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高考導(dǎo)數(shù)問題的命題研究與備考策略 1.考查形式與特點 (1).高考對函數(shù)概念的考查主要有:求函數(shù)的定義域、值域及反函數(shù)。這類題型直接通過具體問題找出函數(shù)關(guān)系，再研究函數(shù)的定義域、值域及反函數(shù)。 (2).在每年的高考試題中，以中等難度題型設(shè)計新穎的試題考查函數(shù)的性態(tài)——即函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和函數(shù)圖象的對稱性等，近兩年，以組合形式一題多角度考查函數(shù)性質(zhì)的高考題正成為新的熱點。 (3).以比較容易的中檔題來考查函數(shù)性質(zhì)的靈活運用，在考查函數(shù)內(nèi)容的同時也考查能否用運動、變化的函數(shù)觀點觀察問題、分析問題、解決問題。 (4).函數(shù)的最值問題在高考試卷中幾乎年年出現(xiàn)，它們是高考中的重要題型之一．特別是函數(shù)在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用問題，大多數(shù)都是最值問題，這類考題在近幾年考查明顯增加．此類考題一要掌握求函數(shù)最值的幾種常用方法與技巧。二要靈活、準確地列出模型函數(shù)． (5).近幾年．為了突出函數(shù)在中學數(shù)學中的主線地位，高考強化了對函數(shù)推理、論證能力(代數(shù)推理題是高考的熱點題型)及探索性問題的綜合考查，加大了以函數(shù)為載體的多種方法、多種能力(甚至包括閱讀能力、理解能力、表述能力、信息處理能力)的綜合程度．這類試題或者是函數(shù)與其他知識的糅合，或者是多種方法的滲透，每道考題都具有鮮明的特色，值得深思． (6).函數(shù)與解析幾何、不等式、方程、數(shù)列、參數(shù)范圍、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容結(jié)合在一起，以曲線方程的變換、參數(shù)范圍的探求及最值問題綜合在一起編擬的新穎考題，成為近幾年高考中的高檔解答題，以綜合考查應(yīng)用函數(shù)知識分析、解決問題的能力壩I試對函數(shù)思想方法的理解與靈活運用，等價轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合和分類討論等解題策略和掌握程度．這類試題每年至少會有一個． (7).高考對導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學問題的工具出現(xiàn)，側(cè)重于考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與解析幾何中的應(yīng)用，主要有以下三個方面：①運用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)最值問題，一直是高考長考不衰的熱點內(nèi)容．另一方面，從數(shù)學角度反映實際問題，建立數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值與最小值問題，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，順利地解決函數(shù)的最大值與最小值問題，從而進一步地解決實際問題．②利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線的切線斜率問題也是導(dǎo)數(shù)的一個重要作用，并且也是高考考查的重點內(nèi)容之一.函數(shù)y=f(x)在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點P(x0,f(x0))處的切線斜率．③運用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的又一重點應(yīng)用，在高考中所占的地位是比較重的． 2.命題趨勢 由于函數(shù)在數(shù)學中具有舉足輕重的地位，它仍必將是高考的一個熱點，而且對能力的考查還將高于課程標準． (1)對函數(shù)的概念、基本性質(zhì)及圖象的考查主要以小題的形式出現(xiàn)． (2)函數(shù)與不等式、數(shù)列、向量、解析幾何等知識的綜合問題會以解答題形式出現(xiàn)，屬于理解、靈活運用層次，難度較大． (3)通過函數(shù)應(yīng)用題考查建立函數(shù)模型及解讀信息的能力，將是高考命題的熱點之一． (4)新課程新增內(nèi)容中與函數(shù)有關(guān)的內(nèi)容——函數(shù)連續(xù)與極限、導(dǎo)數(shù)是考查的重點，所占比重將進一步加大. 典例剖析 例1. 已知函數(shù)f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R)．給出下列命題： ①f(x)必是偶函數(shù)； ②f(0)=f(2)時,f(x)的圖象必關(guān)于直線x=1對稱； ③若a2-b≤0，則f(x)在區(qū)間[0，+∞]上是增函數(shù)； ④f(x)有最大值|a2-b|． 其中正確的命題的序號是_______． 解析： ①顯然是錯誤的； ②由f(O)=f(2)有|b|=|4-4a+b|, 而f(x+1)=|(x+1)2-2a(x+1)+b|=|x2+(2-2a)x-2a+b+l|, f(1-x)=|(1-x)2-2a(1-x)+b|=|x2-(2-2a)x-2a+b+1|， f(x+1)≠f(l-x)．故f(x)不是關(guān)于x=1對稱，所以②不對． ③f(x)=|(x-a)2+b-a2|， 當a2-b≤0時，b-a2≥0， 所以f(x)=(x-a)2+b-a2， 故當x≥a時．f(x)單調(diào)遞增的．故③正確． ④當a2-b>0時,f(a)=|b-a2|=a2-b 其圖象如圖，所以④錯誤． 答案 ③ 剖析： 函數(shù)的性質(zhì)是高考試題考查的熱點之一，本題涉及了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性以及最值，綜合性較強．對于多項選擇填空題，由于各選項相互獨立，解答時應(yīng)逐一檢驗判斷． 例2. 已知二次函數(shù)y=f(x)經(jīng)過點(0，10)，導(dǎo)函數(shù)f/(x)=2x-5，當x∈(n，n+1] (x∈N*)時，f(x)是整數(shù)的個數(shù)記為an． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn=，求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn(n≥3). 解析: (1) 由 f/(x)=2x-5 可以設(shè)此二次函數(shù)為f(x)=x2-5x+c(c為常數(shù))． 因f(x)圖象過(0，10)，故c=10，故二次函數(shù)為f(x)=x2-5x+10=(x-)2+，又因x∈(n，n+1)(n∈N*)時，f(x)為整數(shù)的個數(shù)為an f(x)在(1，2)上的值域為[4，6]，al=2. f(x)在(2，3)上的值域為[，4]，a2=1． 當n≥3時，f(x)在(n，n+1)上單調(diào)遞增，其值城為(f(n)，f(n+1)) ∴an=f(n+1)-f(n)=2n-4． ∴an= (2)令cn=an+bn，則c1=a1+b1=4，c2=a2+b2=3, 當n≥3時 Sn=c1+c2+(c3+…+cn)=7+(a3+…+an)+(b3+…+bn) =7+(n-2)+++…+ =7+(n-1)(n-2)+2()=n2-3n+. 剖析: 本題主要體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列方面的綜合應(yīng)用. 3.應(yīng)試對策 (1).由于函數(shù)內(nèi)容固有的重要性，預(yù)計在以后高考試題中所占比例仍遠遠大于在課時和知識點中的比例(約為20％)，既可以“低檔題”——選擇、填空形式出現(xiàn)(如集合、映射、函數(shù)基本性質(zhì)以及反函數(shù)多屬此類)。也可以“中檔題”、“高檔題”的形式出現(xiàn)(多與其他問題聯(lián)系在一起)． (2).考試的熱點內(nèi)容仍以考查函數(shù)的定義域、值域、反函數(shù)及圖象，運用函數(shù)性質(zhì)的題型為主，其中對運用函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性的題型是重點考查內(nèi)容，應(yīng)予以高度重視．關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的考題中，使用具體函數(shù)的約占，而使用抽象函數(shù)的約占，所以，針對這種高考命題形勢，在復(fù)習函數(shù)性質(zhì)時，應(yīng)著重強化將具體函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容進行延伸，以適應(yīng)高考命題的要求． (3).應(yīng)充分注意函數(shù)的圖象題型，這類考題往往在選擇題中出現(xiàn)．會處理“讀圖題型”和函數(shù)圖象的平移變換、伸縮變換、對稱變換等問題，靈活運用函數(shù)的圖象與對稱性解題． (4).在注意函數(shù)應(yīng)用性問題、探索性問題和以函數(shù)為載體的綜合性問題的同時，更要注意函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交叉題型. (5).導(dǎo)數(shù)是新教材增加的內(nèi)容，近幾年的高考試題．與時俱進，逐步加深．有關(guān)導(dǎo)數(shù)的高考題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、極值，應(yīng)用問題中的最值．由于導(dǎo)數(shù)的工具性，好多問題用導(dǎo)數(shù)處理顯得簡捷明了．用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)比用初等方法研究要方便得多，因此，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作為高考命題重點應(yīng)引起高度注意．考查的方向還是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大值或最小值，或利用求導(dǎo)法解應(yīng)用題．研究函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間等，這些已成為高考的一個新的熱點問題．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義作為解題工具，有可能出現(xiàn)在解析幾何綜合試題中，復(fù)習時要注意到這一點. 高考中導(dǎo)數(shù)問題的六大熱點 導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容，由于其應(yīng)用的廣泛性，為解決函數(shù)問題提供了一般性的方法及簡捷地解決一些實際問題．因此在高考新課程卷中占有較為重要的地位，其考查重點是導(dǎo)數(shù)判斷或論證單調(diào)性、函數(shù)的極值和最值，利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題等方面，常以一小一大或二小一大的試題出現(xiàn)，分值12~17分．下面例析導(dǎo)數(shù)的六大熱點問題，供參考． 一、運算問題 是指運用導(dǎo)數(shù)的定義、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)和差積商的導(dǎo)數(shù)，及復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，直接求出其導(dǎo)數(shù)的運算問題． 例1已知為正整數(shù).設(shè)． 證明：因為， 所以． 例2 ⑴ 已知y＝(x＋1)2，用定義法求y． ⑵ 求y＝2x2－3x＋4－的導(dǎo)數(shù)． ⑶ 已知函數(shù)f(x)＝，且(1)＝2，求a的值． 分析：對于⑴運用導(dǎo)數(shù)的定義，即y＝，即可解決；對于⑵可應(yīng)用(uv)＝v＋u以及解之；對于⑶是逆向型的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算問題，用及方程思想即可解決． 解析：⑴ y＝＝＝2x＋2． ⑵ 由法則，即得y＝4x－3＋． ⑶ ∵＝(ax2－1)?2ax，即(1)＝a(a－1)＝2，解得a＝2． 二、切線問題 是指運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義或物理意義，解決瞬時速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等三類問題．特別是求切線的斜率、傾斜角及切線方程問題，其中： ⑴ 曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的斜率k，傾斜角為，則tan＝k＝． ⑵ 其切線l的方程為：y＝y(tǒng)0＋(x－x0)．若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時，由切線定義知，切線方程為x＝x0． 例3 已知，函數(shù)．設(shè)，記曲線在點處的切線為． ⑴ 求的方程； ⑵ 設(shè)與軸交點為．證明： ①； ②若，則． ⑴ 解：求的導(dǎo)數(shù)：，由此得切線的方程： ． ⑵ 證明：依題意，切線方程中令y＝0， . ① 由 . ② ． 例4設(shè)，，曲線在處切線的傾斜角的取值范圍是，則到曲線對稱軸距離的取值范圍是 （A）　　?。˙）　　　　（C）　?。―） 解：＝2ax＋b，故點處切線斜率k＝2ax0＋b＝tan∈[0，1]，于是點P到對稱軸x＝－的距離d＝|x0－(－)|＝∈，故選(B)． 三、單調(diào)性問題 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)．如果f (x)＞0，則f(x)為增函數(shù)；如果f (x)＜0，則f(x)為減函數(shù)．單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點內(nèi)容，主要有四類問題： ①運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間； ②證明單調(diào)性； ③已知單調(diào)性求參數(shù)； ④先證明其單調(diào)性，再運用單調(diào)證明不等式等問題． 例5 設(shè)a＞0，是R上的偶函數(shù)． （I）求a的值； （II）證明在（0，+∞）上是增函數(shù)。 (Ⅰ) 解：依題意,對一切xR有f(x)=f(-x)，即 ，所以對一切xR成立 由此得到，即 又因為，所以 (Ⅱ)證明：由得 當x(0，+∞)時，有， 此時，所以在(0，+∞)是增函數(shù). 評注：對于第(Ⅱ)問是證明函數(shù)的單調(diào)性，雖然可利用函數(shù)單調(diào)性定義直接證明，但對f(x1)－f(x2)的變形要求較高，技巧性強，且運算量大，是一種“巧法”；而利用導(dǎo)數(shù)法，簡捷明快，也成了“通法”． 四、極值問題 即運用導(dǎo)數(shù)解決極值問題．一般地，當函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，判別f(x0)為極大(小)值的方法是： ⑴ 如果在x0附近的左側(cè)＞0，右側(cè)＜0，那么f(x0)是極大值． ⑵ 如果在x0附近的左側(cè)＜0，右側(cè)＞0，那么f(x0)是極小值． 例6 函數(shù)y＝1＋3x－x3有( ) (A) 極小值－1，極大值1 (B) 極小值－2，極大值3 (C) 極小值－2，極大值2 (D) 極小值－1，極大值3 分析：本題是求已知三次函數(shù)的極值問題，考慮運用導(dǎo)數(shù)先確定函數(shù)的單調(diào)性，再求其極值． 解：由y＝3－3x2＝0，得 x＝1或x＝－1． 當x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，y＜0． 當x∈(－1，1)時，y＞0． 因此函數(shù)y＝1＋3x－x3在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，即x＝－1是極小值點，x＝1是極大值點．所以極小值為－1，極大值為3，故選(D)． 五、最值問題 運用導(dǎo)數(shù)求最大(小)值的一般步驟如下： 若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則 ⑴ 求，令＝0，求出在(a，b)內(nèi)使導(dǎo)數(shù)為0的點及導(dǎo)數(shù)不存在的點． ⑵ 比較三類點：導(dǎo)數(shù)不存在的點，導(dǎo)數(shù)為0的點及區(qū)間端點的函數(shù)值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的是小值． 例7 求函數(shù)f(x)＝x4－2x2＋5在[－2，2]上的最大值與最小值． 解： ＝4x3－4x，令＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，均在(－2，2)內(nèi)． 計算f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝4，f(－2)＝13，f(2)＝13． 通過比較，可見f(x) 在[－2，2]上的最大值為13，最小值為4． 六、應(yīng)用問題 例8 用總長14.8m的鋼條制成一個長方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積. 分析：本小題主要考查應(yīng)用所學導(dǎo)數(shù)的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識． 解：設(shè)容器底面短邊長為m，則另一邊長為 m，高為 ． 由和，得， 設(shè)容器的容積為，則有 ． 即， 令，有， 即，解得，（不合題意，舍去）. 當x＝1時，y取得最大值，即， 這時，高為. 答：容器的高為1.2m時容積最大，最大容積為．