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1、數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙--培根 《可化為一元一次方程的分式方程》知識講解（基礎(chǔ)） 責編：杜少波 【學(xué)習(xí)目標】 1. 了解分式方程的定義，根及增根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程． 2. 會列出分式方程解簡單的應(yīng)用問題． 【要點梳理】 【高清課堂 405788 分式方程的解法及應(yīng)用 知識要點】 要點一、分式方程、根與增根 1.分式方程 分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程. 要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未 知數(shù). （2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式

2、方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程. 2.分式方程的根、增根及檢驗 分式方程的解也叫作分式方程的根． 在檢驗時只要把所求出的未知數(shù)的值代入最簡公分母中，如果它使最簡公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一個根；如果它使最簡公分母的值為O，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根． 要點詮釋：（1）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方

3、程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根． （2）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根． 要點二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時必須驗根. 2.分式方程的一般步驟： （1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整

4、式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）； （2）解這個整式方程，求出整式方程的解； （3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解. 要點三、分式方程的應(yīng)用 分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題. 列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進行： （1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系； （2）設(shè)未知數(shù)； （3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程； （4）解這個分式方程； （5）驗根，檢驗是否是增根； （6）寫出答案.

5、 要點詮釋：1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗、答．必須嚴格按照這五5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等． 2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率=工作量工作時間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學(xué)會分析題意，提高理解能力． 【典型例題】 類型一、判別分式方程 1、（2016春?閔行區(qū)期末）下列方程中，不是分式方程的是（　?。? A． B． C． D． 【思路點撥】判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的

6、分母中是否含有未知數(shù)． 【答案】B； 【解析】解：A、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤； B、該方程屬于無理方程，故本選項正確； C、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤； D、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤； 故選：B． 【總結(jié)升華】本題考查了分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程． 類型二、解分式方程 2、 解分式方程（1）；（2）． 【答案與解析】 解：（1）， 將方程兩邊同乘，得 ． 解方程，得 ． 檢驗：將代入，得． ∴ 是原方程的根． （2）， 方程兩邊同乘以，得 ．

7、 解這個方程，得 ． 檢驗：把代入最簡公分母，得2×5×1＝10≠0． ∴ 原方程的解是． 【總結(jié)升華】將分式方程化為整式方程時，乘最簡公分母時應(yīng)乘原分式方程的每一項，不要漏乘常數(shù)項．特別提醒：解分式方程時，一定要檢驗方程的根． 舉一反三： 【變式】解方程：． 【答案】 解：， 方程兩邊都乘，得 ， 解這個方程，得 ， 檢驗：當時，， ∴ 是增根， ∴ 原方程無解． 類型三、分式方程的增根 【高清課堂405788 分式方程的解法及應(yīng)用 例3（1）】 3、（2015春?安岳縣期中）若解關(guān)于x的分式方程會產(chǎn)生增根，求m的值． 【思路點撥】增根是分式方程

8、化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值． 【答案與解析】 解：方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），得 2（x+2）+mx=3（x﹣2） ∵最簡公分母為（x+2）（x﹣2）， ∴原方程增根為x=±2， ∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4． 把x=﹣2代入整式方程，得m=6． 綜上，可知m=﹣4或6． 【總結(jié)升華】增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值． 舉一反三： 【變式】如果方程有增根，那么增根是________． 【答案】； 提示：因為增根是使分式的分母為零的根，由

9、分母或可得．所以增根是． 類型四、分式方程的應(yīng)用 4、甲、乙兩班參加綠化校園植樹活動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種 60棵樹所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等．求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹? 【思路點撥】本題的等量關(guān)系為：甲班種60棵樹所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等． 【答案與解析】 解：設(shè)甲班每小時種棵樹，則乙班每小時種棵樹．由題意可，得 ， 解這個方程，得 ． 經(jīng)檢驗是原方程的根且符合題意． 所以(棵)． 答：甲班每小時種20棵樹，乙班每小時種22棵樹． 【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)后，用含的分式表示甲、乙兩班種樹所用的時間． 舉一反三： 【變式】（2015?十堰）在我市開展“五城聯(lián)創(chuàng)”活動中，某工程隊承擔了某小區(qū)900米長的污水管道改造任務(wù)．工程隊在改造完360米管道后，引進了新設(shè)備，每天的工作效率比原來提高了20%，結(jié)果共用27天完成了任務(wù)，問引進新設(shè)備前工程隊每天改造管道多少米？ 【答案】 解：設(shè)原來每天改造管道x米，由題意得： +=27， 解得：x=30， 經(jīng)檢驗：x=30是原分式方程的解， 答：引進新設(shè)備前工程隊每天改造管道30米． 數(shù)學(xué)是最寶貴的研究精神之一--華羅庚