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階段自測題（十一） 線性代數(shù)模擬試卷 一、填空題 1. 設4階方陣A有一個特征值為，則矩陣必有一個特征值為 2l2+3l+1 。 2.設,則其伴隨矩陣 3.對于矩陣，當時，A可逆。 4.設有可逆矩陣,則其逆矩陣 ， 5.設A是可逆矩陣，則的解Z= A-1(B+C) 。 方程兩邊同時左乘 6. 設A是主對角元為1,2,3，…，n的n階三角矩陣，則 n! 。 7. 設A,B均為n階方陣，且，則方程與的非零解的個數(shù)之和為 0 。 A,B均可逆均只有零解。 8.設X為三維向量，滿足，則X= 。 9. 設Q是n階初等矩陣，且對任一n階方陣A, AQ使得A的第二列元素改變符號，則 -1 。 10. 已知為三維向量，且 線性無關，則 秩（）= 3 。 線性無關且為三維向量，因此必定是的一個最大無關組，則必定可由線性表示。 二、已知方陣A滿足等式，證明：A可逆，并求。 解：A2-3A-2E=0A(A-3E)=2E A可逆,且 三、設,矩陣X滿足關系，求矩陣X。 解：X=(A-E)-1(A2-E)=(A-E)-1(A-E)(A+E)=A+E= 四、矩陣和有相同的特征值，確定矩陣B。 解：|lE-A|==(l-3)(l-5)=0l1=3, l2=5 |lE-B|==l2-2al+(a2-b2)=0,代入l1=3, l2=5,得a=4, b=1 \B=或 五、設A為n階方陣，I為單位矩陣，，,證明：. 證：|A+E|=|A+AA|=|A(E+A)|=|A||E+A|=|A||(E+A)|=|A||A+E| |A+E|(1-|A|)=0 ∵|A|<01-|A|0 \|A+E|=0 六、k為何值時，線性方程組有唯一解，有無窮多組解？若有解時，求出其解。 解：=(k+1)(4-k) (k+1)(4-k)0k-1,4時,方程組有唯一解: x1=, x2=, x3= k=-1~R(A)R(B)方程組無解 k=4~R(A)=R(B)=2<3無窮個解 同解方程組為 取x3=0,得特解h*= 相應齊次線性方程組的基礎解系為: x= 通解為: X=+k (kR)