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2014年北京高考數(shù)學試卷分析 及2015年備考建議 ——學大教育北京分公司教研部 韓乾 2014年的北京高考塵埃落定.縱觀歷年北京數(shù)學試卷，不難發(fā)現(xiàn)今年的高考試卷延續(xù)了近幾年高考數(shù)學命題的風格——題干大氣，內(nèi)容豐富，題目難度適中，區(qū)分度較好.考試題目依然突出數(shù)學主干知識（函數(shù)與導數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計與概率、立體幾何、解析幾何等），整體比以往更偏重于對“三基”，即基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的考查.部分試題較往年有一定的創(chuàng)新性變化，考查了學生的數(shù)學能力.下面從幾個方面對北京高考數(shù)學試卷進行分析. 總體分析 一. 試卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定 從試卷結(jié)構(gòu)看，2014年北京高考試卷與往年一致： 北京高考數(shù)學試卷結(jié)構(gòu) 題型 題目序號 分值 第I卷 選擇題 1~8 40 第II卷 填空題 9~14 30 解答題 15~20 80 試卷結(jié)構(gòu)這一點也符合2014年北京高考考試說明的要求. 二. 注重數(shù)學能力 2014北京卷體現(xiàn)了高考說明中對數(shù)學學科的要求：注重對通性通法的考查，注重對數(shù)學思維能力(空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、分析問題和解決問題的能力)的考查. 北京高考數(shù)學試題總能使人感到清新自然，因為北京高考注重數(shù)學思維能力的考查.因此考生需要跳出“術(shù)數(shù)”的數(shù)學學習怪圈，不能用數(shù)學知識記憶、數(shù)學技巧來代替數(shù)學能力.正因為如此，北京市高考數(shù)學近幾年連續(xù)涌現(xiàn)出很多“好題”，比如2010年解析幾何大題、2011年第8題(整點個數(shù)范圍)、2012年與2013年概率統(tǒng)計大題、同時還有近些年動態(tài)變化問題等等.例如2013年的解三角形大題，過程簡單，思維能力要求卻比較高，讓人回味無窮.今年的考題在形式上很有創(chuàng)新，考生需要在考試中冷靜處理分析. 三. 命題難度穩(wěn)中有升 從整體難度看，2014北京市高考理科數(shù)學試題難度有一定上升，而文科數(shù)學難度略微下降.文科數(shù)學的難度變化主要體現(xiàn)在——以往壓軸題考查學生對數(shù)學知識的綜合應(yīng)用能力，而今年卻因為前面加入了一個數(shù)列解答題，使得以往的壓軸題被常規(guī)的導數(shù)題；理科數(shù)學的難度變化是因為個別題目的命題方式推陳出新，使得學生解決問題時不太順手導致的.客觀而言，大多數(shù)題目難度與2013年基本持平. 近年北京高考數(shù)學平均分 2009 2010 2011 2012 2013 2014 理 102 92 101 95 101 97 文 90 92 93 88 88 101 2014北京卷試題延續(xù)了基礎(chǔ)試題與中檔試題占大多數(shù)的特點.雖然今年推陳出新，個別試題使部分同學臨場發(fā)揮受影響，但這反過來說明平時的復習教學還有工作做的不到位，有墨守成規(guī)的傾向.這需要在今后的教學工作中做出相應(yīng)的調(diào)整. 試題分析 試卷題目所對應(yīng)知識點情況表： 題型 題號 主要考查知識（理） 主要考查知識（文） 分值 選 擇 題 1 集合 集合 5 2 函數(shù) 函數(shù) 5 3 參數(shù)方程 平面向量 5 4 程序框圖 程序框圖 5 5 數(shù)列 不等式 5 6 線性規(guī)劃 函數(shù) 5 7 立體幾何 圓 5 8 實際應(yīng)用 實際應(yīng)用 5 填 空 題 9 復數(shù) 復數(shù) 5 10 平面向量 圓錐曲線 5 11 圓錐曲線 三視圖 5 12 數(shù)列 解三角形 5 13 排列組合 線性規(guī)劃 5 14 三角函數(shù) 實際應(yīng)用 5 解 答 題 15 解三角形 數(shù)列 13 16 概率統(tǒng)計 三角函數(shù) 13 17 立體幾何 立體幾何 14 18 導數(shù) 概率統(tǒng)計 13 19 圓錐曲線 圓錐曲線 14 20 序列 導數(shù) 13  典型問題分析 理科 5.（5分） 設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“”為遞增數(shù)列的( ) A、充分且不必要條件 B、必要且不充分條件 C、充分必要條件 D、既不充分也不必要條件 正確答案：D 解析： 【知識點】等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的單調(diào)性，充要條件的概念. 【考查能力】主要考察學生對于等比數(shù)列的單調(diào)性的把控能力，以及對充要條件的理解. 【思路方法】當首項是負數(shù)，公比時，例如：-1，-2，-4，-8等，這是一個遞減數(shù)列，所以不是充分條件；同樣，當數(shù)列是遞增數(shù)列，各項都是正數(shù)時，成立，當各項都是負數(shù)時，則不成立，例如：-16，-8，-4，-2，-1,等，所以是既不充分也不必要條件，答案是D. 【得分點】正確得全分，錯誤得0分 6.（5分） 若滿足且的最小值為﹣4.則的值為( ) A、2 B、﹣2 C、 D、 正確答案：D 解析： 【知識點】線性目標區(qū)域，目標函數(shù)的最值； 【考查能力】主要考察學生對于線性規(guī)劃的靈活應(yīng)用能力. 【思路方法】 【得分點】正確得全分，錯誤得0分 7.（5分） 在空間角坐標系中，已知，若，，分別表示三棱錐在，，坐標平面上的正投影圖形的面積.則 ( ) A、 B、且 C、且 D、且 正確答案：D 解析： 【知識點】空間坐標系，三視圖. 【考查能力】主要考察學生對三視圖的靈活應(yīng)用，以及空間坐標系和投影的知識. 【思路方法】根據(jù)已知條件可知， 【得分點】正確得全分，錯誤得0分 8.（5分） 學生的語文、數(shù)學成績均被評定為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種．若學生甲的語文、數(shù)學成績都不低于學生乙，且至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”.如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同．數(shù)學成績也相同的兩位學生，那么該組學生最多( ) A、2人 B、3人 C、4人 D、5人 正確答案：B 解析： 【知識點】排列. 【考查能力】主要考察學生的讀題理解能力. 【思路方法】 【得分點】正確得全分，錯誤得0分 14.（5分） 設(shè)函數(shù)．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為______ 正確答案： 解析： 【知識點】正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)； 【考查能力】主要考察學生對正弦型函數(shù)的圖像以及單調(diào)性的綜合應(yīng)用，周期的確定； 【思路方法】 【得分點】正確得全分，錯誤得0分. 16.（13分） 李明在10場籃球此賽中的投籃情況如下(假設(shè)各場比賽相互獨立)： (1)從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0．6的概率． (2)從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場求李明的投籃命中率一場超過0．6，一場不超過0．6的概率． (3)記是表中10個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機選擇一場，記為李明在這場比賽中的命中次數(shù)，比較與的大小(只需寫出結(jié)論)． 正確答案： 解析： 【知識點】古典概型的計算，互斥事件有一個發(fā)生的概率，數(shù)學期望和平均值的關(guān)系. 【考查能力】本題考查學生對古典概型和互斥事件有一個發(fā)生的概率的計算，以及對數(shù)學期望和平均值的認識.  文科 6.（5分） 已知函數(shù).在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是 A、（0,1） B、（1,2） C、（2,4） D、（4，+∞） 正確答案：C 解析：有零點存在定理可知 7.（5分） 已知圓和兩點.若圓C上存在點P，使得∠APB＝90o，則m的最大值為 A、7 B、6 C、5 D、4 正確答案：B 解析：以AB為直徑作圓當和已知圓內(nèi)切時m最大m=5+1=6 8.（5分） 加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系（a,b,c是常數(shù)），下圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為 A、3.50分鐘 B、3.75分鐘 C、4.00分鐘 D、4.25分鐘 正確答案：B 解析：把（3,0.7）（4,0.8）（5，0.5）代入函數(shù)關(guān)系解得a=-0.2,b=1.5代入二次函數(shù)的對稱軸方程為=3.75 13.（5分） 若x，y滿足 則的最小值為______ 正確答案：1 解析： 由圖像可知A點是使目標函數(shù) 取得最小值的點，代入得1 14.（5分） 顧客請一位工藝師把A，B兩件玉石原料制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項任務(wù)，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客.兩件原料每道工序所需時間（單位：工作日）如下： 則最短交貨期為_____個工作日. 正確答案：42 解析： 首先徒弟加工B需6，然后工藝師加工B需21，同時徒弟加工A，最后工藝師加工A需15，所以共需6+21+15=42 20.（13分） 已知函數(shù). （4分）求在區(qū)間上的最大值； 正確答案： （I）由 令 因為 所以在區(qū)間[-2,1]上的最大值為 解析： 考查導數(shù)及導數(shù)的應(yīng)用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值，注意最值需要比較大小，當已知點不是切點是要設(shè)出切點坐標.利用導數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點橫坐標的方程，方程有幾個不同的實根切線就有幾條，對方程進行研究，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)與x軸的交點，極值和0的大小關(guān)系的問題 （4分）若國點P（1，t）存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍； 正確答案： （II）設(shè)過點的直線與曲線相切于點， 則，且切線的斜率為 所以切線方程為 因此 整理得 設(shè) 則過點p(1,t)存在3條直線與曲線相切，等價于有3個不同的零點 的情況如下 所以，是的極大值，是的極小值 有3個零點即 綜上所述t的取值范圍是（-3，-1） 解析： 考查導數(shù)及導數(shù)的應(yīng)用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值，注意最值需要比較大小，當已知點不是切點是要設(shè)出切點坐標.利用導數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點橫坐標的方程，方程有幾個不同的實根切線就有幾條，對方程進行研究，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)與x軸的交點，極值和0的大小關(guān)系的問題 （5分）問過點A（﹣1,2），B（2,10），C（0,2）分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結(jié)論） 正確答案： (III)過點存在3條直線與曲線相切 過點存在2條直線與曲線相切 過點存在1條直線與曲線相切 解析： 考查導數(shù)及導數(shù)的應(yīng)用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值，注意最值需要比較大小，當已知點不是切點是要設(shè)出切點坐標.利用導數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點橫坐標的方程，方程有幾個不同的實根切線就有幾條，對方程進行研究，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)與x軸的交點，極值和0的大小關(guān)系的問題  2015年備考建議 根據(jù)2014年北京高考數(shù)學試卷的特點，2015年的數(shù)學復習在按部就班的完成三輪復習的同時，還應(yīng)注意以下兩個方面. 1.提高對數(shù)學知識的認識.很多高三同學的數(shù)學復習容易走進一個誤區(qū)，以為數(shù)學復習就是做數(shù)學題、總結(jié)題型.其實不然，數(shù)學是培養(yǎng)人認識并解決問題能力的一門學科.掌握數(shù)學知識、提高對數(shù)學知識的認識靠的不僅僅是“刷題”，而是在“刷題”的過程中反思所用的數(shù)學知識，理解所學習的知識是如何在解決問題中產(chǎn)生作用.刷題、總結(jié)題型只是學習數(shù)學知識的必要條件，而非充分條件.在學習中反思，在反思中學習，這樣對數(shù)學知識的認識才能提高，從而數(shù)學成績得到提高. 2.注重數(shù)學的應(yīng)用性.這是多年以來，高考數(shù)學改革的一個重要方向，也是高考命題人在出題時候的一個重要參考方向.北京卷今年在文科和理科都出現(xiàn)了應(yīng)用題，不是傳統(tǒng)的應(yīng)用題，而是更多的把數(shù)學和生活實踐結(jié)合起來.比如今年爆米花與函數(shù)的問題，還有NBA總決賽主客場的問題，多位同學比較兩個學科的成績，誰比誰好，誰不比誰差，這樣一種題目，其實不僅需要考查同學們對于數(shù)學模型的建立和解決能力，更多考察的是我們?nèi)リP(guān)注生活、了解生活和數(shù)學這樣一種關(guān)系.對于平時而言是一種重要的學習習慣，對于考試來說是一種重要的考察方式，接下來的復習過程中，同學們一定要多加關(guān)注. 希望此文能對參加2015年高考的同學提供幫助！