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第二章 解三角形 1 1正弦定理 1 問題的引入 1 在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事 明月高懸 我們仰望夜空 會有無限遐想 不禁會問 月亮離我們地球有多遠(yuǎn)呢 科學(xué)家們是怎樣測出來的呢 2 設(shè)A B兩點(diǎn)在河的兩岸 只給你米尺和量角設(shè)備 不過河你可以測出它們之間的距離嗎 A B 我們這一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是解決這些問題的有力工具 回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系 兩等式間有聯(lián)系嗎 思考 對一般的三角形 這個結(jié)論還能成立嗎 2 定理的推導(dǎo) 1 1正弦定理 1 當(dāng)是銳角三角形時 結(jié)論是否還成立呢 D 如圖 作AB上的高是CD 根椐三角形的定義 得到 1 1正弦定理 E 2 當(dāng)是鈍角三角形時 以上等式是否仍然成立 1 1 1正弦定理 D 1 文字?jǐn)⑹?正弦定理 在一個三角形中 各邊和它所對角的正弦的比相等 2 結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 3 方程的觀點(diǎn) 正弦定理實(shí)際上是已知其中三個 求另一個 能否運(yùn)用向量的方法來證明正弦定理呢 和諧美 對稱美 正弦定理 因?yàn)橄蛄颗c在y軸上的射影均為 如圖所示 以A為原點(diǎn) 以射線AB的方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐標(biāo)系 C點(diǎn)在y軸上的射影為C 即 所以 即 所以 若A為銳角或直角 也可以得到同樣的結(jié)論 同理 變式 正弦定理在一個三角形中 各邊和它所對角的正弦的比相等 即 剖析定理 加深理解 1 A B C 2 大角對大邊 大邊對大角 剖析定理 加深理解 3 正弦定理可以解決三角形中的問題 已知兩角和一邊 求其他角和邊 已知兩邊和其中一邊的對角 求另一邊的對角 進(jìn)而可求其他的邊和角 剖析定理 加深理解 4 一般地 把三角形的三個角A B C和它們的對邊a b c叫做三角形的元素 已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫解三角形 剖析定理 加深理解 5 正弦定理的變形形式 6 正弦定理 可以用來判斷三角形的形狀 其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化 例1在已知 解三角形 通過例題你發(fā)現(xiàn)了什么一般性結(jié)論嗎 小結(jié) 知道三角形的兩個內(nèi)角和任何一邊 利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素 1 1正弦定理 3 定理的應(yīng)用舉例 變式 若將a 2改為c 2 結(jié)果如何 例2 已知a 16 b A 30 解三角形 已知兩邊和其中一邊的對角 求其他邊和角 解 由正弦定理 得 所以 60 或 120 C 90 C 30 當(dāng) 120 時 4 基礎(chǔ)練習(xí)題 1 1正弦定理 B 300 無解 A 分析 如圖所示 將BD CE分別延長相交于一點(diǎn)A 在 ABC中 已知BC的長及角B與C 可以通過正弦定理求AB AC的長 例3 某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩 如圖所示 其一角已破損 現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù) BC 2 57cm CE 3 57cm BD 4 38cm 為了復(fù)原 請計(jì)算原玉佩兩邊的長 結(jié)果精確到0 01cm 解 將BD CE分別延長相交于一點(diǎn)A 在 ABC中 BC 2 57cm B 45 C 120 A 180 B C 180 45 120 15 因?yàn)?所以利用計(jì)算器算得AC 7 02 cm 同理 AB 8 60 cm 答 原玉佩兩邊的長分別約為7 02cm 8 60cm 例4 臺風(fēng)中心位于某市正東方向300km處 正以40km h的速度向西北方向移動 距離臺風(fēng)中心250km范圍內(nèi)將會受其影響 如果臺風(fēng)風(fēng)速不變 那么該市從何時起要遭受臺風(fēng)影響 這種影響持續(xù)多長時間 結(jié)果精確到0 1h 分析 如圖所示 臺風(fēng)沿著BD運(yùn)動時 由于 AB 300km 250km 所以開始臺風(fēng)影響不了城市A 由點(diǎn)A到臺風(fēng)移動路徑BD最小距離 AE AB sin45 所以臺風(fēng)在運(yùn)動過程中肯定要影響城市A 這就要在BD上求影響A的始點(diǎn)C1和終點(diǎn)C2 然后根據(jù)臺風(fēng)的速度計(jì)算臺風(fēng)從C1到C2持續(xù)的時間 解 設(shè)臺風(fēng)中心從點(diǎn)B向西北方向沿射線BD移動 該市位于點(diǎn)B正西方向300km處的點(diǎn)A 假設(shè)經(jīng)過th 臺風(fēng)中心到達(dá)點(diǎn)C 則在 ABC中 AB 300km AC 250km BC 40tkm B 45 正弦定理主要應(yīng)用 1 已知兩角及任意一邊 可以求出其他兩邊和另一角 2 已知兩邊和其中一邊的對角 可以求出三角形的其他的邊和角 此時可能有一解 二解 無解 1 1正弦定理 小結(jié) 作業(yè) 正弦定理 第二課時 1 復(fù)習(xí)回顧正弦定理的內(nèi)容 問題1由例2我們發(fā)現(xiàn) 已知兩邊和其中一邊的對角 解三角形時會出現(xiàn)兩解的情況 還會出現(xiàn)其他情況嗎 你能從代數(shù)或幾何角度給出解釋嗎 提示 已知兩邊及其中一邊的對角 用正弦定理 可能有兩解 一解或無解 在 ABC中 已知a b和A時 解的情況如下 探究點(diǎn)2正弦定理解三角形 1 為銳角 2 為鈍角 為直角時 與 為鈍角相同 a b時 一解 a b時 無解 問題2如圖 所示 在Rt ABC中 斜邊AB是 ABC外接圓的直徑 設(shè)Rt ABC外接圓的半徑為R 因此 這個結(jié)論對于任意三角形 圖 圖 是否成立 提示 成立 證明如下 如圖 當(dāng) ABC為銳角三角形時 當(dāng) ABC為直角三角形時 容易得證 問題3 而 所以 小結(jié) 2 在中 若 則是 A 等腰三角形B 等腰直角三角形C 直角三角形D 等邊三角形 1 在中 一定成立的等式是 C D 3 2013 北京高考 在 ABC中 a 3 b 5 sinA 則sinB A B C D 1 B B 6 在中 c 4 a 2 C 則 5 若A B C是 ABC的三個內(nèi)角 則sinA sinB sinC 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí) 1 掌握正弦定理的表示形式及證明正弦定理的向量方法 2 學(xué)會運(yùn)用正弦定理解決兩類基本的解三角形問題 1 已知兩角及一邊 2 已知兩邊和其中一邊的對角 一解 一解 無解 a bsinA a bsinA bsinA a b a b a b a b 無解 一解 兩解 一解 無解 一解 條件 圖形 總結(jié)