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二 典型例題分析與解答 第二 三章 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 一元函數(shù)微分學(xué)總結(jié) 一 知識點與考點 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 一 知識點與考點 一 導(dǎo)數(shù)與微分 若令 1 導(dǎo)數(shù)定義 則 2 左右導(dǎo)數(shù) 左導(dǎo)數(shù) 右導(dǎo)數(shù) 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù) 且有 函數(shù)y f x 在點 4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 處的導(dǎo)數(shù) 表示曲線y f x 在點 處的切線斜率 即有 曲線的切線方程為 3 導(dǎo)函數(shù)的定義 曲線的法線方程為 是 x 0時比 x高階的無 窮小量 并稱A x為f x 在 其中A是與 x無關(guān)的量 若函數(shù)的增量可表示為 y A x 則稱y f x 在點x處可微 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 記為dy 即dy A x 5 微分的定義 由于 x dx 所以 6 微分的幾何意義 點x處的微分 當(dāng) y是曲線y f x 上點的縱坐標(biāo) 的增量時 dy表示曲線的切線縱坐標(biāo)的增量 7 基本定理 定理1 導(dǎo)數(shù)存在的判定定理 定理2 函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 可導(dǎo)函數(shù)必連續(xù) 但連續(xù)函數(shù)未必可導(dǎo) 可導(dǎo) 定理4 函數(shù)與其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 可微 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù) 定理3 函數(shù)一階可導(dǎo)與可微的關(guān)系 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 5 6 7 設(shè) 及 4 均為可導(dǎo)函數(shù) 則復(fù)合函數(shù) 可導(dǎo) 且 或 微分形式不變性 8 運算法則 1 3 2 9 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分公式 3 1 2 4 8 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 5 6 7 9 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 10 11 14 15 12 13 16 17 10 高階導(dǎo)數(shù) 例1 設(shè) 求使 存在的最高 分析 但是 不存在 2 又 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 11 方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例2 設(shè)函數(shù)y y x 由方程 確定 求 解法1 方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得 解得 方程兩邊微分得 解法2 解得 12 參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例3 設(shè) 求 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解 13 對數(shù)求導(dǎo)法 求 冪指函數(shù) 及多個因子相乘除函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)時用對數(shù)求導(dǎo)法 解法1 取對數(shù) 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 等式兩邊對x求導(dǎo)數(shù) 則有 例4 設(shè) 解法2 作指數(shù)對數(shù)恒等變形 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例5 設(shè) 則有 解 取對數(shù) 等式兩邊對x求導(dǎo)數(shù) 二 中值定理 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 1 羅爾定理 1 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 3 且f a f b 成立 2 在開區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 若函數(shù)f x 滿足條件 則在開區(qū)間 a b 內(nèi)至少存在一點 使 2 拉格朗日中值定理 若函數(shù)f x 滿足條件 1 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 2 在開區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 則在開區(qū)間 a b 內(nèi)至少存在一點 使等式 3 柯西中值定理 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 成立 若函數(shù)f x F x 滿足條件 1 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 2 在開區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo)且 則在開區(qū)間 a b 內(nèi)至少存在一點 使等式 三 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 定理1設(shè)函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 1 函數(shù)的單調(diào)性 若對 都有 則稱f x 在 a b 內(nèi)單調(diào)增 減 2 函數(shù)的極值 設(shè)函數(shù)f x 在 內(nèi)有定義 x為該鄰域內(nèi)異于 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 的任意一點 若恒有 或 則稱 為f x 在該鄰域的極大 小 值 極大值與極小值 統(tǒng)稱為函數(shù)的極值 方程 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點 定理2 函數(shù)取得極值的必要條件 的根稱為函數(shù)f x 的駐點 則有 設(shè)函數(shù)f x 在點 處可導(dǎo) 可導(dǎo)函數(shù)的極值點必為駐點 且在該點處取得極值 定理3 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 函數(shù)取得極值的第一充分條件 設(shè)函數(shù)f x 在 內(nèi)可導(dǎo) 或f x 在點 處連續(xù)但不可導(dǎo) 1 若當(dāng)x由左至右經(jīng)過 時 由 變 則 為函數(shù)的極大值 2 若當(dāng)x由左至右經(jīng)過 時 由 變 3 若當(dāng)x由左至右經(jīng)過 為函數(shù)的極小值 則 則 不變號 不是 時 函數(shù)的極值 定理4 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 函數(shù)取得極值的第二充分條件 設(shè)函數(shù)f x 在 處 1 若 則 為函數(shù)f x 的極大值 2 若 則 為函數(shù)f x 的極小值 3 函數(shù)的最值 求連續(xù)函數(shù)f x 在 a b 上的最值的步驟 1 求f x 在 a b 內(nèi)的駐點及導(dǎo)數(shù)不存在的點 2 求出這些點的函數(shù)值及區(qū)間端點的函數(shù)值 3 比較上述函數(shù)值 其中最大者為最大值 最小者為 最大值 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 恒有 弧在弦的下方 或 則稱曲線 f x 在 a b 內(nèi)為凹 凸 弧 曲線上凹弧與凸弧的分界 點 4 函數(shù)曲線的凹凸性和拐點 設(shè)函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)連續(xù) 若對于 a b 內(nèi)任意兩點 弧在弦的上方 稱為曲線的拐點 定理1 曲線凹凸性的判定定理 若在 a b 上 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 則曲線y f x 在 當(dāng)x自左至右經(jīng)過 定理2 曲線拐點的判定定理 若在 處 時 變號 則 是曲線y f x 的拐點 a b 上為凹 凸 弧 二 典型例題分析與解答 應(yīng)填 1 已知 則 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解 注釋 本題考查導(dǎo)數(shù)的定義 例6 解 由 由 再代入 1 得 例8 設(shè)f x 可導(dǎo) 則 是F x 在x 0可導(dǎo)的 A 充分必要條件 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 B 充分條件但非必要條件 C 必要條件但非充分條件 解 直接計算解此題 由于 A D 既非充分條件又非必要條件 而f x 可導(dǎo) 所以F x 的可導(dǎo)性與 的可導(dǎo)性相同 故選項 A 正確 x 在x 0處可導(dǎo)的充分必要條件是 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 注釋 即f 0 0 本題考查函數(shù)在一點處可導(dǎo)的充要條件 令 由導(dǎo)數(shù)的定義知 解題過程中化簡題目的解題技巧應(yīng)注意掌握 例9 曲線 在點 0 1 處的切線方程 是 曲線在點 0 1 的切線方程為 解 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 注釋 兩邊對x求導(dǎo)得 即為 將x 0 y 1代入 式得 本題考查隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例10設(shè)函數(shù) 由方程 確定 求 解由 由原方程得 代入 1 得 再將 代入 2 得 注釋 本題考查求隱函數(shù)在一點處的一階 二階導(dǎo)數(shù) 注意求導(dǎo)數(shù)時 不必寫出導(dǎo)函數(shù) 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例11證明方程 在 0 1 內(nèi)至少有一實根 分析 如令 不便使用介值定理 用Rolle定理來證 證 令 則 且 故由Rolle定理知 例12 處 設(shè)y f x 是方程 則函數(shù)f x 在點 且 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 C 某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 B 取得極小值 的一個解 A 取得極大值 解 D 某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 由于y f x 是方程 的一個解 所以有 即有 將 代入上式得 所以函數(shù)f x 在點 處取得極大值 A 選項 A 正確 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例13 且 設(shè)f x 有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 則 A f 0 是f x 的極大值 B f 0 是f x 的極小值 C 0 f 0 是曲線y f x 的拐點 D f 0 不是f x 的極值點 0 f 0 也不是曲線 y f x 的拐點 解 由于 由極限的保號性知存在x 0的 某去心鄰域 在此鄰域內(nèi)有 即有 B 即有 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 由于 當(dāng)x 0時 函數(shù)f x 單調(diào)減 當(dāng)x 0時 由極值的第一充分條件知f x 在x 0處取得極小值 即有 又由極限的保號性有 注釋 本題考查極限的保號性和極值的判定法則 函數(shù)f x 單調(diào)增 故選項 B 正確 例14 由于x 1是 x 在 0 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 則 x 在x 1處取得極小值 又 1 0 即 則當(dāng)x 0時 則 x 在x 1處取得區(qū)間 0 試證 當(dāng)x 0時 證 令 易知 1 0 內(nèi)的唯一的極小值點 上的最小值 證畢 例15 求 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解法一 原式 則 注釋 本題考查洛必達法則求未定式極限 由于x 0時 解法二 原式 解法2先對分母用等價無窮小代換 再用洛必達法則 例16 原式 解 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 注釋 本題考查洛必達法則求未定式極限 應(yīng)填 解題過程 中應(yīng)特別注意應(yīng)用無窮小代換以簡化計算 填空題 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例17 已知 在 解 由題 求 處可導(dǎo) 在 處連續(xù) 則 即 且 考慮 08 09 三 1 例18 求數(shù)列 的最大項 證 設(shè) 用對數(shù)求導(dǎo)法得 令 得 因為 在 只有唯一的極大點 因此在 處 也取最大值 又因 中的最大項 極大值 列表判別 例19 1 存在 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 試證明 1 令 且 則 x 在 0 1 上連續(xù) 使得 已知函數(shù)f x 在 0 1 上連續(xù) 在 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 且f 0 0 f 1 1 2 存在兩個不同的點 證 所以存在 使得 使得 第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束 注釋 證畢 本題 2 考查拉格朗日中值定理的應(yīng)用 本題 1 考查連續(xù)函數(shù)零點定理的應(yīng)用 2 由拉格朗日中值定理 存在