《2018-2019學年九年級數(shù)學上冊 第二十四章 圓 小專題11 與圓的基本性質有關的計算習題 （新版）新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019學年九年級數(shù)學上冊 第二十四章 圓 小專題11 與圓的基本性質有關的計算習題 （新版）新人教版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 小專題11　與圓的基本性質有關的計算 類型1　求角度 1．(哈爾濱中考)如圖，⊙O中，弦AB，CD相交于點P，∠A＝42°，∠APD＝77°，則∠B的大小是(B) A．43° B．35° C．34° D．44° 2．(興安盟中考)如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝48°，D為⊙O上一點，則∠ADC的度數(shù)是(A) A．24° B．42° C．48° D．12° 3．(廣東中考)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝

2、50°，則∠DAC的大小為(C) A．130° B．100° C．65° D．50° 4．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，則∠CEB的度數(shù)為100°． 5．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，BA，DC的延長線交于點E，AB＝2CE，∠E＝25°，則∠BOD＝75°． 6．(山西中考)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點C為BD的中點．若∠A＝40°，則∠B＝70°__． 　　 7．(南京中考)如圖，四邊形ABCD是菱形，⊙O經(jīng)過點A，

3、C，D，與BC相交于點E，連接AC，AE.若∠D＝78°，則∠EAC＝27°． 類型2　求長度 8．如圖，⊙O的半徑是3，點P是弦AB延長線上的一點，連接OP.若OP＝4，∠APO＝30°，則弦AB的長是2． 9．如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC.若AB＝8，CD＝2，則EC的長為2__． 　　　　 10．如圖，將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為2 cm. 11．(十堰中考)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分線交⊙O于點D.若AC＝6，BD＝5，則BC的長為8． 小專題

4、12　教材P90習題T14的變式與應用 【例】　(人教版九年級上冊教材第90頁第14題)如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°.判斷△ABC的形狀，并證明你的結論． 解：△ABC為等邊三角形． 證明：∵∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∴∠ACB＝60°. ∴△ABC為等邊三角形． 【問題延伸1】　求證：PA＋PB＝PC. 證明：在PC上截取PD＝AP，連接AD，如圖所示． ∵∠APC＝60°， ∴△APD是等邊三角形． ∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60

5、°，∠ADC＝120°. ∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB. 在△APB和△ADC中， ∴△APB≌△ADC(AAS)． ∴BP＝CD. 又∵PD＝AP，∴PA＋PB＝PC. 　 證明線段的和、差、倍、分問題的常見做法是“截長補短”法，具體做法是：在某一條線段上截取一條線段與特定線段相等，或將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明． 【問題延伸2】　若BC＝2，點P是上一動點(異于點A，B)，求PA＋PB的最大值． 解：由上題知PA＋PB＝PC，要使PA＋PB最大，則PC為直徑，作直徑BG，連接CG.∴∠

6、G＝∠BAC＝60°，∠BCG＝90°.∵BC＝2，∴BG＝4.即PA＋PB的最大值為4. 　 直徑是圓中最長的一條弦，在求最值的問題中經(jīng)常用到這一結論． 1．如圖，四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，延長BP至E，若∠EPA＝∠CPA，判斷△ABC的形狀，并證明你的結論． 解：△ABC是等腰三角形，理由： ∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠EPA＝∠ACB. ∵∠EPA＝∠CPA，∠CPA＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠ABC. ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形． 2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是的中點，DE∥BC交AC的延長線于點E.若AE＝10

7、，∠ACB＝60°，求BC的長． 解：∵D是的中點，∴＝. ∴DA＝DB. ∵∠ACB＝60°，∠ACB與∠ADB是同弧所對的圓周角， ∴∠ADB＝60°. ∴△ADB是等邊三角形． ∴∠DAB＝∠DBA＝60°. ∴∠DCB＝∠DAB＝60°. ∵DE∥BC， ∴∠E＝∠ACB＝60°. ∴∠DCB＝∠E. ∵∠ECD＝∠DBA＝60°， ∴△ECD是等邊三角形． ∴ED＝CD. ∵＝， ∴∠EAD＝∠DBC. 在△EAD和△CBD中， ∴△EAD≌△CBD(AAS)． ∴BC＝EA＝10. 3．如圖，A，P，B，C是圓上的四個點，∠APC＝

8、∠CPB＝60°，連接AB，BC，AC. (1)求證：△ABC是等邊三角形； (2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PB的長． 解：(1)證明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC是等邊三角形． (2)∵∠PAC＝90°， ∴PC是⊙O的直徑， ∴∠PBC＝90°.∵∠CPB＝60°，∴∠BCP＝30°. 在Rt△PBC中，設PB＝x，則PC＝2x. ∵BC＝AB＝2. 由勾股定理，得PB2＋BC2＝PC2， 即x2＋(2)2＝(2x)2， 解得x＝2， ∴PB＝2. 4．(廣州

9、中考改編)如圖，點A，B，C，D在同一個圓上，且C點為一動點(點C不在上，且不與點B，D重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°. (1)求證：BD是該圓的直徑； (2)連接CD，求證：AC＝BC＋CD. 證明：(1)∵＝， ∴∠ACB＝∠ADB＝45°. ∵∠ABD＝45°， ∴∠BAD＝90°. ∴BD是該圓的直徑． (2)在CD的延長線上截取DE＝BC，連接EA， ∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD. ∵∠ADE＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE. 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)． ∴∠BAC＝∠

10、DAE. ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD. ∴∠BAD＝∠CAE＝90°. ∵＝，∴∠ACD＝∠ABD＝45°. ∴△CAE是等腰直角三角形． ∴AC＝CE. ∴AC＝DE＋CD＝BC＋CD. 5．(山西中考)請閱讀下列材料，并完成相應的任務： 阿基米德折弦定理 阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希臘)是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子． 阿拉伯Al-Biruni(973～1050年)的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是

11、阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝AB＋BD. 圖1 圖2 下面是運用“截長法”證明CD＝AB＋BD的部分證明過程． 證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG. ∵M是的中點． ∴MA＝MC. …… 任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分； (2)填空：如圖3，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝2，D為⊙O上一點，∠ABD＝45°，AE⊥BD與點E，則△BDC的長是2＋2． 圖3 解：證明：在△MBA和△MGC中， ∴△MBA≌△MGC(SAS)． ∴MB＝MG. 又∵MD⊥BC， ∴BD＝GD. ∴CD＝GC＋GD＝AB＋BD. 9