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高中數(shù)學(xué) 向量數(shù)量積的物理背景與定義課件 新人教B版必修4

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1、復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧x1 + x2y1 + y2x1 - x2y1 - y2 x1 y11、若向量、若向量a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) 則向量則向量a+b=( , )向量向量a-b=( , )向量向量a=( , )2、若已知點(diǎn)、若已知點(diǎn)A(x1,y1) , B(x2,y2) 則向量則向量AB=( , ) x2 x1 y2- y1 3、向量、向量a、b(b0)共線的充要)共線的充要 條件是什么?條件是什么? a =b若若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ,則共線的充,則共線的充要條件是什么?要條件是什么?x1 y2 - x2 y1=0如果一個(gè)物體在力F作用下產(chǎn)生位移S,那么F所

2、做的功為:表示力F的方向與位移S的方向的夾角。位移SOAFFSW=FW=FS SCOSCOS一一.力做功的計(jì)算力做功的計(jì)算二二.兩個(gè)向量的夾角兩個(gè)向量的夾角baOAOB已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量a、b, =a, = b.則則AOB稱作向量稱作向量a和向量和向量b的夾角的夾角,記作記作.并規(guī)定并規(guī)定0 BOA(1)求兩向量的夾角,應(yīng)保證兩個(gè)向量有公共起點(diǎn),若沒有,須平移使它們有公共起點(diǎn)共起點(diǎn);baBOAOAaBbBbaOAAaOBb(2)a ,b=b ,a;(3)范圍0a ,b;(4)a ,b=0時(shí), a、b同向;a ,b=時(shí),a、b反向;a ,b= 90時(shí), a b.(5)規(guī)定:在討論垂

3、直問題時(shí),零向量與任意向量垂直零向量與任意向量垂直.幾點(diǎn)說(shuō)明如圖,等邊三角形中,求 (1)AB與AC的夾角; (2)AB與BC的夾角。ABC 通過平移通過平移變成共起點(diǎn)!變成共起點(diǎn)!12060C練習(xí)練習(xí)1 1三三.向量在軸上的正射影向量在軸上的正射影 (1)概念:)概念: 已知向量已知向量a和軸和軸l,作,作 =a,過點(diǎn),過點(diǎn)O,A分別作軸分別作軸l的垂線,垂足分別為的垂線,垂足分別為O1,A1,則,則向量向量 叫做向量叫做向量a在軸在軸l上的正射影上的正射影. OA1 1 O A(2)正射影的數(shù)量:)正射影的數(shù)量:cosla a 向量向量a的正射影在軸的正射影在軸l上的坐標(biāo),稱作上的坐標(biāo),稱

4、作a在在軸軸l上的數(shù)量或在軸上的數(shù)量或在軸l方向上的數(shù)量方向上的數(shù)量.記作:記作: al向量向量a的方向與軸的方向與軸l的正方向所成的角為的正方向所成的角為,則有則有 1. a在軸l上的數(shù)量或在軸l方向上的數(shù)量是一個(gè)數(shù)量,不是向量.2. 當(dāng)為銳角時(shí),數(shù)量為正值;3. 當(dāng)為鈍角時(shí),數(shù)量為負(fù)值;4. 當(dāng)為直角時(shí),數(shù)量為0;5. 當(dāng) = 0時(shí),數(shù)量為 |a|;6. 當(dāng) = 180時(shí),數(shù)量為 |a|. 幾點(diǎn)說(shuō)明alxlOA2O1A1alaa例1.已知軸l(1).向量OA=5, OA, l=60,求OA在l上的正射影的數(shù)量OA1(2).向量OB=5, OB,l =120,求OB在l上的正射影的數(shù)量OB1

5、(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,=600,則向量a在向量b上的正射影的數(shù)量解:4cos600=2解:OA1=5COS600=5( )=5/2-5/2四四.向量的數(shù)量積(內(nèi)積)向量的數(shù)量積(內(nèi)積) 定義:定義: 叫做向量叫做向量a和和b的數(shù)量的數(shù)量積(或內(nèi)積)積(或內(nèi)積)記作:記作:ab .即即 ab = cos,a ba bcos,a ba bab BAO cos baba cos|b1數(shù)量積數(shù)量積a b等于等于a的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度與b在在a方向上正方向上正射影的數(shù)量射影的數(shù)量|b|cos 的乘積的乘積.幾點(diǎn)說(shuō)明2兩個(gè)向量的兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),符號(hào)由,符號(hào)由cos

6、a,b的符號(hào)所決定;而數(shù)乘向量是的符號(hào)所決定;而數(shù)乘向量是一個(gè)向量。一個(gè)向量。OABab 1BOABab )(1B為銳角時(shí),為銳角時(shí),| b | cos0為鈍角時(shí),為鈍角時(shí),| b | cos0為直角時(shí),為直角時(shí),| b | cos=0BOAab 1B量的數(shù)量積為03.規(guī)定零向量與任意向00a4. a b不能寫成不能寫成ab ,ab 表示向量的另一種運(yùn)算表示向量的另一種運(yùn)算兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量,為兩個(gè)非零向量,e是與是與b的單位向量的單位向量.1. e a = a e =|a|cos ;2. a b a b = 03. a a = |a|2或或aaa |4. cos

7、 = ;|baba5.|a b| |a|.|b| .內(nèi)積為零是判定兩向量垂直的條件內(nèi)積為零是判定兩向量垂直的條件用于計(jì)算向量的模用于計(jì)算向量的模用于計(jì)算向量的夾角用于計(jì)算向量的夾角,以及判斷三角形的形狀以及判斷三角形的形狀例例2.已知已知|a|=5,|b|=4,=120,求,求ab.解:解: a b =|a|b|cos =54cos120 = 10. 練習(xí)2 已知已知|a|,|b|,當(dāng),當(dāng)ab,ab,a與與b的夾角是的夾角是60時(shí),分別求時(shí),分別求abab時(shí),時(shí), ab =18;ab時(shí),時(shí),ab=0; a與與b的夾角是的夾角是60時(shí),時(shí),ab=9. ,1:平行且方向相同與因?yàn)榻釨CAD.0的夾

8、角為與BCAD91330cosBCADBCAD180的夾角是與CDAB16144180cosCDABCDAB120的夾角是與DAAB62134120cosDAABDAAB120例3、 BCADDABADABABCD.1:,60, 3, 4,求已知中在平行四邊形如圖 CDAB.2 DAAB.3BACD60且方向相反平行與,2CDAB,.603的夾角是與ADAB練習(xí)練習(xí)3 3已知已知|a|=3, |b|=5,且,且ab=12,求,求a在在b方向方向上的正射影的數(shù)量及上的正射影的數(shù)量及b在在a方向上的正射影的方向上的正射影的數(shù)量。數(shù)量。解:因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?cos| |5a bab 12|cos|5a

9、bab |cos4|a bba 所以所以a在在b方向上的正射影的數(shù)量是方向上的正射影的數(shù)量是b在在a方向上的正射影的數(shù)量是方向上的正射影的數(shù)量是(1)的的形形狀狀是是,則則中中,)在在(ABCBCABABC 02A 銳角三角形銳角三角形C 鈍角三角形鈍角三角形D 不能確定不能確定B 直角三角形直角三角形D的的形形狀狀是是,則則中中,)在在(ABCBCABABC 03CA A 銳角三角形銳角三角形B B 直角三角形直角三角形C C 鈍角三角形鈍角三角形D D 不能確定不能確定判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確1.若若a=0,則對(duì)任意向量則對(duì)任意向量b,有,有a b=0.2.若若a0,則對(duì)任意非零向量則對(duì)任意非零向量b,有,有a b0.3.若若a0,且且a b=0,則則b=0.4.若若ab=0,則,則a=0或或b=0.5.對(duì)任意的向量對(duì)任意的向量a,有,有a2=a2.6.若若a0,且且a b=a c,則則b=c.( )()( )()()()練習(xí)練習(xí)4 4課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.兩個(gè)向量的夾角2.向量在軸上的正射影 正射影的數(shù)量cosla a3.向量的數(shù)量積(內(nèi)積) cos,a ba bab=4.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì):(1). ab ab = 0(2). aa = |a|2或aaa |(3). cos =|baba范圍0a ,b;

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