《（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 11.3 二項式定理學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 11.3 二項式定理學(xué)案 理（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §11.3　二項式定理 考綱展示?　 1.能利用計數(shù)原理證明二項式定理． 2．會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題． 考點1　二項展開式中特定項或系數(shù)問題 二項式定理 二項式定理 (a＋b)n＝________________ 二項式系數(shù) 二項展開式中各項系數(shù)C (k＝0,1，…，n) 二項式通項 Tk＋1＝________，它表示第 ________項 答案：Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)　Can－kbk　k＋1 (1)[教材習(xí)題改編](1－2x)7的展開式的第4項的系數(shù)是________． 答案：－2

2、80 解析：展開式中，Tr＋1＝C·(－2x)r＝C·(－2)rxr，當(dāng)r＝3時，T4＝C·(－2)3·x3＝－280x3，所以第4項的系數(shù)為－280. (2)[教材習(xí)題改編]12的展開式的常數(shù)項是________． 答案：495 解析：展開式中，Tr＋1＝Cx12－r·r＝(－1)rCx12－3r，當(dāng)r＝4時，T5＝C＝495為常數(shù)項. [典題1]　(1)在二項式5的展開式中，含x4的項的系數(shù)是(　　) A．10 B．－10 C．－5 D．20 [答案]　A [解析]　由二項式定理可知， 展開式的通項為C(－1)rx10－3r， 令10－3r＝4，得r＝2，

3、所以含x4項的系數(shù)為C(－1)2＝10，故選A. (2)[2017·吉林長春模擬]5的展開式中的常數(shù)項為(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 [答案]　C [解析]　∵Tr＋1＝C(x2)5－rr ＝(－2)rCx10－5r， 由10－5r＝0，得r＝2， ∴T3＝(－2)2C＝40. (3)[2015·湖南卷]已知5的展開式中含x的項的系數(shù)為30，則a＝(　　) A. B．－ C．6 D．－6 [答案]　D [解析]　Tr＋1＝C()5－r·r ＝C(－a)rx，由＝，解得r＝1. 由C(－a)＝30，得a＝－6.故選D. (4

4、)8的展開式中的有理項共有________項． [答案]　3 [解析]　8的展開式的通項為Tr＋1＝C·()8－rr＝－rCx (r＝0,1,2，…，8)，為使Tr＋1為有理項，r必須是4的倍數(shù)，所以r＝0,4,8，故共有3個有理項． (5)二項式n的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為________． [答案]　5 [解析]　二項展開式的的通項是Tr＋1＝Cx3n－3rx－2r＝Cx3n－5r， 令3n－5r＝0，得n＝(r＝0,1,2，…，n)， 故當(dāng)r＝3時，n有最小值5. [點石成金]　1.求展開式中的特定項，可依據(jù)條件 寫出第k＋1項，再由特定項的特點求出

5、k的值即可． 2．已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)，可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第k＋1項，由特定項得出k的值，最后求出其參數(shù)． 考點2　二項式系數(shù)及項的系數(shù)問題 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 二項式系數(shù)的性質(zhì) 答案：相等　遞增的　遞減的　一項　兩項 2n　2n－1 二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別． 已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為________． 答案：29 解析：因為展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以C＝C，解得n＝10.根據(jù)二項式系數(shù)和的相關(guān)公式得，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2n

6、－1＝29. 1.系數(shù)和：賦值法． 若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為________． 答案：8 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝16.故a0＋a2＋a4＝8. 2．通項公式：Tr＋1＝Can－rbr. 7的展開式中x5的系數(shù)是________．(用數(shù)字填寫答案) 答案：35 解析：Tr＋1＝C(x3)7－rr＝C·x21－4r，令21－4r＝5，得r＝4，因此x5的系數(shù)為C＝35. [典題2]　[2017·四川成都一中模擬]設(shè)(x2＋1)(2x＋1)9

7、＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 [答案]　A [解析]　令等式中x＝－1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故選A. [點石成金]　1.賦值法研究二項式的系數(shù)和問題 “賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． 2

8、．二項式系數(shù)最大項的確定方法 (1)如果n是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大； (2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項第項與第＋1項的二項式系數(shù)相等并最大. 1.在(1＋x)n(x∈N*)的二項展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案：C 解析：二項式中僅x5的系數(shù)最大，其最大值必為，即得＝5，解得n＝10. 2．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，則實數(shù)m的值為(　　) A．1或3 B．－3 C．1 D．1或－3 答案：D 解析：令x＝0，得a0＝(1＋0

9、)6＝1. 令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6. 又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63， ∴(1＋m)6＝64＝26， ∴m＝1或m＝－3. 考點3　多項式展開式中的特定項或系數(shù)問題 [考情聚焦]　在高考中，常常涉及一些多項式問題，主要考查學(xué)生的化歸能力． 主要有以下幾個命題角度： 角度一 幾個多項式和的展開式中的特定項(系數(shù))問題 [典題3]　[2017·山東榮成模擬]在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展開式中，含x2項的系數(shù)是(　　) A．10 B．15 C．20 D．25 [答案]　C [解析

10、]　含x2項的系數(shù)為C＋C＋C＋C＝20. 角度二 幾個多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題 [典題4]　[2015·新課標(biāo)全國卷Ⅱ](a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝________. [答案]　3 [解析]　設(shè)(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令x＝1，得 (a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32， ∴a＝3. 角度三 三項展開式中的特定項(系數(shù))

11、問題 [典題5]　[2015·新課標(biāo)全國卷Ⅰ](x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 [答案]　C [解析]　解法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的項為T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系數(shù)為CC＝30.故選C. 解法二：(x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC＝30.故選C. [點石成金]　1.對于幾個多項式和的展開式中的特定項(系數(shù))問題，只需依據(jù)二項展開式

12、的通項，從每一項中分別得到特定的項，再求和即可． 2．對于幾個多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\用分類方法，以免重復(fù)或遺漏． 3．對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決． 考點4　二項式定理的應(yīng)用 [典題6]　(1)設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 [答案]　D [解析]　512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…－C×52＋C＋a， ∵C·522 012－

13、C·522 011＋…－C×52能被13整除，且512 012＋a能被13整除， ∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除， 又0≤a<13，因此a的值為12. (2)求證：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除． [證明]　∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝ ＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1 ＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)， 顯然C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C為整數(shù)， ∴原式能被31整除． (3)用二項式定理證明2n>2n＋1(n≥3，n∈N*)． [證明]　

14、當(dāng)n≥3，n∈N*時， 2n＝(1＋1)n＝C＋C＋…＋C＋C ≥C＋C＋C＋C＝2n＋2>2n＋1， ∴不等式成立． [點石成金]　1.整除問題和求近似值是二項式定理的兩類常見的應(yīng)用問題，整除問題中要關(guān)注展開式的最后幾項，而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開式的前幾項． 2．二項式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項式定理，注意選擇合適的形式． 3．由于(a＋b)n的展開式共有n＋1項，故可通過對某些項的取舍來放縮，從而達(dá)到證明不等式的目的． 1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余數(shù)是(　　) A．－1 B．1 C．－87 D．8

15、7 答案：B 解析：1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1， ∵前10項均能被88整除，∴余數(shù)是1. [方法技巧]　二項展開式的通項Tk＋1＝Can－kbk中含有a，b，n，k，Tk＋1五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求第五個元素，這類問題一般是利用二項式定理把問題歸納為解方程(或方程組)的問題，這里必須注意n是正整數(shù)，k是非負(fù)整數(shù)，且k≤n. (1)第m項：此時k＋1＝m，直接代入通項． (2)常數(shù)項：即項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數(shù)為0建立方

16、程． (3)有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程． 真題演練集訓(xùn) 1．[2016·新課標(biāo)全國卷Ⅰ](2x＋)5的展開式中，x3的系數(shù)是________．(用數(shù)字填寫答案) 答案：10 解析：由(2x＋)5，得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－ rCx，令5－＝3，得r＝4，此時系數(shù)為10. 2．[2016·北京卷]在(1－2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答) 答案：60 解析：(1 －2x)6的展開式的通項Tr＋1＝C(－2)rxr， 當(dāng)r＝2時，T3＝C(－2)2x2＝60x2， 所以x2的系數(shù)為60. 3．[2016·天

17、津卷]8的展開式中x7的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答) 答案：－56 解析：二項展開式的通項Tr＋1＝C(x2)8－rr＝(－1)rCx16－3r，令16－3r＝7，得r＝3，故x7的系數(shù)為－C＝－56. 4．[2016·山東卷]若5的展開式中x5的系數(shù)是－80，則實數(shù)a＝________. 答案：－2 解析：5的展開式的通項Tr＋1＝C(ax2)5－r·x＝Ca5－r·x，令10－r ＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2. 5．[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ](x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案) 答案：－20 解

18、析：x2y7＝x·(xy7)，其系數(shù)為C， x2y7＝y(tǒng)·(x2y6)，其系數(shù)為－C， ∴x2y7的系數(shù)為C－C＝8－28＝－20. 課外拓展閱讀 二項展開式中賦值法的應(yīng)用 [典例]　在(2x－3y)10的展開式中，求： (1)二項式系數(shù)的和； (2)各項系數(shù)的和； (3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和； (4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和； (5)x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和． [審題視角]　求二項式系數(shù)的和或各項系數(shù)的和的問題，常用賦值法求解． [解]　設(shè)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 各項系

19、數(shù)的和即為a0＋a1＋…＋a10， 奇數(shù)項系數(shù)的和為a0＋a2＋…＋a10， 偶數(shù)項的系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…＋a9， x的奇次項系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…＋a9， x的偶次項系數(shù)和為a0＋a2＋a4＋…＋a10. 由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和． (1)二項式系數(shù)的和為C＋C＋…＋C＝210. (2)令x＝y(tǒng)＝1，各項系數(shù)和為(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為C＋C＋…＋C＝29. 偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為C＋C＋…＋C＝29. (4)令x＝y(tǒng)＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.① 令x＝1，y＝－1(或x

20、＝－1，y＝1)， 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，② ①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510， ∴奇數(shù)項系數(shù)的和為； ①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510， ∴偶數(shù)項系數(shù)的和為. (5)x的奇次項系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…＋a9＝； x的偶次項系數(shù)和為a0＋a2＋a4＋…＋a10＝. 方法點睛 (1)“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． (2)“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解題易出現(xiàn)漏項等情況，應(yīng)引起注意．例：若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)的和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)的和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)的和為a1＋a3＋a5＋…＝，令x＝0，可得a0＝f(0)． - 10 -