《備戰(zhàn)版高考數學考試萬能工具包 第二篇 考前必看解題技巧 專題. 破解類解答題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《備戰(zhàn)版高考數學考試萬能工具包 第二篇 考前必看解題技巧 專題. 破解類解答題（18頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 專題03 破解6類解答題 一、三角函數問題重在“變”——變角、變式與變名 　　三角函數類解答題是高考的熱點,其起點低、位置前,但由于其公式多,性質繁,使不少同學對其有種畏懼感.突破此類問題的關鍵在于“變”——變角、變式與變名. (1)變角:已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換以及三角形內角和定理的變換運用.如 α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α). (2)變式:根據式子的結構特征進行變形,使其更貼近某個公式,方法通常有:“常值代換”“逆用、變形用公式”“通分約分”“分解與組合”

2、“配方與平方”等. (3)變名:通過變換函數名稱達到減少函數種類的目的,方法通常有“切化弦”“升次與降次”等. 例1　在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=. (1)求b和sin A的值; (2)求sin的值. 所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.(變名) 故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.(變角) 變式:利用恒等變換變?yōu)閟in A=. 變名:利用二倍角公式實現(xiàn)三角函數名稱的變化. 變角:把2A+的三角函數表示為2A和的三角函數. ▲破解策略　求解此

3、類題目的策略: 既要注重三角知識的基礎性,又要注重三角知識的應用性,突出與代數、幾何、向量等知識的綜合聯(lián)系.“明確思維起點,把握變換方向,抓住內在聯(lián)系,合理選擇公式”是三角變換的基本要決.在解題時,要緊緊抓住“變”這一核心,靈活運用公式與性質,仔細審題,快速運算. 　【變式訓練】【2018四川省廣元市一?！吭O函數 . （1）求的最大值，并寫出使取最大值時的集合； （2）已知中，角的對邊分別為，若， ，求的最小值. 二、數列問題重在“歸”——化歸、歸納 　　等差數列與等比數列是兩個基本數列,是一切數列問題的出發(fā)點與歸宿.首項與公差(比)稱為等差數列(等比數列)的基本量.只要涉及這兩個

4、數列的數學問題,我們總希望把條件化歸為等差或等比數列的基本量間的關系,從而達到解決問題的目的.這種化歸為基本量處理的方法是等差或等比數列特有的方法,對于不是等差或等比的數列,可從簡單的個別的情形出發(fā),從中歸納出一般的規(guī)律、性質,這種歸納思想便形成了解決一般性數列問題的重要方法:觀察、歸納、猜想、證明.由于數列是一種特殊的函數,也可根據題目的特點,將數列問題化歸為函數問題來解決. 　例2　(2017課標全國Ⅲ,17,12分)設數列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通項公式; (2)求數列的前n項和. 從而{an}的通項公式為an=(n∈

5、N*). (2)記的前n項和為Sn. 由(1)知==-.(化歸) 則Sn=-+-+…+-=. 歸納:通過條件歸納出a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1)(n≥2),進而得出{an}的通項公式. 化歸:把數列的通項分拆,利用裂項相消法求和. ▲破解策略　“算一算、猜一猜、證一證”是數列中特有的歸納思想,利用這種思想可探索一些一般數列的簡單性質.等差數列與等比數列是數列中的兩個特殊的基本數列,高考中通?？疾榈氖欠堑炔?、等比數列問題,應對的策略就是通過化歸思想,將其轉化為這兩種數列. 　【變式訓練】【2018江西省師范大學附屬中學、九江第一中學聯(lián)考】已知正項數列滿足: ?

6、 (1)求數列的通項公式; (2)求的值. 三、立體幾何問題重在“建”——建模、建系 　　立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結合,以某個幾何體為依托,分步設問,逐層加深,解決這類題目的原則是建模、建系.建?！獙栴}轉化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等的計算模型;建系——依托于題中的垂直條件,建立空間直角坐標系,利用空間向量求解. 例3　(2017課標全國Ⅲ,19,12分)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD. (1)證明:平面ACD⊥平面ABC; (2)過AC的平面交BD于點E,若平面AE

7、C把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的余弦值. 　　 所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由題設及(1)知,OA,OB,OD兩兩垂直.以O為坐標原點,的方向為x軸正方向,||為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.(建系) 則A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),D(0,0,1). 由題設知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距 同理可取m=(0,-1,),則cos==. 易知二面角D-AE-C為銳二面角, 所以二面角D-AE-C的余弦值為. 建模:構

8、建二面角的平面角模型. 建系:以兩兩垂直的直線為坐標軸. ▲破解策略　立體幾何的內容在高考中的考查情況總體上比較穩(wěn)定,因此,復習備考時往往有“綱”可循,有“題”可依.在平時的學習中,要加強“一題兩法(幾何法與向量法)”的訓練,切勿顧此失彼;要重視識圖訓練,能正確確定關鍵點或線的位置,將局部空間問題轉化為平面問題;能依托于題中的垂直條件,建立適當的空間直角坐標系,將幾何問題化歸為代數問題. 　【變式訓練】【湖南省株洲市2018屆高三教學質量統(tǒng)一檢測】如圖,在幾何體中，四邊形為矩形，四邊形為梯形, ,平面與平面垂直，且. （1）求證： 平面； （2）若,且平面與平面所成銳二面角的余弦

9、值為,求的長. 四、概率問題重在“辨”——辨析、辨型 　　概率與統(tǒng)計問題的求解關鍵是辨別它的概率模型,只要模型一找到,問題便迎刃而解.而概率與統(tǒng)計模型的提取往往需要經過觀察、分析、歸納、判斷等復雜的辨析思維過程,同時,還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對立事件等事件間的關系,注意放回和不放回試驗的區(qū)別,合理劃分復雜事件. 例4　(2016課標Ⅱ,18,12分)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯(lián)如下: 上年度出險次數 0 1 2 3 4 ≥5 保　費 0.85a a 1.25a 1

10、.5a 1.75a 2a 設該險種一續(xù)保人一年內出險次數與相應概率如下: 一年內出險次數 0 1 2 3 4 ≥5 概　率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 　　(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率; (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率; (3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值. 解析　(1)設A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于1,(辨析1) 故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(辨型1)

11、(2)設B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于3,(辨析2) 故P(B)=0.1+0.05=0.15. 又P(AB)=P(B), 故P(B|A)====.(辨型2) 辨型1:該問題為求隨機事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解. 辨析2:判斷事件B發(fā)生,在一年內出險次數為4或≥5. 辨型2:該問題為條件概率,可利用公式求解. ▲破解策略　概率與統(tǒng)計知識的復習應抓住基本概念、基本公式,不需要做難題、偏題、怪題.在審題時,一般按以下程序操作:(1)準確弄清問題所涉及的事件有什么特點,事件之間有什么關系,如互斥、對立、獨

12、立等;(2)理清事件以什么形式發(fā)生,如同時發(fā)生、至少有幾個發(fā)生、至多有幾個發(fā)生、恰有幾個發(fā)生等;(3)明確抽取方式,如放回還是不放回、抽取有無順序等;(4)準確選擇排列組合的方法來計算基本事件發(fā)生數和事件總數,或根據概率計算公式和性質來計算事件的概率. 　【變式訓練】【2018湖南省長沙市第一中學模擬】2017年4月1日，新華通訊社發(fā)布：國務院決定設立河北雄安新區(qū).消息一出，河北省雄縣、容城、安新3縣及周邊部分區(qū)域迅速成為海內外高度關注的焦點. （1）為了響應國家號召，北京市某高校立即在所屬的8個學院的教職員工中作了“是否愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)”的問卷調查，8個學院的調查人數及統(tǒng)計數

13、據如下： 調查人數() 10 20 30 40 50 60 70 80 愿意整體搬遷人數() 8 17 25 31 39 47 55 66 請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出變量關于變量的線性回歸方程（保留小數點后兩位有效數字）；若該校共有教職員工2500人，請預測該校愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)的人數； （2）若該校的8位院長中有5位院長愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)，現(xiàn)該校擬在這8位院長中隨機選取4位院長組成考察團赴雄安新區(qū)進行實地考察，記為考察團中愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)的院長人數，求的分布列及數學期望. 參考公式及數據： . 五、解

14、析幾何問題重在“設”——設點、設線 　　解析幾何試題知識點多,運算量大,能力要求高,綜合性強,在高考試題中大都是以壓軸題的面貌出現(xiàn),是考生“未考先怕”的題型,不是怕解題無思路,而是怕解題過程中繁雜的運算.因此,在遵循“設——列——解”程序化解題的基礎上,應突出解析幾何“設”的重要性,以克服平時重思路方法、輕運算技巧的頑疾,突破如何避繁就簡這一瓶頸. 例5　(2017課標全國Ⅰ,20,12分)設A,B為曲線C:y=上兩點,A與B的橫坐標之和為4. (1)求直線AB的斜率; (2)設M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程. 解析　(1)設A(x

15、1,y1),B(x2,y2), 則x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,(設點) 于是直線AB的斜率k===1. (2)由y=,得y'=, 設M(x3,y3),由題設知=1, 即4=2(m+1),解得m=7. 所以直線AB的方程為y=x+7. 設點:設出A,B兩點坐標,并得出x1≠x2,x1+x2=4. 設線:由(1)知直線斜率,再設直線方程為y=x+m,利用條件可求出m的值. ▲破解策略　解析幾何的試題常要根據題目特征,恰當地設點、設線,以簡化運算.常見的設點方法有減元設點、參數設點、直接設點等,常見的設線方法有圓方程的標準式與一般式、直線方程有y=kx+b、x=

16、my+n及兩點式、點斜式等形式、還有曲線系方程、參數方程等. 　【變式訓練】【2018黑龍江省大慶市一?！恳阎獧E圓 ，其焦距為2，離心率為 （1）求橢圓的方程； （2）設橢圓的右焦點為， 為軸上一點，滿足，過點作斜率不為0的直線交橢圓于兩點，求面積的最大值. 六、函數與導數問題重在“分”——分離、分解 　　以函數為載體,以導數為工具的綜合問題是高考?？嫉膲狠S大題,多涉及含參數的函數的單調性、極值或最值的探索與討論,復雜函數的零點的討論,不等式中參數范圍的討論,恒成立和能成立問題的討論等,是近幾年高考試題的命題熱點.對于此類綜合試題,一般先求導,再變形或分解出基本函數,再根據題意處理.

17、 例6　(2017課標全國Ⅱ,21,12分)已知函數f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0. (1)求a; (2)證明: f(x)存在唯一的極大值點x0,且e-2< f(x0)<2-2. 當01時,g'(x)>0,g(x)單調遞增. 所以x=1是g(x)的極小值點,故g(x)≥g(1)=0. 綜上,a=1. (2)由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f '(x)=2x-2-ln x. 設h(x)=2x-2-ln x,(分解) 則h'(x)=2-. 當x∈時,h'(x)<0; 當x∈時,h'

18、(x)>0, 所以h(x)在單調遞減,在單調遞增. 分離:把函數f(x)分離為x與g(x)的積. 分解:構造h(x)=2x-2-ln x. 　　▲破解策略　函數與導數壓軸題計算復雜、綜合性強、難度大.可以參變量分離,把復雜函數分離為基本函數;可把題目分解成幾個小題;也可把解題步驟分解為幾個小步,注重分步解答,這樣,即使解答不完整,也要做到盡可能多拿步驟分. 【變式訓練】　已知函數 （1）若不等式恒成立，則實數的取值范圍； （2）在（1）中， 取最小值時，設函數.若函數在區(qū)間上恰有兩個零點，求實數的取值范圍； （3）證明不等式： （且）. 答案精解精析 一、三角函數問題重

19、在“變”——變角、變式與變名 　【變式訓練】【解析】（1）由題意得 ， ∵， ∴， ∴的最大值為2．此時，即， ∴， ∴ 在中， ， ， 由余弦定理得 又， ∴，當且僅當時取等號， ∴的最小值為. 二、數列問題重在“歸”——化歸、歸納 　【變式訓練】【解析】 (1) =, ?=, ,所以, 又===. (2) ====, 所以原式= == . 三、立體幾何問題重在“建”——建模、建系 　【變式訓練】【解析】（1)證明：因為平面與平面垂直 故平面 （2）由（1）知， 垂直， 垂直，又垂直， 平行，所以垂直，如圖，以為坐標原點，

20、 分別為軸建立空間坐標系 又，所以， 設 則 因為平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則， 即，解得，即 四、概率問題重在“辨”——辨析、辨型 　【變式訓練】【解析】 （1）由已知有 ， ,故變量 關于變量 的線性回歸方程為，所以當 時， . （2）由題意可知的可能取值有1，2,3,4. ， . 所以 的分布列為 1 2 3 4 五、解析幾何問題重在“設”——設點、設線 　【變式訓練】【解析】 (1)因為橢圓焦距為2，即，所以,，所以，從而，所以橢圓的方程為. ， 令， ，則，當時， 取得最大值，此時， ， 取得最大值. 六、函數與導數問題重在“分”——分離、分解 　　【變式訓練】　【解析】 (2)由(1)可知， ，當時， ， ， 在區(qū)間上恰有兩個零點，即關于的方程在區(qū)間上恰有兩個實數根. 整理方程得， ，令， ， 令， ， 則， ，于是， 在上單調遞增. 因為，當時， ，從而， 單調遞減， 當時， ，從而， 單調遞增， ， ， ， 因為，所以實數的取值范圍是. (3)由(1)可知，當時，有， 當且僅當時取等號. 18