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(課標通用)2018年高考數(shù)學一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 11.8 條件概率、n次獨立重復試驗與二項分布學案 理

上傳人:dream****gning 文檔編號:77727043 上傳時間:2022-04-20 格式:DOC 頁數(shù):12 大?。?63.50KB
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1、 §11.8 條件概率、n次獨立重復試驗與二項分布 考綱展示?  1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念. 2.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布,并能解決一些簡單的實際問題. 考點1 條件概率 條件概率 (1)定義 設A,B為兩個事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生條件下,事件B發(fā)生的條件概率. (2)性質(zhì) ①0≤P(B|A)≤1; ②如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 條件概率的性質(zhì). (1)有界性:0≤P(B|A)≤1.(  ) 答案:√ (2)可加性:如果B和C為互斥事件,則P((B∪

2、C)|A)=P(B|A)+P(C|A).(  ) 答案:√ [典題1] (1)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件A:“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B:“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=(  ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 解法一:事件A包括的基本事件:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4),共4個. 事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2,4)一種情形, 故P(B|A)==. 解法二:P(A)==,P(AB)==. 由條件概率計算公式,得 P(B|A)===. (2)1號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,

3、現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱,然后從2號箱隨機取出一球,則兩次都取到紅球的概率是(  ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 設從1號箱取到紅球為事件A,從2號箱取到紅球為事件B. 由題意,P(A)==, P(B|A)==, 所以P(AB)=P(B|A)·P(A) =×=, 所以兩次都取到紅球的概率為. [點石成金] 條件概率的兩種求解方法 (1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A). (2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)

4、=. 考點2 事件的相互獨立性 (1)定義:設A,B為兩個事件,如果P(AB)=________,則稱事件A與事件B相互獨立. (2)性質(zhì):若事件A與B相互獨立,則A與B、與B、A與也都相互獨立,P(B|A)=________,P(A|B)=________. 答案:(1)P(A)P(B) (2)P(B) P(A) [典題2] 為了分流地鐵高峰的壓力,某市發(fā)改委通過聽眾會,決定實施低峰優(yōu)惠票價制度.不超過22千米的地鐵票價如下表: 乘坐里程x(單位:km) 0<x≤6 6<x≤12 12<x≤22 票價(單位:元) 3 4 5 現(xiàn)有甲、乙兩位乘客,他們乘

5、坐的里程都不超過22千米.已知甲、乙乘車不超過6千米的概率分別為,,甲、乙乘車超過6千米且不超過12千米的概率分別為,. (1)求甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率; (2)設甲、乙兩人所付乘車費用之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列. [解] (1)由題意可知,甲、乙乘車超過12千米且不超過22千米的概率分別為,. 則甲、乙兩人所付乘車費用相同的概率P1=×+×+×=, 所以甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率P=1-P1=1-=. (2)由題意可知,ξ=6,7,8,9,10. P(ξ=6)=×=, P(ξ=7)=×+×=, P(ξ=8)=×+×+×=, P(ξ=9)=×+×=,

6、 P(ξ=10)=×=. 所以ξ的分布列為 ξ 6 7 8 9 10 P [點石成金] 1.利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解; 2.正面計算較繁或難以入手時,可從其對立事件入手計算. 在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1 000元,此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性,且互不影響,其具體情況如下表: 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市場價格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (1)設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤,求X的分布列; (2)若在這塊地上連續(xù)

7、3季種植此作物,求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率. 解:(1)設A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”,B表示事件“作物市場價格為6元/kg”, 由題設知,P(A)=0.5,P(B)=0.4, 因為利潤=產(chǎn)量×市場價格-成本, 所以X所有可能的取值為 500×10-1 000=4 000, 500×6-1 000=2 000, 300×10-1 000=2 000, 300×6-1 000=800. P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.

8、5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2. 所以X的分布列為 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)設Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i=1,2,3), 由題意知C1,C2,C3相互獨立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3季的利潤均不少于2 000元的概率為 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為P(C2C3

9、)+P(C1C3)+P(C1C2) =3×0.82×0.2=0.384. 所以,3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.512+0.384=0.896. 考點3 獨立重復試驗與二項分布 獨立重復試驗與二項分布 獨立重復試驗 二項分布 定義 在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗 在n次獨立重復試驗中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,此時稱隨機變量X服從二項分布,記作________,并稱p為________ 計算 公式 Ai(i=1,2,…,n)表示第i次試驗結(jié)果,則P(A1A2A3…An)= P(A1)P

10、(A2)·…· P(An) 在n次獨立重復試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n) 答案:X~B(n,p) 成功概率 (1)[教材習題改編]某人拋擲一枚硬幣,出現(xiàn)正反的概率都是,構(gòu)造數(shù)列{an},使得an= 記Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),則S4=2的概率為________. 答案: 解析:依題意得知,“S4=2”表示在連續(xù)4次拋擲中恰有3次出現(xiàn)正面,因此“S4=2”的概率為C3×=. (2)[教材習題改編]小王通過英語聽力測試的概率是,他連續(xù)測試3次,那么其中恰有1次獲得通過的概率是________. 答案

11、: 解析:所求概率P=C·3-1=. 二項分布:P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n). 設隨機變量X~B,則P(X=3)的值是________. 答案: 解析:P(X=3)=C33=. [典題3] [2017·湖南長沙模擬]博彩公司對2016年NBA總決賽做了大膽地預測和分析,預測西部冠軍是老辣的馬刺隊,東部冠軍是擁有詹姆斯的年輕的騎士隊,總決賽采取7場4勝制,每場必須分出勝負,場與場之間的結(jié)果互不影響,只要有一隊獲勝4場就結(jié)束比賽.前4場,馬刺隊勝利的概率為,第5,6場馬刺隊因為平均年齡大,體能下降厲害,所以勝利的概率降為,第7場,馬刺隊因為有多

12、次打第7場的經(jīng)驗,所以勝利的概率為. (1)分別求馬刺隊以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3勝利的概率及總決賽馬刺隊獲得冠軍的概率; (2)隨機變量X為分出總冠軍時比賽的場數(shù),求隨機變量X的分布列. [解] (1)設“馬刺隊以4∶0勝利”為事件A,“馬刺隊以4∶1勝利”為事件B,“馬刺隊以4∶2勝利”為事件C,“馬刺隊以4∶3勝利”為事件D,“總決賽馬刺隊獲得冠軍”為事件E, 則P(A)=4=, P(B)=C4×=, P(C)=C4××+C4×2=, P(D)=C4×3+C4×C×××+C4×××=. P(E)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=. (2)隨機變量X的可能取

13、值為4,5,6,7, P(X=4)=4×2=, P(X=5)=C4·=, P(X=6)=2C4+C4·+=, P(X=7)=1-P(X=4)-P(X=5)-P(X=6)=. 所以隨機變量X的分布列為 X 4 5 6 7 P [點石成金] 利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程,但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k的三個條件: (1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p; (2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗,而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的; (3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k

14、次的概率. 某市為了調(diào)查學校“陽光體育活動”在高三年級的實施情況,從本市某校高三男生中隨機抽取一個班的男生進行投擲實心鉛球(重3 kg)測試,成績在6.9米以上的為合格.把所得數(shù)據(jù)進行整理后,分成5組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖所示),已知成績在[9.9,11.4)的頻數(shù)是4. (1)求這次鉛球測試成績合格的人數(shù); (2)若從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機抽取兩名,記ξ表示兩人中成績不合格的人數(shù),利用樣本估計總體,求ξ的分布列. 解:(1)由直方圖知,成績在[9.9,11.4)的頻率為 1-(0.05+0.22+0.30+0.03)×1.5=0.1. 因為成績在[9.9,1

15、1.4)的頻數(shù)是4, 故抽取的總?cè)藬?shù)為=40. 又成績在6.9米以上的為合格,所以這次鉛球測試成績合格的人數(shù)為40-0.05×1.5×40=37. (2)ξ的所有可能的取值為0,1,2,利用樣本估計總體, 從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機抽取一名成績合格的概率為, 成績不合格的概率為1-=, 可判斷ξ~B. P(ξ=0)=C×2=, P(ξ=1)=C××=, P(ξ=2)=C×2=, 故所求分布列為 X 0 1 2 P [方法技巧] 1.古典概型中,A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)==,其中,在實際應用中P(B|A)=是一種重要的求條

16、件概率的方法. 2.判斷一個隨機變量是否服從二項分布,關鍵有二:其一是獨立性,即一次試驗中,事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一;其二是重復性,即試驗是獨立重復地進行了n次. 3.n次獨立重復試驗中,事件A恰好發(fā)生k次可看作是C個互斥事件的和,其中每一個事件都可看作是k個A事件與n-k個事件同時發(fā)生,只是發(fā)生的次序不同,其發(fā)生的概率都是pk(1-p)n-k.因此n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Cpk(1-p)n-k. [易錯防范] 1.相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響,計算公式為P(AB)=P(A)P(B).互斥事件是指在同一試驗中,兩個事件不會同時發(fā)生,計算公式為P(A∪

17、B)=P(A)+P(B). 2.運用公式P(AB)=P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件,只有當事件A,B相互獨立時,公式才成立. 真題演練集訓 1.[2015·新課標全國卷Ⅰ]投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為(  ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 答案:A 解析:3次投籃投中2次的概率為P(k=2)=C×0.62×(1-0.6),投中3次的概率為P(k=3)=0.63,所以通過測試的概率為P(k=2)+P(k=3)=C

18、×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故選A. 2.[2014·新課標全國卷Ⅱ]某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(  ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 答案:A 解析:根據(jù)條件概率公式P(B|A)=,可得所求概率為=0.8. 課外拓展閱讀 誤用“二項分布與超幾何分布” 二項分布和超幾何分布是兩類重要的概率分布模型,這兩種分布存在著很多的相似之處,在應用時應注意各自的適用條件和情境,以免混用出錯. [典例1

19、] 某農(nóng)場計劃種植某種新作物,為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種乙)進行田間試驗.現(xiàn)在在總共8小塊地中,隨機選4小塊地種植品種甲,另外4小塊地種植品種乙.種植完成后若隨機選出4塊地,其中種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,求X的分布列和數(shù)學期望. [思路分析]  →→ [解] X的所有可能取值為0,1,2,3,4, 且P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, P(X=4)==. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學期望為 E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2. 易錯提示

20、 本題容易錯誤地得到X服從二項分布,每塊地種植甲的概率為,故X~B(4,0.5).錯誤的根源在于每塊地種植甲或乙不是相互獨立的,它們之間是相互制約的,無論怎么種植都要保證8塊地中有4塊種植甲,4塊種植乙,事實上X應服從超幾何分布.如果將題目改為:在8塊地中,每塊地要么種植甲,要么種植乙,那么在選出的4塊地中種植甲的數(shù)目為X,則這時X~B(4,0.5)(這時這8塊地種植的方法總數(shù)為28,會出現(xiàn)所有地都種植一種作物的情況,而題目要求4塊地種植甲,4塊地種植乙,其方法總數(shù)為C). [典例2] 某高校設計了一個實驗學科的實驗考查方案:考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題,按照題目要求獨立完成全部實

21、驗操作.規(guī)定:至少正確完成其中2題的便可提交通過.已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成,2道題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響. (1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列,并計算數(shù)學期望; (2)試從兩位考生正確完成題數(shù)的數(shù)學期望及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力. [思路分析]  [解] (1)設考生甲、乙正確完成實驗操作的題數(shù)分別為ξ,η,則ξ的所有可能取值分別為1,2,3;η的所有可能取值分別為0,1,2,3. P(ξ=1)==, P(ξ=2)==, P(ξ=3)==. 所以考生甲正確完成題數(shù)的概率分

22、布列為 ξ 1 2 3 P E(ξ)=1×+2×+3×=2. 因為P(η=0)=C3=, 同理,P(η=1)=, P(η=2)=,P(η=3)=. 所以考生乙完成題數(shù)的概率分布列為 η 0 1 2 3 P E(η)=0×+1×+2×+3×=2. (2)因為P(ξ≥2)=+=0.8, P(η≥2)=+=, 所以P(ξ≥2)>P(η≥2). 故從正確完成題數(shù)的數(shù)學期望分析,兩人水平相當; 從至少完成2題的概率分析,甲通過的可能性大. 因此可以判斷甲的實驗操作能力較強. 易錯提示 本題容易錯誤地得到甲、乙兩考生正確完成的題數(shù)均服從二項分布,實際上題目中已知甲、乙兩考生按照題目要求獨立完成全部實驗操作,甲考生正確完成的題數(shù)服從超幾何分布,乙考生正確完成的題數(shù)服從二項分布. - 12 -

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