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高考人教版數(shù)學(xué)理總復(fù)習(xí)練習(xí):第七章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)42 Word版含解析

上傳人:沈*** 文檔編號(hào):77408814 上傳時(shí)間:2022-04-19 格式:DOC 頁(yè)數(shù):17 大小:332.50KB
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1、 課時(shí)作業(yè)42 空間幾何體的表面積與體積 1.(2019·湖南五市十校聯(lián)考)如圖,小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形,一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( D ) A.4π+96 B.(2+6)π+96 C.(4+4)π+64 D.(4+4)π+96 解析:由三視圖知,該幾何體為一個(gè)圓錐和一個(gè)正方體的組合體,正方體的棱長(zhǎng)為4,圓錐的高為4,底面半徑為2,所以該幾何體的表面積S=6×42+π×22+π×2×=(4+4)π+96. 2.(2019·福建質(zhì)檢)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,俯視圖中的兩條曲線均為圓弧,則該幾何體的體積為

2、( C ) A.64- B.64-8π C.64- D.64- 解析:由三視圖可知該幾何體是由棱長(zhǎng)為4的正方體截去個(gè)圓錐和個(gè)圓柱所得到的,且圓錐的底面半徑為2,高為4,圓柱的底面半徑為2,高為4,所以該幾何體的體積為43-=64-.故選C. 3.(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為( C ) A.36π B.64π C.144π D.256π 解析:∵S△OAB是定值,且VO-ABC=VC-OAB, ∴當(dāng)OC⊥平面OAB時(shí),VC-OAB最大,即VO-A

3、BC最大. 設(shè)球O的半徑為R,則 (VO-ABC)max=×R2×R=R3=36, ∴R=6,∴球O的表面積S=4πR2=4π×62=144π. 4.(2019·河南濮陽(yáng)一模)已知三棱錐A-BCD中,△ABD與△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且二面角A-BD-C為直二面角,則三棱 錐A-BCD的外接球的表面積為( D ) A. B.5π C.6π D. 解析:如圖,取BD中點(diǎn)M,連接AM,CM,取△ABD,△CBD的中心即AM,CM的三等分點(diǎn)P,Q,過(guò)P作平面ABD的垂線,過(guò)Q作平面CBD的垂線,兩垂線相交于點(diǎn)O,則點(diǎn)O為外接球的球心,如圖,其中OQ=,CQ=, 連接O

4、C,則外接球的半徑R=OC=,表面積為4πR2=,故選D.   5.一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,點(diǎn)M是AB上的動(dòng)點(diǎn),記四面體EFMC的體積為V1,多面體ADF-BCE的體積為V2,則=( B )    A. B. C. D. 解析:由三視圖可知多面體ADF-BCE是直三棱柱,其底面是等腰直角三角形(直角邊長(zhǎng)為a),且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形,它們的邊長(zhǎng)均為a. ∵M(jìn)是AB上的動(dòng)點(diǎn),且易知AB∥平面DFEC, ∴點(diǎn)M到平面DFEC的距離等于點(diǎn)B到平面DFEC的距離,距離為a, ∴V1=VE-FMC=VM-EFC=·a·a·a=, 又V2=a·a

5、·a=,故==. 6.某工件的三視圖如圖所示,現(xiàn)將該工件通過(guò)切削,加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件,并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi),則原工件材料的利用率為 ( A ) A. B. C. D. 解析:原工件是一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐,依題意加工后的新工件是圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體,且落在圓錐底面上的面是正方形,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,長(zhǎng)方體的高為h,則0<a<,0<h<2. 于是=,h=2-a. 令f(a)=V長(zhǎng)方體=a2h=2a2-a3, ∴f′(a)=4a-3a2, 當(dāng)f′(a)=0時(shí),a=. 易知f(a)max=f=. ∴材料利用率==,故選A.

6、7.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為( B ) A.90π B.63π C.42π D.36π 解析:由三視圖可知兩個(gè)同樣的幾何體可以拼成一個(gè)底面直徑為6,高為14的圓柱,所以該幾何體的體積V=×32×π×14=63π,故選B. 8.已知三棱錐O-ABC的頂點(diǎn)A,B,C都在半徑為2的球面上,O是球心,∠AOB=120°,當(dāng)△AOC與△BOC的面積之和最大時(shí),三棱錐O-ABC的體積為( B ) A. B. C. D. 解析:設(shè)球O的半徑為R, 因?yàn)镾

7、△AOC+S△BOC=R2(sin∠AOC+sin∠BOC), 所以當(dāng)∠AOC=∠BOC=90°時(shí), S△AOC+S△BOC取得最大值,此時(shí)OA⊥OC, OB⊥OC,又OB∩OA=O,OA,OB?平面AOB, 所以O(shè)C⊥平面AOB, 所以V三棱錐O-ABC=V三棱錐C-OAB =OC·OA·OBsin∠AOB =R3sin∠AOB=,故選B. 9.某組合體的三視圖如圖所示,則該組合體的體積為 + . 解析:如圖所示,該組合體由一個(gè)四棱錐和四分之一個(gè)球組成,球的半徑為1,四棱錐的高為球的半徑,四棱錐的底面為等腰梯形,上底為2,下底為1,高為,所以該組合體的體積V=××(2+

8、1)××1+×π×13=+. 10.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為  8π . 解析:設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,高為h, 因?yàn)槟妇€SA與底面所成的角為30°,所以l=r. 由△SAB的面積為8得l2=8, 即×r2=8,所以r2=12,h=r=2. 所以圓錐的體積為πr2h=π×12×2=8π. 11.(2019·江西南昌二中模擬)在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,SA=,SB=2,二面角S-AB-C的大小為120°,則此三棱錐的外接球的表面積為

9、 21π . 解析:根據(jù)題意得SA2+AB2=SB2, 即SA⊥AB. 取AB的中點(diǎn)為D,SB的中點(diǎn)為M, 連接CD、MD,得∠CDM為二面角S-AB-C的平面角, ∴∠MDC=120°. 如圖,設(shè)三角形ABC的外心為O1, 則O1在CD上,連接BO1,則CO1==BO1,DO1=. 設(shè)外接球半徑為R, 易知球心為過(guò)M垂直面ABS的垂線與過(guò)O1垂直面ABC的垂線的交點(diǎn)O. 在四邊形MDO1O中, ∵二面角S-AB-C的平面角∠MDC=120°, 且MO⊥MD,O1O⊥DO1,MD=O1D=, ∴∠ODO1=60°,OO1=O1Dtan60°=, 連接OB,∴R2

10、=OB2=OO+O1B2=+3=, ∴球的表面積S=4πR2=21π. 12.如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°. (1)證明:直線BC∥平面PAD; (2)若△PCD的面積為2,求四棱錐P-ABCD的體積. 解:(1)證明:在平面ABCD內(nèi), 因?yàn)椤螧AD=∠ABC=90°, 所以BC∥AD. 又BC?平面PAD,AD?平面PAD, 故BC∥平面PAD. (2)取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM. 由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四邊形ABCM為正方形, 則CM⊥AD.

11、 因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD. 因?yàn)镃M?底面ABCD,所以PM⊥CM. 設(shè)BC=x,則CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x. 取CD的中點(diǎn)N,連接PN, 則PN⊥CD,所以PN=x. 因?yàn)椤鱌CD的面積為2, 所以×x×x=2, 解得x=-2(舍去)或x=2. 于是AB=BC=2,AD=4,PM=2. 所以四棱錐P-ABCD的體積V=××2=4. 13.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問(wèn)題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈;上袤二丈,無(wú)廣;高一丈

12、,問(wèn):積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊柱的楔體,下底面寬3丈,長(zhǎng)4丈;上棱長(zhǎng)2丈,高一丈,問(wèn)它的體積是多少?”已知1丈為10尺,現(xiàn)將該楔體的三視圖給出,其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1丈,則該楔體的體積為( A ) A.5 000立方尺 B.5 500立方尺 C.6 000立方尺 D.6 500立方尺 解析:該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF. 取AB的中點(diǎn)G,CD的中點(diǎn)H, 連接FG,GH,HF,則該幾何體的體積為四棱錐F-GBCH與三棱柱ADE-GHF的體積之和. 又可以將三棱柱ADE-GHF割補(bǔ)成高為EF,底面積為S=×3×1=平方丈的一個(gè)直棱柱

13、,故該楔體的體積V=×2+×2×3×1=5立方丈=5 000立方尺. 14.(2019·深圳調(diào)研)如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,將其沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面體ABCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則該球的體積為( A ) A.     B.3π C.     D.2π 解析:如圖,取BD的中點(diǎn)為E,BC的中點(diǎn)為O, 連接AE,OD,EO,AO. 因?yàn)锳B=AD,所以AE⊥BD. 由于平面ABD⊥平面BCD, 所以AE⊥平面BCD. 因?yàn)锳B=AD=CD=1,BD=, 所以AE=,EO=.

14、 所以O(shè)A=. 在Rt△BDC中,OB=OC=OD=BC=, 所以四面體ABCD的外接球的球心為O,半徑為. 所以該球的體積V=π×3=. 15.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F(xiàn)為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F(xiàn)重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為 4 . 解析:解法一:由題意可知,折起后所得三棱錐為正三棱錐, 設(shè)

15、△ABC的邊長(zhǎng)為a(a>0)cm, 則△ABC的面積為a2 cm2,點(diǎn)O到△ABC三邊的距離都為a cm,△DBC的高為cm, 則正三棱錐的高為 = cm, ∴25-a>0,∴0

16、得OD== cm,AB=2x cm. 則VD-ABC=·=x2·=x2 cm3, 令f(x)=x2, 則f′(x)= =, 則當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(2,2.5)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=2時(shí),體積取最大值,為×4=4 cm3. 16.(2019·貴陽(yáng)質(zhì)檢)如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,DC⊥平面ABC,AB=2,EB=. (1)求證:DE⊥平面ACD; (2)設(shè)AC=x,V(x)表示三棱錐B-ACE的體積,求函數(shù)V(x)的解析式及最大值. 解:(1)證明:∵四邊形DCBE為平行四邊形, ∴CD∥BE,BC∥DE. ∵DC⊥平面ABC,BC?平面ABC, ∴DC⊥BC. ∵AB是圓O的直徑, ∴BC⊥AC,且DC∩AC=C,DC,AC?平面ADC, ∴BC⊥平面ADC. ∵DE∥BC,∴DE⊥平面ADC. (2)∵DC⊥平面ABC,∴BE⊥平面ABC. 在Rt△ABE中,AB=2,EB=. 在Rt△ABC中, ∵AC=x,∴BC=(0<x<2), ∴S△ABC=AC·BC=x·, ∴V(x)=V三棱錐E-ABC=x·(0<x<2). ∵x2(4-x2)≤2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x2=4-x2, 即x=時(shí)取等號(hào), ∴當(dāng)x=時(shí),體積有最大值.

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