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2020年中考數(shù)學考點總動員 第05講 二次根式(含解析)

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1、第05講 二次根式 1.二次根式的概念 一般地,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 二次根式有意義的條件:_a≥0 . 2.二次根式的性質(zhì) 3.最簡二次根式 必須滿足兩個條件 4.同類二次根式 幾個二次根式化為最簡二次根式后,如果被開方數(shù)相同,那么這幾個二次根式叫同類二次根式. 5.二次根式的運算 (1)加減法:先將二次根式化為最簡二次根式,再將同類二次根式進行加減運算. (2)乘法:·=; (3)除法:=__. 6.二次根式的估值 二次根式的估算,一般是對根式平方,找出與平方后所得數(shù)字相鄰的兩個開得盡方的整數(shù),對其進行開方,就可以確定這個根式在哪兩個整

2、數(shù)之間. 【高頻考點】 考點1:二次根式的概念 【例題1】(廣東省廣州市,12,3分)代數(shù)式有意義時,實數(shù)x的取值范圍是 . 【答案】x≤9 【提示】要使二次根式有意義,只需滿足被開方數(shù)是非負數(shù)即可.通過解不等式,即得實數(shù)x的取值范圍. 【解答】解:∵代數(shù)式有意義,∴9-x≥0,解得x≤9.故答案為x≤9. 歸納:式子 (a≥0)叫做二次根式.(a≥0);|a|;a2;是初中階段常見的非負數(shù)形式,若幾個非負數(shù)的和為0,則這幾個數(shù)均為0,據(jù)此可求某些字母的值. 考點2:二次根式的運算 【例題2】(江蘇鹽城,19(2),4分)計算: (3-)(3+)+(2-).

3、 【提示】本題考查了二次根式的混合運算,解題的關鍵是掌握二次根式的運算法則和乘法公式,先根據(jù)平方差公式、單項式乘多項式的法則分別進行運算,再化簡. 【解答】解:原式=2+2-2=2. 點撥:二次根式的運算,若是加減運算時,先將每一項化為最簡二次根式,然后再將被開方數(shù)相同的二次根式合并;若是乘除運算時,先將被開方數(shù)相乘或相除,再將所得的數(shù)開方并化為最簡二次根式;若是混合運算時,按照先乘除,后加減,有括號的先算括號里面的順序進行計算,同時注意運算的結(jié)果必須是最簡二次根式. 考點3:二次根式與其它知識的綜合應用 【例題:3】(2018?棗莊)我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一

4、書中,給出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求積公式,即如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,則該三角形的面積為S=.現(xiàn)已知△ABC的三邊長分別為1,2,,則△ABC的面積為  ?。? 【答案】1 【解析】:∵S=, ∴△ABC的三邊長分別為1,2,,則△ABC的面積為: S==1, 故答案為:1. 【自我檢測】 一、選擇題: 1. (2018?揚州)使有意義的x的取值范圍是(  ) A.x>3 B.x<3 C.x≥3 D.x≠3 【答案】C 解:由題意,得 x﹣3≥0, 解得x≥3, 故選:C. 2. (2018?綿陽)等式=成立的x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為( 

5、?。? A. B. C. D. 【答案】B 【解答】由題意可知: 解得:x≥3 故選:B. 3. (2019?湖南益陽?4分)下列運算正確的是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解答】解:選項A、=2,故本選項錯誤; 選項B、,故本選項錯誤; 選項C、與不是同類二次根式,不能合并,故本選項錯誤; 選項D、根據(jù)二次根式乘法運算的法則知本選項正確. 故選D. 4. (2019?湖南湘西州?4分)下面是一個簡單的數(shù)值運算程序,當輸入x的值為16時,輸出的數(shù)值為 3 .(用科學計算器計算或筆算). 【答案】3 【解答】解:解:由題圖可得代數(shù)式為. 當x=

6、16時,原式=÷2+1=4÷2+1=2+1=3. 故答案為:3 5. (2019?湖北宜昌?3分)古希臘幾何學家海倫和我國宋代數(shù)學家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式,稱為海倫﹣秦九韶公式:如果一個三角形的三邊長分別是a,b,c,記p=,那么三角形的面積為S=.如圖,在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊分別記為a,b,c,若a=5,b=6,c=7,則△ABC的面積為( ) A.6 B.6 C.18 D. 【答案】A 【解答】解:∵a=7,b=5,c=6. ∴p==9, ∴△ABC的面積S==6; 故選:A. 二、填空題: 6. 化簡= x?。▁≥0)

7、 【答案】x 解析:原式==x. 故答案為:x 7. (2018?廣州)如圖,數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a,化簡:a+=   . 【答案】2 【解答】由數(shù)軸可得: 0<a<2, 則a+ =a+ =a+(2﹣a) =2. 故答案為:2. 8. (2018·廣東廣州·3分)如圖,數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a,化簡: =________ 【答案】2 【解析】解:由數(shù)軸可知: 0

8、+=1+(﹣), … 請利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,計算: +++…+, 其結(jié)果為 ?。? 【答案】2018. 【解答】解:+++…+ =1+(1﹣)+1+(﹣)+…+1+(﹣) =2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣ =2018, 故答案為:2018. 三、解答題: 10. (2018·徐州)已知x=+1,求x2-2x-3的值. 解:原式=(x-3)(x+1),將x=+1代入到上式,則可得, 原式=(+1-3)×(+1+1)=(-2)×(+2)=-1. 11. 2018?陜西)計算:(﹣)×(﹣)+|﹣1|+(5﹣2π)0 解:原式=+﹣1+1 =3+﹣1+1 =4. 1

9、2. 小明在學習二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如:3+2=(1+)2,善于思考的小明進行了以下探索:設a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均為整數(shù)),則有a+b=m2+2n2+2mn,所以a=m2+2n2,b=2mn,這樣小明就找到了一種把部分a+b的式子化為平方式的方法. 請你仿照小明的方法探索并解決下列問題: (1)當a,b,m,n均為正整數(shù)時,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分別表示a,b,得a= ,b= ; (2)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均為正整數(shù),求a的值. 解:由題意,得 ∵4=2mn,且m,n為正整數(shù), ∴m=2,n=1或m=1,n=2. ∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13. 7

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