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六年級《速算與巧算》教案 教學部主管： 時間：2016年 月 日 輔導科目 奧數(shù) 就讀年級 六 教師姓名 張嵐 課 題 《速算與巧算》 授課時間 2016.10.7 備課時間 2016.9.30 教學目標 1、掌握速算與巧算的方法，提高學生的計算能力和思維能力； 2、選用合理、靈活的計算方法，簡便運算過程，化繁為簡，化難為易，使計算又快又準確。 3、理解提公因式即分配律的逆運算 4、掌握“裂項”計算技巧 重、難點 1、計算方法的選擇 2、計算仔細程度 3、裂項計算技巧的應用 教學內容 ㈠承上啟下 知識回顧 l 運算律回顧： 加法交換律：a+b=b+a 乘法交換律：ab=ba 加法結合律：a+b+c=a+(b+c） 乘法結合律：abc=a(bc) 減法的性質：a－b－c=a－(b+c) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 除法的性質：abc=a(bc) l 提取公因數(shù)：這個方法等同于課內所學的乘法分配律的逆運算。一般情況下，用提取公因數(shù)法解決的題目有兩個特征。 一、要有“公因數(shù)”（共同的因數(shù)），如果是“疑似”公因數(shù)（例如38和3.8或者38和19）我們可以借助下面幾個方法對它進行加工。 ①ab=(a10)(b10) ②c=a ③abc=a(bc) 2、 要有互補數(shù)。 l 裂項的計算技巧： ㈡緊扣考點 專題講解 l 知識點一：提公因數(shù)法 題型一、直接提取： 例1：計算3101-6.3 【思路導航】把算式補充完整，6.3101-6.31，學生就很容易看出兩個乘法算式中有相同的因數(shù)6.3。省略“1”的寫法，同學要看的出。 【解答】原式=6.3（101-1） =6.3100 =630 【隨堂練習】13+860.25+0.62586+860.125 例2：計算7.8161.45+3.142.184+1.697.816 【思路導航】觀察整個算式的過程中，你有沒有發(fā)現(xiàn)局部的公因數(shù)呢？將局部進行提取公數(shù)計算，看看會發(fā)生什么事情？ 【解答】原式=7.816（1.45+1.69）+3.142.184 =7.8163.14+3.142.184 （這里是不是可以繼續(xù)提取公因數(shù)了呢） =3.14（7.816+2.184） =3.1410 =31.4 總結：在加減乘除混合運算中，先觀察有無公因數(shù)。如果沒有，有無局部的公因數(shù)，有局部公因數(shù)的題目往往可以進行二次提取。 【隨堂練習】計算81.515.8＋81.551.8＋67.618.5 【變式訓練】計算8.11.3－81.3＋1.91.3+11.91.3 l 題型二、有疑似公因數(shù)，變化后再提?。? 例3：36.16.8+4860.32 【思路導航】本題直接計算不是好辦法。經(jīng)驗告訴我們，這道題一定可以提取公因數(shù)?？墒牵驍?shù)在哪呢？這里就需要我們構造！本題中6.8和0.32是不是可以變成“補數(shù)”呢？ 【解答】原式=36.16.8+48.63.2 =36.16.8+（36.1+12.5）3.2 =36.1（6.8+3.2）+12.53.2 =36112.580.4 =361+40 =401 總結：當題中出現(xiàn)“補數(shù)”或某些數(shù)可以化為“補數(shù)”時，要注意去湊公因數(shù)。 【隨堂練習】計算325+37.96 【變式訓練】計算20.1113+201.15.5+20110.32 l 知識點二：計算三大技巧——裂項 常見的裂項一般是將原來的分數(shù)分拆成兩個分數(shù)或多個分數(shù)的和或差，使拆分后的項可以前后抵消或湊整。這種題目看似結構復雜，但一般無需進行復雜的計算。 一般分為分數(shù)裂項和整數(shù)裂項，其中分數(shù)裂項是重要考點。 例4、計算：16641 【思路導航】我們如果找到一個數(shù)能被41整除，那么想想166中是否包含這樣的一個數(shù)呢？顯然我們要對166進行拆分。將它拆分成164+2，剛好164能被41整除。（拆分可以看成簡單的裂項） 【解答】原式=（166+2）41 =16441+41 =4+2 =4 【隨堂練習】5417 【變式訓練】19981998 思考：公式推導： 同學們都知道，在計算分數(shù)加減法時，兩個分母不同的分數(shù)相加減，要先通分化成同分母分數(shù)后再計算 例如：=，這里分母3、4是相鄰的兩個自然數(shù)，公分母正好是它們的乘積，把這個例題推廣到一般情況，就有一個很有用的等式： = = 即或者 下面利用這個等式，巧妙地計算一些分數(shù)求和的問題 l 知識點二：計算技巧之“裂項” 一、分數(shù)裂項——“裂差”型運算 題型一：當分母上是兩個數(shù)乘積的形式，分子可以表示分母上這兩個數(shù)的差，則可以進行裂項。 例5：計算+++……+ 【思路導航】分母是相鄰兩數(shù)之和，那么我們可以運用上面所推導的公式進行拆分 【解答】原式= 【隨堂練習】計算 【變式訓練】計算 （提示：每個分數(shù)的分子為1，分母是3的兩個自然數(shù)的乘積，因此可將每個分數(shù)拆成兩個分數(shù)的差，結果擴大三倍，那么我們將這個差縮小三倍才能作恒等變形。） 總結：將分拆成兩個數(shù)的差時，不要忘記乘以，這樣才是恒等變形。 題型二：當分母上是幾個數(shù)的乘積形式，分子可以表示為頭尾兩個因數(shù)的差，則可以進行裂項。 思考：公式推導：例如將進行恒等變形。 分母6和12 分解質因式之后為（2,3）和（2,2,3）那么我們可以將它重新組合成三個相鄰數(shù)相乘，此時分母擴大了2倍，要想分數(shù)的大小不變，則分子也要擴大兩倍。 因此 則有公式： 例6：計算 【思路導航】我們已經(jīng)學會了將分數(shù)為兩個數(shù)相乘的分數(shù)拆分成兩個分數(shù)相減的形式，同樣的道理我們也可以將分母為三個數(shù)相乘的分數(shù)拆分成兩個分數(shù)之差，且同樣使得一些分數(shù)相抵消，從而達到簡便計算的效果。 分母是連續(xù)的三個自然數(shù)相乘，且第一個數(shù)與第二個數(shù)相差2，而分子是1，必須將分子變?yōu)?才能裂項，分子變?yōu)?，要使分數(shù)大小不變，分數(shù)值必須乘以。 【解答】原式= = = = 【隨堂練習】 例7：計算（逆向運用題型） 【思路導航】對于多個不同分數(shù)單位相加的計算題，我們一般試著把分母轉化成兩數(shù)相乘的形式，然后嘗試用裂項法來解決。要注意整個過程中都是形式變化而值不變。 【解答】原式= =1- =1- = 【隨堂練習】 二、分數(shù)裂項——“裂和”型運算 當分母上是兩個數(shù)的乘積的形式，分子可表示為分母上這兩個乘積的和，則可以進行裂和。 例如： 例：計算 ㈢高分秘訣 總結練習 1、計算 2、計算53.535.5+53.543.2+78.546.5 3、計算361.09+1.267.3 4、計算 ㈣挑戰(zhàn)自己 拓展提高 計算： 10 / 10