或式填寫卡諾圖的根據(jù)一般與或式填寫

5、卡諾圖的觀察法觀察法：在在包含乘積項(xiàng)中全部變量包含乘積項(xiàng)中全部變量的小格中填的小格中填 1 1。原變量對應(yīng)原變量對應(yīng)“1 1”，反變量對應(yīng)，反變量對應(yīng)“0 0”。 試填寫以下函數(shù)的卡諾圖：試填寫以下函數(shù)的卡諾圖：CABACBAF ),(1BCACBAF ),(2BCDCAABCDDCBAF ),(3卡諾圖的性質(zhì)與運(yùn)算：卡諾圖的性質(zhì)與運(yùn)算： 1 1）卡諾圖的主要性質(zhì)）卡諾圖的主要性質(zhì) 若卡諾圖中所有小格全為若卡諾圖中所有小格全為“1 1”，則，則F=1F=1；若全為若全為“0 0”，則，則F=0F=0。 相加：對應(yīng)小格相加，有相加：對應(yīng)小格相加，有“1 1”則填則填“1 1”。 2 2）卡諾圖的

6、運(yùn)算）卡諾圖的運(yùn)算 相乘：對應(yīng)小格相相乘：對應(yīng)小格相乘乘，全全“1 1”填填“1 1”。 異或：對應(yīng)小格相異或，相異填異或：對應(yīng)小格相異或，相異填“1 1”。 反演：各小格取反。反演：各小格取反。 兩卡諾圖相加：兩卡諾圖相加：001010010010110100ABC000010110010110100ABC001010110010110100ABC001010010010110100ABC000010110010110100ABC000010010010110100ABC兩卡諾圖相乘：兩卡諾圖相乘：001010010010110100ABC001010100010110100ABCA0000

7、10110010110100BC兩卡諾圖相異或：兩卡諾圖相異或：001010010010110100ABC110111101010110100ABC )5 , 1(),(mCBAF )7 , 6 , 4 , 3 , 2 , 0(),(mCBAF卡諾圖反演：卡諾圖反演：例：例：已知已知F1(A,B,C,D) = A B + C D F2(A,B,C,D) = B C + A D。試求試求 )?(mFF)D,C,B,A(F21 解：用卡諾圖分別表示函數(shù)解：用卡諾圖分別表示函數(shù)F1 ，F(xiàn)2 ，F(xiàn) ，如下，如下圖所示。圖所示。 AB CD AB CD 00 01 11 1000101111110111

8、100 01 11 10000111111111011F1 F2 AB CD AB CD 00 01 11 10000010011110111100101001AB CD 00 01 11 1000101111110111100 01 11 10000111111111011F1 F2 F 。所以所以 )13,12,10, 8 , 7 , 5 , 4 , 3(),(mDCBAF3. 3. 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法 化簡原理：化簡原理： 卡諾圖上幾何相鄰和對稱相鄰的小方格所代表卡諾圖上幾何相鄰和對稱相鄰的小方格所代表的最小項(xiàng)的最小項(xiàng)邏輯相鄰邏輯相鄰 ，可以利用合并相鄰項(xiàng)公式，可以利用合并相鄰項(xiàng)公

9、式: A B + A B = A 化簡?；?。最小項(xiàng)的合并最小項(xiàng)的合并合并的對象：合并的對象：卡諾圖上卡諾圖上幾何相鄰和對稱相鄰的幾何相鄰和對稱相鄰的、 并構(gòu)成并構(gòu)成矩形框矩形框的、填的、填“1”的、的、2n 個(gè)小方格。個(gè)小方格。合并項(xiàng)的寫法：合并項(xiàng)的寫法：一個(gè)卡諾圈對應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，該乘一個(gè)卡諾圈對應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，該乘積項(xiàng)由卡諾圈內(nèi)各小方格對應(yīng)的積項(xiàng)由卡諾圈內(nèi)各小方格對應(yīng)的取值相同的變量取值相同的變量組組成，其中，成，其中，“1”對應(yīng)原變量，對應(yīng)原變量，“0”對應(yīng)反變量。對應(yīng)反變量。合并的規(guī)律合并的規(guī)律 ：圈圈2 2i i個(gè)相鄰最小項(xiàng)，可消去個(gè)相鄰最小項(xiàng)，可消去i i個(gè)變量。個(gè)變量。(i = 0

10、,1,2(i = 0,1,2) )圈法舉例：圈法舉例： 000010011010110100ABCF = A B000011001010110100 ABCF = A C可見：圈可見：圈2 2格，可消去格，可消去1 1個(gè)變量個(gè)變量。001110011010110100 ABCF = B000011111010110100 ABCF = A 100111001010110100ABCF = C 圈法舉例：圈法舉例： 可見：圈可見：圈4 4格，可消去格，可消去2 2個(gè)變量個(gè)變量。10011001101101100110010010110100AB CD 0110101001111001010110

11、0010110100AB CD F = B D + B DF = B D + B D圈法舉例：圈法舉例： 01101001101101100101100010110100 AB CD 10011010011110010110010010110100 AB CD F = D F = D 圈法舉例：圈法舉例： 可見：圈可見：圈8 8格，可消去格，可消去3 3個(gè)變量個(gè)變量。001110011010110100 ABCB C 不是主要項(xiàng)不是主要項(xiàng)B 是主要項(xiàng)是主要項(xiàng)名詞解釋名詞解釋主要項(xiàng)圈：主要項(xiàng)圈： 不能再擴(kuò)大的卡諾圈，再擴(kuò)大就會(huì)圈到不能再擴(kuò)大的卡諾圈，再擴(kuò)大就會(huì)圈到“0 0”格格。主要項(xiàng)：主要項(xiàng)：

12、 不能再擴(kuò)大的卡諾圈所對應(yīng)的合并項(xiàng)。不能再擴(kuò)大的卡諾圈所對應(yīng)的合并項(xiàng)。 011010011010110100ABCB C 是多余項(xiàng)是多余項(xiàng)A C、A B 是必要項(xiàng)是必要項(xiàng)ABC、A B C是實(shí)質(zhì)小項(xiàng)是實(shí)質(zhì)小項(xiàng)必要項(xiàng)必要項(xiàng)：含有獨(dú)立的：含有獨(dú)立的“1 1”格的格的主要項(xiàng)圈中的主要項(xiàng)主要項(xiàng)圈中的主要項(xiàng)。多余項(xiàng)：多余項(xiàng)：無獨(dú)立的無獨(dú)立的“1 1”格的格的主要項(xiàng)圈中的主要項(xiàng)圈中的主要項(xiàng)主要項(xiàng)。實(shí)質(zhì)小項(xiàng)：實(shí)質(zhì)小項(xiàng)： 卡諾圈中未被其它主要圈覆蓋而為本圈所獨(dú)有卡諾圈中未被其它主要圈覆蓋而為本圈所獨(dú)有的的“1 1”格所代表的最小項(xiàng)。格所代表的最小項(xiàng)。名詞解釋名詞解釋圈卡諾圈的原則：圈卡諾圈的原則： a. 排斥

13、原則排斥原則：“1”和和“0”不可共存于同一圈中不可共存于同一圈中；b. 閉合原則閉合原則：圈完所有的：圈完所有的“1”格；格；c. 最小原則最小原則：圈個(gè)數(shù)最少，圈范圍最大。：圈個(gè)數(shù)最少，圈范圍最大?；喌牟襟E：化簡的步驟： a. 先圈孤立的先圈孤立的“1格格” ； b. 再圈只有一個(gè)合并方向的再圈只有一個(gè)合并方向的“1格格” ；c. 圈剩下的圈剩下的“1格格”。 注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)： a. 圈中圈中“1”格的數(shù)目只能為格的數(shù)目只能為2 i ( i = 0,1,2)，且，且是相鄰的。是相鄰的。b. 同一個(gè)同一個(gè)“1” 格可被圈多次格可被圈多次( A + A = A )。c.每個(gè)圈中必須有該圈

14、獨(dú)有的每個(gè)圈中必須有該圈獨(dú)有的“1”格。格。d. 首先考慮圈數(shù)最少，其次考慮圈盡可能大。首先考慮圈數(shù)最少，其次考慮圈盡可能大。e. 圈法不是唯一的。圈法不是唯一的。化簡舉例：化簡舉例：例例2.6.14 化簡函數(shù)化簡函數(shù))15,14,10, 9 , 7 , 6 , 5 , 2 , 0(),(mDCBAF為最簡與或式。為最簡與或式。10101011001111100110010010110100AB CD F(A,B,C,D) = A B D + A B D + A B C D + B C + C D圖圖 2.6.13例例2.6.16 化簡函數(shù)化簡函數(shù)為最簡與或式。為最簡與或式。)15,14,11

15、,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 2 , 0(),(mDCBAF11111011001111100110010010110100 AB CD F(A,B,C,D) = A B D + B D + A B + B C圖圖 2.6.15習(xí)題習(xí)題2.12 2.12 用卡諾圖法把下列函數(shù)化簡為最簡與或式。用卡諾圖法把下列函數(shù)化簡為最簡與或式。(1) F(A,B,C)= m(0,1,2,4,5,7)(2) F(A,B,C,D)= m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)( 1 ) F(A,B,C)= m(0,1,2,4,5,7)011111011010110100 ABC（2）F(

16、A,B,C,D)= m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)1110111111101110010110100ABCD四、非完全描述邏輯函數(shù)的化簡四、非完全描述邏輯函數(shù)的化簡 無關(guān)項(xiàng)無關(guān)項(xiàng) 約束項(xiàng)約束項(xiàng) 任意項(xiàng)任意項(xiàng) ：邏輯問題中不可能出現(xiàn)的?。哼壿媶栴}中不可能出現(xiàn)的取 值組合所對應(yīng)的最小項(xiàng)。值組合所對應(yīng)的最小項(xiàng)。 ：出現(xiàn)以后函數(shù)的值可任意規(guī)定：出現(xiàn)以后函數(shù)的值可任意規(guī)定 的取值組合所對應(yīng)的最小項(xiàng)。的取值組合所對應(yīng)的最小項(xiàng)。 任意項(xiàng)很少遇到。任意項(xiàng)很少遇到。非完全描述邏輯函數(shù)：具有無關(guān)項(xiàng)的函數(shù)。非完全描述邏輯函數(shù)：具有無關(guān)項(xiàng)的函數(shù)。 無關(guān)項(xiàng)是兩種特殊類型的最小項(xiàng)。無關(guān)項(xiàng)是兩種特殊類型的最

17、小項(xiàng)。 )7 , 3()5 , 2 , 1 , 0(m)C,B,A(F:)7 , 3( 表示表示m3、m7是無關(guān)項(xiàng)。是無關(guān)項(xiàng)。（約束項(xiàng)或任意項(xiàng)）（約束項(xiàng)或任意項(xiàng)）具有無關(guān)項(xiàng)的函數(shù)均可以描述如下：具有無關(guān)項(xiàng)的函數(shù)均可以描述如下：在真值表和卡諾圖中，與無關(guān)項(xiàng)對應(yīng)的取值組在真值表和卡諾圖中，與無關(guān)項(xiàng)對應(yīng)的取值組合的函數(shù)值可以填合的函數(shù)值可以填“ ”或或“ ”。非完全描述邏輯函數(shù)的化簡：非完全描述邏輯函數(shù)的化簡：無關(guān)項(xiàng)小格既可作為無關(guān)項(xiàng)小格既可作為“0”格處理，也可作為格處理，也可作為“1”格格 處理，以使化簡結(jié)果最簡為準(zhǔn)。處理，以使化簡結(jié)果最簡為準(zhǔn)。注意：注意： (1) 卡諾圈中不可全是無關(guān)項(xiàng)；卡諾

18、圈中不可全是無關(guān)項(xiàng)； (2) 不可把無關(guān)項(xiàng)作為實(shí)質(zhì)小項(xiàng)。不可把無關(guān)項(xiàng)作為實(shí)質(zhì)小項(xiàng)。 )7 , 3()5 , 2 , 1 , 0(m)C,B,A(F例：用卡諾圖法把下列函數(shù)化簡為最簡與或式。例：用卡諾圖法把下列函數(shù)化簡為最簡與或式。11101111101110010110100ABCDDBBDCF )13,10, 9 , 7 , 4 , 1 , 0(m)D,C,B,A(F)3( )15,12, 8 , 5 , 2(習(xí)題習(xí)題2.12 2.12 用卡諾圖法把下列函數(shù)化簡為最簡與或式。用卡諾圖法把下列函數(shù)化簡為最簡與或式。例例2.6.22 2.6.22 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) 101

19、1101110110100000010110100AB CD F(A,B,C,D) = A B C + A D + B C D 圖圖 2.6.22)15,14,13, 6 , 5 , 4(),(mDCBAF0BA約束條件約束條件將將約束項(xiàng)之和等于約束項(xiàng)之和等于0 0稱為稱為約束條件。約束條件。0CBA, 0CBA, 0CBA, )15,13, 7(m)D,C,B,A(F)4( 且且1011111010010110100ABCDBD)D,C,B,A(F 習(xí)題習(xí)題2.12 2.12 用卡諾圖法把下列函數(shù)化簡為最簡與或式。用卡諾圖法把下列函數(shù)化簡為最簡與或式。無關(guān)項(xiàng)的運(yùn)算規(guī)則無關(guān)項(xiàng)的運(yùn)算規(guī)則；+01

20、101001 = 表表 2.6.11101111010110100ABC11101010110100ABCA1011101010110100BCBA)C,B,A(F 2.14例例: 要求設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯電路，能夠判斷一位十要求設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯電路，能夠判斷一位十進(jìn)制數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為奇數(shù)進(jìn)制數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為奇數(shù)時(shí)，電路輸出為時(shí)，電路輸出為1，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為偶數(shù)時(shí)，電，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為偶數(shù)時(shí)，電路輸出為路輸出為0。 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ABCD00 01 11 1000 01 1110DF 1111 1110 1101 1100 1011 101011001010

21、001011100110101010010010011000101000100000LABCDA B CF1 F2 F30 0 01 1 00 0 11 0 0 0 1 01 0 00 1 10 1 11 0 01 0 01 0 10 1 11 1 00 1 11 1 10 0 1 )4 , 2 , 1 , 0(m)C,B,A(F1 )6 , 5 , 3 , 0(m)C,B,A(F2 )7 , 6 , 5 , 3(m)C,B,A(F3解：真值表和最小項(xiàng)表達(dá)式如下：解：真值表和最小項(xiàng)表達(dá)式如下： 課后習(xí)題課后習(xí)題2.1將下列函數(shù)展開成最小項(xiàng)之和：將下列函數(shù)展開成最小項(xiàng)之和：F(A,B,C)=A+

22、BC課后習(xí)題課后習(xí)題2.8（1）DCBACDABCDDCBAF ),()1( )15,12,11, 4(m )14,13,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 3 , 2 , 1 , 0(),(mDCBAF )15,14,13,12,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 2 , 1(),(mDCBAF課后習(xí)題課后習(xí)題2.10 )7 , 5 , 4 , 3 , 2(m )6 , 1 , 0(),(mCBAF )7 , 6 , 1(),(mCBAFBCBABACBAF ),()2(BBCABCCABAF)1( 解：解：B)BCCB(AA BA 課后習(xí)題課后習(xí)題2.11)DCB)(CA)(CBA)(BA(F)2( BCDCAABCABF BCDCAAB CAAB )CA)(BA()F(F BCBAAC BAAC 練習(xí)：練習(xí)：請用卡諾圖把下列函數(shù)化簡為請用卡諾圖把下列函數(shù)化簡為最簡與或式最簡與或式。1) F(A,B,C,D)=m( 5,6,7,8,9 )2) F(A,B,C,D)=m( 5,6,7,8,9 )+(10,11,12,13,14,15)3) F(A,B,C,D)=m( 0, 2, 6, 8 ) AB+AC=0