5、<2S2
【答案】D
【思路分析】首先考慮極點位置，當(dāng)2AD=AB即AD=BD時S1，S2的關(guān)系，然后再考慮AD>BD時S1，S2的變化情況。
【解題過程】當(dāng)2AD=AB即AD=BD時2 S1= S2，則3S1<2S2。當(dāng)2ADAB時，不確定。
【知識點】中位線及面積大小比較
5. （2018浙江湖州，8，3）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，點D為BC的中點，點E在AC上，將△CDE沿DE折疊，使得點C恰好落在BA的延長線上的點F處，連結(jié)AD，則下列結(jié)論不一定正確的
6、是（ ）
A．AE＝EF B．AB＝2DE
C．△ADF和△ADE的面積相等 D．△ADE和△FDE的面積相等
【答案】C
【解析】選項A，∵D為BC的中點，∴所以BD＝CD．∵FD＝CD，∴FD＝BD．∴∠B＝∠BFD．∵∠C＝∠DFE，∴ ∠B+∠C＝∠BFD+∠DFE．∴∠FAE＝∠AFE．∴AE＝FE．選項A正確．
選項B，∵E為AC的中點，D為BC的中點，∴DE為△ABC的中位線．∴AB＝2DE．選項B正確．
選項C，∵BF∥DE，∴△ADF和△ADE的高相
7、等．但不能證明AF＝DE，∴△ADF和△ADE的面積不一定相等．選項C錯誤．
選項D，△ADE和△FDE同底等高，面積相等，選項D正確．故選C.
【知識點】等腰三角形，折疊，中位線，三角形的外角
1. （2018湖北黃岡，4題，3分）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點D和E，∠B=60°，∠C=25°，則∠BAD為
A.50° B.70° C.75° D.80°
第4題圖
【答案】B
【解析】在△ABC中，∠B=60°，∠C=25°,所以∠BAC=95°,因為DE是AC的垂直平分線，所以DA=DC,所以∠DAC=∠C=25°，
8、所以∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，故選B
【知識點】三角形內(nèi)角和，垂直平分線的性質(zhì)
2. （2018湖南郴州，7，3）如圖，∠AOB=60°，以點O為圓心，以任意長為半徑作弧交OA，OB于點C，D兩點，分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，以O(shè)為端點作射線OP，在射線OP上截取線段OM=6，則M點到OB的距離為（ ）
A.6 B.2 C.3 D.
【答案】D
【思路分析】判斷出OP是∠AOB的平分線，過點M作ME⊥OB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠MOB=30°，然
9、后根據(jù)“直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊一半”列式計算即可得解．
【解析】解：由題意得OP是∠AOB的平分線，過點M作ME⊥OB于E，又∵∠AOB=60°，
∴∠MOB=30°，在Rt△MOE中，OM=6，∴EM=OM=3，故選C．
【知識點】角平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖
3. （2018甘肅天水，T6，F(xiàn)4）如圖所示，點O是矩形ABCD對角線AC的中點，OE∥AB交AD于點E.若OE=3，BC=8，則OB的長為（ ）
A.4 B.5 C. D.
【答案】B.
【解析】∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥CD，AB=
10、CD，點O是AC的中點.
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
∴OE是△ACD的中位線，
∴CD=2OE=6，
∴AB=6.
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10.
∵OB是Rt△ABC斜邊的中線，
∴OB=AC=5.
【知識點】矩形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)
4. （2018河北省，6，3）尺規(guī)作圖要求：ⅰ．過直線外一點作這條直線的垂線；ⅱ．作線段的垂直平分線；
ⅲ．過直線上一點作這條直線的垂線；ⅳ．作角的平分線．
如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：
則正確的配對是（ ）
A．①—ⅳ，②—ⅱ，③—ⅰ，④—ⅲ
11、 B． ①—ⅳ，②—ⅲ，③—ⅱ，④—ⅰ
C．①—ⅱ，②—ⅳ，③—ⅲ，④—ⅰ D． ①—ⅳ，②—ⅰ，③—ⅱ，④—ⅲ
【答案】D
【解析】根據(jù)不同的作圖方法可以一一對應(yīng)． ②的已知點在直線外，所以對應(yīng)ⅰ，④的已知點在直線上，所以對應(yīng)ⅲ．
【知識點】尺規(guī)作圖，角的平分線，垂線，線段的垂直平分線
5. （2018河北省，8，3） 已知，如圖，點P在線段AB外，且PA＝PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．在證明該結(jié)論時，需添加輔助線，則作法不正確的是（ ）
A．作∠APB的平分線PC交AB于點C
B．過點P作PC⊥AB于點C且AC＝BC
12、
C．取AB中點C，連接PC
D．過點P作PC⊥AB，垂足為C
第8題圖
【答案】B
【解析】要證明PA＝PB需要作出AB上的中線（或垂線或∠APB的角平分線）．選項B中作出的輔助線同時滿足了兩個條件，不正確．故選B．
【知識點】線段的垂直平分線，等腰三角形的三線合一
6.（2018貴州安順，T8，F(xiàn)3）已知△ABC （AC＜BC），用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點P，使 PA+PC = BC, 則符合要求的作圖痕跡是（ ）
【答案】D
【解析】選項A，該作圖痕跡表示AB=PB，不符合題意；選項B，該作圖痕跡表示作線段AC的垂直平分線交BC于點P，即P
13、A=PC，不符合題意；選項C，該作圖痕跡表示AC=PC，不符合題意；選項D，該作圖痕跡表示作線段AB的垂直平分線交BC于點P，即PA=PB，故PA+PC=BC,符合題意.故選D.
【知識點】尺規(guī)作圖.
8
7. （2018湖北荊門，11，3分）如圖，等腰中，斜邊的長為，為的中點，為邊上的動點，交于點，為的中點，當(dāng)點從點運動到點時，點所經(jīng)過的路線長為（ ）
A． B． C. D．
【答案】C.
【解析】解：連接OM，CM，OC.
∵OQ⊥OP，且M是PQ的中點，
∴OM=PQ.
∵△ABC是等腰直角三角形，
14、
∴∠ACB=90°，
∴CM=PQ，
∴OM=CM，
∴△OCM是等腰三角形，
∴M在OC的垂直平分線上.
∵當(dāng)P在A點時，點M為AC的中點，當(dāng)P在C點時，點M為BC的中點，
∴點M所經(jīng)過的路線長為AB=1.
故選C.
【知識點】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線，等腰三角形的判定與性質(zhì)
8. （2018湖北省襄陽市，7，3分） 如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于24cm長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN分別交BC、AC于點D、E.若AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為(▲)
A.16cm B.19cm
15、 C.22cm D.25cm
【答案】B
【解析】解：由尺規(guī)作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C△ABD=13cm，
∴C△ABC=AB+BC+AC=13+6=19cm.
故選B.
【知識點】線段垂直平分線
9.（2018陜西，8，3分） 如圖，在菱形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點，連接EF、FG、GH和HE．若EH=2EF，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．AB=EF B．AB=2EF C．AB=EF D．AB=EF
16、
【答案】D
【思路分析】連接AC、BD交于點O．利用中位線性質(zhì)和菱形的性質(zhì)證明EF=AO，EH＝BO，結(jié)合菱形的對角線互相垂直，用勾股定理求線段AB與AO的關(guān)系，即得出AB與EF的關(guān)系．
【解題過程】連接AC、BD交于點O．
∵E，F(xiàn)分別為AB、BC的中點，
∴EF=AC．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AO=AC，AC⊥BD．
∴EF=AO．
同理：EH=BO．
∵EH=2EF．
∴BO=2AO．
在Rt△ABO中，設(shè)AO=x，則BO=2x．
∴AB=AO．
∴AB=EF，故選擇D．
【知識點】菱形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，勾股定理
二、填空題
1. （20
17、18四川瀘州，題，3分） 如圖5，等腰△ABC的底邊BC=20，面積為120，點F在邊BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分線，若點D在EG上運動，則△CDF周長的最小值為 .
第16題圖
【答案】18
【解析】做△ABC的高AH，因為S=120，BC=20，所以AH=12，△CDF的周長=CF+CD+DF，CF=5，因為EG是腰AC的垂直平分線，連接AD，AF，可得DA=DC，所以AD+DF的最小值為AF的長度，在Rt△AHF中，HF=5，AH=12，由勾股定理可得AF=13，因此△CDF周長的最小值為18
【知識點】三角形面積，垂直平分線，勾股定理
18、
2. （2018四川內(nèi)江，23，6） 如圖，以AB為直徑的⊙O的圓心O到直線l的距離OE＝3，⊙O的半徑r＝2，直線AB不垂直于直線l，過點A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為點D、C，則四邊形ABCD的面積的最大值為 ．
【答案】12
【思路分析】由于四邊形ABCD為梯形，所以面積為兩底之和的一半再乘以高，由已知條件可以通過構(gòu)造三角形的中位線，證得兩底之和與線段OE的長度有關(guān)，是一個定值，所以四邊形面積的大小取決于高，當(dāng)直徑AB為梯形的高時，面積最大．
【解題過程】解：連接DO并延長交CB的延長線于F，∵AD⊥l，BC⊥l，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠FBO
19、，∠ADO＝∠F，∵OA＝OB，∴△AOD≌△BOF，∴AD＝BF，OD＝OF，∵OE⊥l，∴AD∥BC∥OE，∴＝，∴DE＝CE，∴OE＝CF＝ (BF＋BC)＝(AD＋BC)，∴AD＋BC＝2OE＝6，∵四邊形ABCD的面積＝(AD＋BC)×CD，∴當(dāng)AB∥l時，即AB為梯形的高時四邊形ABCD的面積最大，最大值為×6×4＝12．
【知識點】三角形中位線，梯形的面積公式；全等三角形；
3. （2018四川廣安，題號14，分值：3） 如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，則OF=____.
第14題圖
【答案】2.
【解析】過點E作ED⊥
20、OA，于點D.
∵EF∥CO，
∴∠EFA=∠AOC=∠AOE+∠BOE=30°.
∵∠AFE是△OEF的外角，
∴∠OEF=∠AEF-∠AOE=15°=∠AOE，
∴OF=EF.
∵OE是∠AOC的平分線，CE⊥OB，EG⊥OA，
∴EG=CE=1.
在Rt△EFG中，∠EFA=30°EG=1，
∴EF=2EG=2，
即OF=2.
【知識點】角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)
4. （2018四川省南充市，第13題，3分）如圖，在△ABC中，平分，的垂直平分線交于點，，，則 度．
【答案】24
【解析】解：設(shè)∠C的度數(shù)為x
21、
∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C=x，∵∠FAE=19°，∴∠AFB=∠FAC+∠C=( x+19°)+x=2x+19°，∵AF平分∠ABC，∴∠BAF=∠FAC= x+19°，∵∠BAF+∠AFB+∠B=180°，即70°+（2x+19°）+(x+19°)=180° ，解得：x=24°.故答案為：24.
【知識點】角平分線的定義；垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形兩銳角互余
5. （2018湖南衡陽，17，3分）如圖，?ABCD的對角線相交于點O，且AD≠CD，過點O作OM⊥AC，交AD于點M.如果△CDM的周長為8，那么的周長是
22、．
【答案】16
【解析】解：在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，
∵點O為AC的中點，OM⊥AC，
∴MO為AC的垂直平分線，
∴MC=MA，
∴△CDM的周長=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8，
∴平行四邊形ABCD的周長=2（AD+CD）=16．
【知識點】
6. （2018江蘇泰州，14，3分）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分別為AC、BD的中點，∠D=α，則∠BEF的度數(shù)為 .（用含α的式子表示）
【答案】
【解析】∵∠ACD=90°，∴∠CAD=90°－∠D=90
23、°－α，∵E、F分別為AC、BD的中點，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠CAD=90°－α，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD=90°－α，∵∠ABC=90°，E為AC的中點，∴AE=BE，∴∠EBA=∠BAC=90°－α，∴∠BEC=180°－2α，∴∠BEF=270°－3α.
【知識點】三角形中位線，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)
7. （2018山東省濟寧市，13，3）在△ABC中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，點D在BC邊上，連接DE，DF，EF.請你添加一個條件_______，使△BED與△FDE全等.
【答案】答案不唯一，如：點D是BC的中點或者DF∥AB.
24、
【解析】當(dāng)D是BC的中點時，△BED≌△FDE.∵E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，∴EF∥BC，當(dāng)E，D分別是邊AB，BC的中點時，ED∥AC，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴△BED≌△FDE，因此，答案為：D是BC的中點．
【知識點】全等三角形的判定，三角形中位線性質(zhì)，平行線性質(zhì)1. （2018武漢市，16，3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是邊AB的中點，E是邊BC上一點．若DE平分△ABC的周長，則DE的長是___________
【答案】
【思路分析】延長BC至點F，使CF=AC，由題意得DE是△ABF的中位線，△ACF是底角為30°的等腰三角
25、形，作CG⊥AF，垂足為G，可求得AF的長，從而求出DE的長.
【解題過程】延長BC至點F，使CF=AC，∵DE平分△ABC的周長，AD=BC，∴AC+CE=BE，∴BE=CF+CE=EF，∴DE∥AF，DE=AF，∠CAF＝∠ACB＝30°.作CG⊥AF，垂足為G，則∠AGC=90°，AF＝2AG＝2AC×∠CAF＝2×1×30°＝，∴.
【知識點】三角形的中位線 等腰三角形的性質(zhì) 直角三角形中的邊角關(guān)系
2. （2018河南，15，3分）如圖, ∠MAN = 90°,點C在邊AM上,AC = 4,點B為邊AN上一動點,連接BC, 與關(guān)于BC所在直線對稱．點D,E分別為AC,B
26、C的中點,連接DE并延長交A'B所在直線于點F,連接A'E．當(dāng)為直角三角形時, AB的長為___________．
【答案】4或
【思路分析】根據(jù)題意，易得EF∥AB，∠＝∠CAB＝90°，∠1＝∠2＝∠3．
當(dāng)為直角三角形時，分兩種情況討論：①∠＝90°時，∠＝2∠2，所以∠+∠3＝90°，即3∠2＝90°，∠2＝30°，從而AB＝＝．②∠＝90°時，∠＝90°．根據(jù)對稱，∠＝∠＝45°，進而判斷出是等腰直角三角形，從而求出AB＝AC＝4．
【解題過程】
圖1 圖2
解：∵∠MAN = 90°，與關(guān)于BC所在
27、直線對稱．
∴∠＝∠CAB＝90°，∠＝∠CBA
又∵點D,E分別為AC,BC的中點，連接DE并延長交A'B所在直線于點F
∴，EF∥AB.
當(dāng)為直角三角形時，由題意得，∠不能為直角，則
①如圖1，∠＝90°時，∠+∠3＝90°
∵EF∥AB，∴∠＝∠＝∠1+∠2＝2∠1.
又∵,∴∠1＝∠3,∴2∠1+∠1＝90°,∴∠1＝30°＝∠2,
∴AB＝＝.
②如圖2，∠＝90°時，
∵EF∥AB,∴∠＝∠＝90°．
由對稱可得，∠＝∠＝45°，
∴是等腰直角三角形∴AB＝AC＝4.
綜上所述， AB的長為4或
故答案為：4或
【知識點】對稱的性質(zhì)，三角形中位線，直角
28、三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角函數(shù)
三、解答題
1. (2018山東青島中考，15，4分)已知：如圖，，射線上一點.
求作：等腰，使線段為等腰的底邊，點在內(nèi)部，且點到兩邊的距離相等. （請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．）
【思路分析】作線段BD的垂直平分線與∠ABC的平分線，交于點P，連接BP，PD，則△PBD就是求作的三角形．
【解題過程】解：作圖如下：
【知識點】尺規(guī)作圖——角平分線、垂直平分線
1. （2018湖北鄂州，18，8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，點E、F分別為DB、BC的中點，連接AE、EF、AF．
29、
（1）求證：AE＝EF；
（2）當(dāng)AF＝AE時，設(shè)∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之間的數(shù)量關(guān)系．
【思路分析】
【解析】解：（1）證明：∵點E、F分別為DB、BC的中點，∴EF是△BCD的中位線，∴EF＝CD，又∵DB＝DC，∴EF＝ DB，在Rt△ABD中，∵點E為DB的中點，∴AE是斜邊BD上的中線，∴AE＝ DB，∴AE＝EF；
（2）如下圖（1），∵AE＝EF，AF＝AE，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝∠EAF＝60°，
又∵∠DAB＝90°，∴∠1＋∠BAF＝90°－60°＝30°，∴∠BAF＝30°－∠1，∵EF是△BCD的中位線，∴
30、EF∥CD，∴∠BEF＝∠CDB＝β，∴β＋∠2＝60°，又∵∠2＝∠1＋∠ADB＝∠1＋α，∴∠1＋α＋β＝60°，∴∠1＝60°－α－β，∵AE是斜邊BD上的中線，∴AE＝DE，∴∠1＝∠ADB＝α，∴α＝60°－α－β，∴2α＋β＝60°．
【知識點】中位線定理；直角三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；平行線的性質(zhì)
2. （2018四川攀枝花，20，8）(本小題滿分8分)已知△ABC中，∠A=90°.
（1）請在圖8中作出BC邊上的中線(保留作圖痕跡，不寫作法)；
(2)如圖9，設(shè)BC邊上的中線為AD.
求證:BC=2AD.
【思路分析】（1）用
31、尺規(guī)作圖作出線段BC的中垂線，目的是作出線段BC的中點D，然后連接線段AD即為所求。
【解題過程】
(1)如圖(1)所示：
(2) 如圖(2),作AB邊的中點E,連接ED，∵BE=EA,BD=DC,∴ED∥AC,
∵∠BAC=90°,∴∠BED=90°，∴DE⊥AB，∴DE是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD，∴AD=BD=DC，∴BC=2AD。
【知識點】尺規(guī)作圖，三角形的中位線，線段的垂直平分線。
3. （2018湖北省孝感市，20，7分）如圖，中，，小聰同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作：
①作的平分線交于點；
②作邊的垂直平分線，與相交于點
32、；
③連接，.
請你觀察圖形解答下列問題：
（1）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是________；
（2）若，求的度數(shù).
【思路分析】（1）根據(jù)從垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PB=PC.
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACB=，再有三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAC=40°，再由角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAP =∠CAP=∠ABP =∠ACP=20°,最后由三角形外角的性質(zhì)可得=∠BPD+∠CPD=∠BAP +∠ABP +∠CAP +∠ACP =80°.
【解題過程】解：（1）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是:（或相等）.
（2）∵平分，，，
∴，.
∵是線段的垂直平分線，
33、
∴，∴.
∵是的外角，
∴.
∴.
∴.
【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)角和定理；三角形外角的性質(zhì)；角平分線和線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖.
4. （2018·北京，17，5）下面是小東設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：直線l及直線l外一點P．
求作：直線PQ，使得PQ∥l．
作法：如圖：
①在直線l上取一點A，作射線PA，以點A為圓心，AP長為半徑畫弧，交PA的延
長線于點B；
②直線l上取一點C（不與點A重合），作射線BC，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，交BC的延長線于點Q；
③作
34、直線PQ．
所以直線PQ就是所求作的直線．
根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：∵AB＝_______，CB＝_______，
∴PQ∥l（________________）（填推理的依據(jù)）．
【思路分析】（1）利用尺規(guī)作圖，先作射線BC，再在射線BC上截取線段CQ＝CB；最后過點P、Q作直線即可；（2）由作圖易知PA＝AB，CQ＝CB，依據(jù)是三角形的中位線的定義及定理，兩點確定一條直線．
【解題過程】
17．解：（1）如下圖所示：
（2）PA，CQ；依據(jù)：①連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；②三角形的中位線平行于第三邊；③兩點確定一條直線．
【知識點】尺規(guī)作圖；三角形的中位線定理
2018年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 知識點24 線段垂直平分線、角平分線、中位線
