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第六屆全國(guó)初中青年數(shù)學(xué)教師 新 課 程 優(yōu) 秀 課 評(píng) 比 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)八年級(jí)《數(shù)學(xué)》（下） （滬科版） 20.3一元二次方程的根的判別式 教 案 安徽省懷遠(yuǎn)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 周道軍 20.3一元二次方程的根的判別式 〖教材分析〗 1、地位和作用 本節(jié)內(nèi)容是在一元二次方程的解法的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，是對(duì)公式法的完善與發(fā)展。利用根的判別式可以不解方程而直接判斷一元二次方程的根的情況。由于前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了求根公式，所以教材開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，首先直接對(duì)求根公式進(jìn)行討論，給出根的判別式的意義，進(jìn)而得出一元二次方程根的判別方法，然后給出了判別方法的逆定理。最后，通過(guò)例題及練習(xí)，對(duì)一元二次方程根的判別方法及其逆定理進(jìn)行了鞏固。一元二次方程根的判別方法及其逆定理是一元二次方程的重要性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)、一元二次不等式等后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)具有十分重要的意義。 2、重點(diǎn)和難點(diǎn) 本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等；教學(xué)難點(diǎn)是弄懂為什么可以用判別式判別一元二次方程根的情況；突破難點(diǎn)的關(guān)鍵在于結(jié)合平方根的性質(zhì)理解求根公式。 〖學(xué)生情況分析及應(yīng)對(duì)策略〗 學(xué)生在上一節(jié)推導(dǎo)求根公式以及用公式法解一元二次方程的過(guò)程中，對(duì)一元二次方程根的不同情況已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí)，對(duì)分類討論的思想方法也不陌生，這為本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)提供了有利條件。教學(xué)中可以先讓學(xué)生解幾個(gè)根的情況不同的方程，以獲得更充分的感性認(rèn)識(shí)，然后結(jié)合求根公式及b2-4ac的符號(hào)情況進(jìn)行討論，從而得出結(jié)論。教師應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與積極性，盡量通過(guò)他們自己的探究與思考得出結(jié)論，并注意適時(shí)引導(dǎo)。 〖設(shè)計(jì)理念〗 教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)以學(xué)生為主體，先通過(guò)練習(xí)獲得感性認(rèn)識(shí)，然后經(jīng)過(guò)觀察、思考、交流、討論等活動(dòng)，主動(dòng)獲取知識(shí)；強(qiáng)調(diào)通過(guò)學(xué)生積極主動(dòng)的參與，充分經(jīng)歷知識(shí)的形成、發(fā)展與應(yīng)用的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中掌握知識(shí)，形成技能，發(fā)展思維；在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者與引導(dǎo)者。 〖教學(xué)準(zhǔn)備〗 教具準(zhǔn)備：多媒體課件。 學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)一元二次方程的解法，預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。 〖教學(xué)目標(biāo)〗 根據(jù)課標(biāo)要求，結(jié)合學(xué)生的具體情況，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為： 知識(shí)與技能：了解一元二次方程根的判別式的意義，理解為什么能根據(jù)它判斷方程根的情況；能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)數(shù)根以及兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否相等。 過(guò)程與方法：經(jīng)歷一元二次方程根的判別式的意義及作用的探究過(guò)程，體會(huì)分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法，感受數(shù)學(xué)思想的嚴(yán)密性與方法的靈活性?！? 情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)根的判別式的意義及作用的探究，培養(yǎng)對(duì)科學(xué)的探索精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。 〖教學(xué)流程〗 一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題 1、你能說(shuō)出我們共學(xué)過(guò)哪幾種解一元二次方程的方法嗎？ 2、能力展示：分組比賽解方程 （1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0 。 （待學(xué)生做完后，教師點(diǎn)評(píng)。（1）x1 = x2 = 2 ；（2）x 1 = 1 ，x2 = -3 ；（3）無(wú)實(shí)數(shù)根。) 3、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 觀察上面三個(gè)方程的根的情況，你有什么發(fā)現(xiàn)？ （學(xué)生觀察得出：三個(gè)方程的根的情況是不同的，其中（1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根） 4、提出問(wèn)題 教師引導(dǎo)學(xué)生思考上述方程根的情況不同的原因，嘗試提出下列問(wèn)題： 一般的，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？何時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？它何時(shí)沒(méi)有實(shí)數(shù)根？（板書(shū)課題，出示學(xué)習(xí)目標(biāo)） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、知道什么叫一元二次方程的根的判別式，理解為什么能根據(jù)它來(lái)判斷方程根的情況； 2、能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)數(shù)根和兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否相等； 3、體會(huì)分類思想、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 二、探究新知 1、一元二次方程的根的判別式 活動(dòng)1 學(xué)生自學(xué)，初步感悟 請(qǐng)學(xué)生帶著下面的問(wèn)題，自學(xué)第51頁(yè)課文至倒數(shù)第四行，并注意分類討論的思想方法的使用。 一般的，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 它何時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？ 何時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？ 何時(shí)沒(méi)有實(shí)數(shù)根？ 為什么說(shuō)方程根的情況是由b2-4ac 決定的？ 教師巡視，并注意收集問(wèn)題，為下一步集中釋疑做準(zhǔn)備。 活動(dòng)2 合作交流，深入探究 請(qǐng)學(xué)生結(jié)合自己的理解，就上述問(wèn)題的答案在小組內(nèi)進(jìn)行討論、探究，然后教師組織全班進(jìn)行交流，關(guān)鍵讓學(xué)生講清每個(gè)結(jié)論的理由。 活動(dòng)3 師生合作，歸納提升（屏幕顯示）： 由上面的討論可見(jiàn)，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況由b2-4ac來(lái)決定。因此，我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式。通常用符號(hào)“Δ”（希臘字母）來(lái)表示，讀做“得爾塔”，即Δ=b2-4ac。 2、一元二次方程的根的判別方法 思考：你能說(shuō)出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況具體有哪幾種，又是如何判別的嗎？ 學(xué)生思考，師生共同得出： 結(jié)論1 一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 當(dāng)Δ＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)Δ＝0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)Δ＜0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根。 這個(gè)結(jié)論告訴我們，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式的值，就可以由它的符號(hào)直接判別方程根的情況。 活動(dòng)4 應(yīng)用遷移，發(fā)展能力 例題1 不解方程，判別下列方程根的情況： （1）5x2-3x=2（2）25y2+4=20y（3）2x2+x+1=0 本例先讓學(xué)生思考，分析解題思路，然后請(qǐng)學(xué)生口述第（1）小題的解法，教師板書(shū)，以進(jìn)一步明確思路，強(qiáng)調(diào)解題方法及格式。 解 （1）原方程可變形為 5x2-3x-2=0， 因?yàn)棣ぃ剑?3）2- 45（-2）＞0， 所以，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 請(qǐng)學(xué)生回顧上面的解題過(guò)程，總結(jié)判別一元二次方程的根的情況的步驟： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ=b2-4ac是針對(duì)一般形式而言的，所以，不解方程，判別一元二次方程的根的情況的一般步驟為： 一化（將一元二次方程化為一般形式）； 二算（確定a、b、c的值，算出Δ的值）； 三判斷（根據(jù)結(jié)論1判別方程根的情況）。 （2）、（3）小題由學(xué)生完成，教師巡視。待學(xué)生做完后，教師請(qǐng)一名學(xué)生向大家公布自己的解題結(jié)果，教師及時(shí)點(diǎn)評(píng)。 3、逆定理 活動(dòng)5 逆向思考，拓展延伸 上面的結(jié)論1中共有三個(gè)命題，你能分別說(shuō)出它們的逆命題嗎？（屏幕顯示結(jié)論1） 學(xué)生思考、交流并回答，教師指出：這三個(gè)命題也是真命題，從而得到： 結(jié)論2 對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ＞0； 當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ＝0； 當(dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ＜0。 （將結(jié)論2與結(jié)論1放在同一幅幻燈片內(nèi)展示，以便學(xué)生能更清楚地認(rèn)識(shí)到二者的區(qū)別與聯(lián)系） 例題2 已知關(guān)于x的方程x2－3x + k = 0，問(wèn)k取何值時(shí)，這個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根? 學(xué)生思考、分析，并與同伴交流與討論，其間，教師可以參與學(xué)生的討論，然后請(qǐng)同學(xué)說(shuō)出自己的想法，教師視情況進(jìn)行點(diǎn)撥：這道題中已知的是什么條件？要得出怎樣的結(jié)論？應(yīng)該使用結(jié)論1還是結(jié)論2？ 師生共同得到正確的思路，解題過(guò)程由學(xué)生自行完成后，教師展示參考答案，并再次強(qiáng)調(diào)解題根據(jù)為結(jié)論2。 解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， ∴Δ= 0， 即 (－3)2－ 4k = 0, 解得k=， ∴ k=時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。 變式：已知關(guān)于x的方程x2－3x + k = 0，問(wèn)k取何值時(shí)，這個(gè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根? 學(xué)生思考、分析，并與同伴交流與討論，師生共同得到正確解題思路。 解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴Δ≥0， 即 (－3)2－ 4k ≥ 0, 解得k ≤， ∴ k≤時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。 三、當(dāng)堂檢測(cè) 1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判別式的值為_(kāi)_____ ,所以方程根的情況是_______________. 2.若一元二次方程x2-ax+1=0的兩實(shí)根相等，則a的值是（ ） A.a =0 B.a =2或a =-2 C.a =2 D.a =2或a =0 3. 不解方程，判別下列方程根的情況： x(x +1)=3 . 4、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a和c異號(hào)，試證明：此方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 （說(shuō)明：當(dāng)堂檢測(cè)中的1、2兩題，讓學(xué)生思考、計(jì)算后搶答，并說(shuō)明理由，第3題中的兩小題請(qǐng)兩位同學(xué)到黑板前板演，待學(xué)生都做齊后由學(xué)生講評(píng)。） 四、小結(jié)與評(píng)價(jià) 1、通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？ 本節(jié)課的主要內(nèi)容： （1）、一元二次方程根的判別式的意義； （2）、由根的判別式的符號(hào)判斷一元二次方程根的情況（即結(jié)論1）； （3）、由一元二次方程根的情況判斷根的判別式的符號(hào)（即結(jié)論2）。 2、本節(jié)課你對(duì)自己的表現(xiàn)滿意嗎？對(duì)同學(xué)呢？能給老師一個(gè)評(píng)價(jià)嗎？ 五、作業(yè)設(shè)計(jì) 課本第53頁(yè)習(xí)題20.3 必做題：第1,3題； 選做題：第2,4,5題. 〖教學(xué)反思〗 本節(jié)課的教學(xué)堅(jiān)持從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，以學(xué)生為主體，注重對(duì)新理念的貫徹和教學(xué)方法的使用；在突破難點(diǎn)時(shí)，多種方法并用，注意培養(yǎng)自學(xué)能力；堅(jiān)持當(dāng)堂訓(xùn)練，例題、練習(xí)的設(shè)計(jì)針對(duì)性強(qiáng)，重點(diǎn)突出，對(duì)方法的總結(jié)言簡(jiǎn)意賅；學(xué)生能夠積極、主動(dòng)的參與，充分經(jīng)歷了知識(shí)的形成、發(fā)展與應(yīng)用的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中掌握了知識(shí)，形成了技能，發(fā)展了思維；教學(xué)效果很好！ 在課堂教學(xué)進(jìn)程的把握上還應(yīng)再簡(jiǎn)練些，當(dāng)堂檢測(cè)4可讓學(xué)生課后完成，這樣教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成會(huì)更從容。 20.3一元二次方程根的判別式 1、定義 例題解（1） 學(xué)生板演處 2、結(jié)論1 結(jié)論2 板書(shū)設(shè)計(jì)