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實(shí)際問題與二次函數(shù) 學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用 日常生活中 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及商業(yè)活動(dòng)中 方案的最優(yōu)化 最值問題 如盈利最大 用料最省 設(shè)計(jì)最佳 距離最近等都與二次函數(shù)有關(guān) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 能根據(jù)實(shí)際情景學(xué)會建立二次函數(shù)模型 2 運(yùn)用二次函數(shù)的配方法或公式法求出最大值或最小值 3 學(xué)會將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 想一想 如何求下列函數(shù)的最值 1 y x2 x 如圖 船位于 船正東 處 現(xiàn)在 兩船同時(shí)出發(fā) A船以 Km h的速度朝正北方向行駛 B船以 Km h的速度朝正西方向行駛 何時(shí)兩船相距最近 最近距離是多少 設(shè)經(jīng)過t時(shí)后 兩船分別到達(dá)A B 如圖 則兩船的距離 A B 應(yīng)為多少 如何求出S的最小值 A B 東 北 實(shí)際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 如何運(yùn)用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最大值或最小值 復(fù)習(xí)小結(jié) 首先應(yīng)當(dāng)求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍 然后通過配方法變形 或利用公式法求它的最大值或最小值 注意 在此求得的最大值或最小值對應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi) 某飲料經(jīng)營部每天的固定成本為200元 其銷售的飲料每瓶進(jìn)價(jià)為5元 銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下 若記銷售單價(jià)比每瓶進(jìn)價(jià)多X元 日均毛利潤 毛利潤 日均銷售量 單件利潤 固定成本 為y元 求y關(guān)于X的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍 若要使日均毛利潤達(dá)到最大 銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元 精確到 元 最大日均毛利潤為多少元 某商場將進(jìn)價(jià)40元一個(gè)的某種商品按50元一個(gè)售出時(shí) 能賣出500個(gè) 已知這種商品每個(gè)漲價(jià)一元 銷量減少10個(gè) 為賺得最大利潤 售價(jià)定為多少 最大利潤是多少 分析 利潤 每件商品所獲利潤 銷售件數(shù) 設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元 那么 3 銷售量可以表示為 1 銷售價(jià)可以表示為 50 x 元 x 0 且為整數(shù) 500 10 x 個(gè) 2 一件商品所獲利潤可以表示為 50 x 40 元 4 共獲利潤y可以表示為 50 x 40 500 10 x 元 答 定價(jià)為70元 個(gè) 此時(shí)利潤最高為9000元 解 y 50 x 40 500 10 x 10 x2 400 x 5000 0 x 50 且為整數(shù) 10 x 20 2 9000 如圖 有一次 籃球運(yùn)動(dòng)員姚明在距籃下4m處跳起投籃 球運(yùn)行的路線是拋物線 當(dāng)運(yùn)行的水平距離2 5m時(shí) 達(dá)到最大高度然后準(zhǔn)確落入籃圈 已知籃圈中心面的距離為3 05m 3 05m 2 5m 3 5m 4m 1 籃球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)解析式和自變量取值范圍 2 球在空中運(yùn)動(dòng)離地的最大高度 一次足球訓(xùn)練中 一球員從球門正前方10m處將球射向球門 當(dāng)球飛行的水平距離為6時(shí) 球達(dá)到最高點(diǎn) 此時(shí)球離地面3m 已知球門高度為2 44m 問球能否射入球門 心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn) 一般情況下 學(xué)生的注意力隨著教師講課時(shí)間的變化而變化 講課開始時(shí) 學(xué)生的注意力y隨時(shí)間t的變化規(guī)律有如下關(guān)系式 1 講課開始后第5分鐘時(shí)與講課開始后第25分鐘時(shí)比較 何時(shí)學(xué)生的注意力更集中 知識拓展 2 講課開始后多少分鐘 學(xué)生的注意力最集中 能持續(xù)多少分鐘 3 一道數(shù)學(xué)難題 需要講解24分鐘 為了效果較好 要求學(xué)生的注意力最低達(dá)到180 那么經(jīng)過適當(dāng)安排 老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目 現(xiàn)在有一條寬為 米的小船上平放著一些長 米 寬 米且厚度均勻的木箱 要通過這個(gè)最大高度 米 水面跨度 米的橋洞 請問這條船最高可堆放的多高 x D 河北省趙縣的趙州橋的橋拱是拋物線型 建立如圖所示的坐標(biāo)系 其函數(shù)的表達(dá)式為y x2 當(dāng)水位線在AB位置時(shí) 水面寬AB 30米 這時(shí)水面離橋頂?shù)母叨萮是 A 5米B 6米 C 8米 D 9米 解 當(dāng)x 15時(shí) Y 152 9 1125 如圖是某公園一圓形噴水池 水流在各方向沿形狀相同的拋物線落下 建立如圖所示的坐標(biāo)系 如果噴頭所在處A 0 1 25 水流路線最高處B 1 2 25 則該拋物線的表達(dá)式為 如果不考慮其他因素 那么水池的半徑至少要 米 才能使噴出的水流不致落到池外 y x 1 2 2 25 2 5 如圖 在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆 圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃 設(shè)花圃的寬AB為x米 面積為S平米 1 求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍 2 當(dāng)x取何值時(shí)所圍成的花圃面積最大 最大值是多少 3 若墻的最大可用長度為8米 則求圍成花圃的最大面積 3 墻的可用長度為8米 0 24 4x 84 x 6 當(dāng)x 4m時(shí) S最大值 32平方米 解 1 AB為x米 籬笆長為24米 花圃寬為 24 4x 米 2 當(dāng)x 時(shí) S最大值 36 平方米 S x 24 4x 4x2 24x 0 x 6 如圖 在 ABC中 AB 8cm BC 6cm B 90 點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以2cm s的速度移動(dòng) 點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以1cm s的速度移動(dòng) 如果P Q分別從A B同時(shí)出發(fā) 幾秒后 PBQ的面積最大 最大面積是多少 P Q 解 根據(jù)題意 設(shè)經(jīng)過x秒后 PBQ的面積y最大 則 AP 2xcmPB 8 2x cm QB xcm 則y 1 2x 8 2x x2 4x x2 4x 4 4 x 2 2 4 所以 當(dāng)P Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)2秒后 PBQ的面積y最大 最大面積是4cm2 0 x 4 P Q 如圖 等腰Rt ABC的直角邊AB 點(diǎn)P Q分別從A C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā) 以相等的速度作直線運(yùn)動(dòng) 已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)Q沿邊BC的延長線運(yùn)動(dòng) PQ與直線相交于點(diǎn)D 1 設(shè)AP的長為x PCQ的面積為S 求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式 2 當(dāng)AP的長為何值時(shí) S PCQ S ABC 即S 0 x 2 AP CQ x 當(dāng)P在線段AB上時(shí) 解 P Q分別從A C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā) 速度相等 當(dāng)P在線段AB的延長線上時(shí) S PCQ 即S x 2 2 當(dāng)S PCQ S ABC時(shí) 有 此方程無解 x1 1 x2 1 舍去 當(dāng)AP長為1 時(shí) S PCQ S ABC 某企業(yè)投資100萬元引進(jìn)一條產(chǎn)品加工生產(chǎn)線 若不計(jì)維修 保養(yǎng)費(fèi)用 預(yù)計(jì)投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬 該生產(chǎn)線投產(chǎn)后 從第1年到第x年的維修 保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y 萬元 且y ax2 bx 若第1年的維修 保養(yǎng)費(fèi)用為2萬元 第2年為6萬元 1 求y的解析式 2 投產(chǎn)后 這個(gè)企業(yè)在第幾年就能收回投資 解 1 由題意 x 1時(shí) y 2 x 2時(shí) y 2 4 6 分別代入y ax2 bx 得a b 2 4a 2b 6 解得 a 1 b 1 y x2 x 2 設(shè)w 33x 100 x2 x 則w x2 32x 100 x 16 2 156 由于當(dāng)1 x 16時(shí) w隨x的增大而增大 故當(dāng)x 4時(shí) 即第4年可收回投資 如圖所示 已知拋物線y ax2 bx c a 0 與x軸相交于兩點(diǎn)A x1 0 B x2 0 x1 x2 與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)C 若拋物線頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是1 A B兩點(diǎn)間的距離為4 且 ABC的面積為6 1 求點(diǎn)A和B的坐標(biāo) 2 求此拋物線的解析式 3 設(shè)M x y 其中0 x 3 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 試求當(dāng)四邊形OCMB的面積最大時(shí) 點(diǎn)M的坐標(biāo) M D N 已知有一張邊長為10cm的正三角形紙板 若要從中剪一個(gè)面積最大的矩形紙板 應(yīng)怎樣剪 最大面積為多少 在矩形荒地ABCD中 AB 10 BC 6 今在四邊上分別選取E F G H四點(diǎn) 且AE AH CF CG x 建一個(gè)花園 如何設(shè)計(jì) 可使花園面積最大 D C A B G H F E 10 6 解 設(shè)花園的面積為y則y 60 x2 10 x 6 x 2x2 16x 0 x 6 2 x 4 2 32 所以當(dāng)x 4時(shí) 花園的最大面積為32 再見