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河北省石家莊市第二中學2017屆高三下學期模擬聯(lián)考 數(shù)學（理科） 一. 選擇題（每小題5分，共60分） 1.設(shè)集合 ,,則 A. B. C. D. 2.若復數(shù)滿足,則 A. B. C. D. 1 3.已知點在角終邊的延長線上，且，則的坐標為 A. B. C. D. 4.若,則 A. B. C. D. 5. 根據(jù)右邊的程序框圖，當輸入為時，輸出的為28，則判斷框中 的條件可以是 A． B． C． D． 6.在《九章算術(shù)》中有一個古典名題“兩鼠穿墻”問題：今有垣厚五尺，兩鼠對穿． 大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？大意是有 厚墻五尺，兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻．大老鼠第一天進一尺，以后每天 加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半．問幾天后兩鼠相遇？ A.． 　　 　B．　　　　C．　　　 　D． 7.已知函數(shù) ，若都是從 任取的一個數(shù)，則滿足時的概率 A. B. [來 C. D. 8.函數(shù)圖象上的某點可以由函數(shù)上的某點向左平移個單位長度得到，則的最小值為 A. B. [來源:Z 。xx。 k.Com]C. D. 9. 如圖所示，網(wǎng)格紙上每個小格都是邊長為1的正方形，粗線畫出的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 A． B． C． D． 10.某計算器有兩個數(shù)據(jù)輸入口一個數(shù)據(jù)輸出口，當分別輸入正整數(shù)1時，輸出口輸出2，當輸入正整數(shù)，輸入正整數(shù)時，的輸出是 ；當輸入正整數(shù)，輸入正整數(shù)時，的輸出是 ；當輸入正整數(shù)，輸入正整數(shù)時，的輸出是.則當輸入60，輸入50時，的輸出是 A. B. [來源:Z 。xx。 k .Com]C. D. 11.已知直線與雙曲線C：交于兩點,且中點的橫坐標為過且與直線垂直的直線過雙曲線C的右焦點，則雙曲線的離心率為 A． B. C. D. 12. 已知，若關(guān)于的方程恰好有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為 A. B. C. D. 二、填空題（每小題5分，共20分） 13.已知二項式展開式中，則項的系數(shù)為 ． 14.已知向量，，則= ． 15.已知函數(shù)f(x)=，無論t取何值，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，+∞) 總是不單調(diào)．則a的取值范圍是 ． 16.已知中，角為直角，是邊上一點，是上一點，且，,則 ． 三.解答題 17．（本小題滿分12分） 已知數(shù)列前項和為，且滿足，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）令，為的前項和，求證：． 18. （本小題滿分12分） 已知中，分別為邊上的兩個三等分點，為底邊上的高，，如圖1.將分別沿折起，使得重合于點，中點為，如圖2. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的大小. 19. （本小題滿分12分） 某中學高二年級開設(shè)五門大學先修課程，其中屬于數(shù)學學科的有兩門，分別是線性代數(shù)和微積分，其余三門分別為大學物理，商務英語以及文學寫作，年級要求每名學生只能選修其中一科，該校高二年級600名學生各科選課人數(shù)統(tǒng)計如下表： 選修課程 線性代數(shù) 微積分 大學物理 商務英語 文學寫作 合計 選課人數(shù) 180 60 600 其中選修數(shù)學學科的人數(shù)所占頻率為0.6.為了了解學生成績與選課情況之間的關(guān)系，用分層抽樣的方法從這600名學生中抽取10人進行分析. （Ⅰ）從選出的10名學生中隨機抽取3人，求這3人中至少2人選修線性代數(shù)的概率； （Ⅱ）從選出的10名學生中隨機抽取3人，記為選擇線性代數(shù)人數(shù)與選擇微積分人數(shù)差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望. 20. （本小題滿分12分） 已知橢圓：的離心率為，短軸長為，右焦點為． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）若直線過點且與橢圓有且僅有一個公共點，過點作直線交橢圓與另一點. ①證明：當直線與直線的斜率，均存在時， 為定值. ②求面積的最小值． 21. （本小題滿分12分） 已知函數(shù)在處的切線與直線垂直. （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)的最大值. 請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分． 22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別是（是參數(shù)）和(φ為參數(shù))．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． （Ⅰ）求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程； （Ⅱ）射線OM：θ＝與曲線C1的交點為O，P，與曲線C2的交點為O，Q，求|OP||OQ|的最大值． 23. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a. （Ⅰ）當a＝3時，求不等式f(x)≤6的解集； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|.當x∈R時，f(x)＋g(x)≥，求a的取值范圍.學 數(shù)學（理科）參考答案 一：選擇題 1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8.B 9.A 10.D 11.B 12.C 10.【解析】依題記為 ， 將 代入得483 11. 【解析】設(shè) 由得 又 代入得， 即，有，得. 12. 【解析】令 ，則方程有兩個根 ， 對于 求導分析畫出函數(shù)圖象，關(guān)于的方程恰好有4個不相等的實數(shù)根， 轉(zhuǎn)化為 有一個，有3個，則 二：填空題 13. 240 14. 15. 16. 2 15.【解析】分析三次函數(shù)在 是增函數(shù)，若 ，總存在 ，使得，這樣 為增函數(shù)，要保證無論t取何值，函數(shù)f(x)在 總是不單調(diào)，故只需,即 . 16.【解析】設(shè) 則 在 中，正弦定理 ； 在，正弦定理 ，從而 三：解答題 17.解：（Ⅰ）當時，可得 又因為，代入表達式可得，滿足上式 所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， 故：=. （Ⅱ），= ==. 18.解: （Ⅰ）因為是的三等分點，所以, 所以△是等邊三角形，又因為是的中點, 所以. 因為,,,所以平面, 又,所以平面; 平面, 所以. 因為, 所以平面. 因為平面, 所以. （Ⅱ）以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且 與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標系. 因為平面, 所以為直線與平面所成角. 由題意得, 即, 從而. 不妨設(shè), 又, 則, . 故,, , . 于是, ,,, 設(shè)平面與平面的法向量分別為, 由 得 令,得, 所以. 由 得 令,得, . 所以. 所以. 所以二面角的平面角大小為. 19.解：因為選修數(shù)學學科人數(shù)所占總?cè)藬?shù)頻率為0.6，即，可得：， 又，所以，則根據(jù)分層抽樣法： 抽取的10人中選修線性代數(shù)的人數(shù)為：人；選修微積分的人數(shù)為：人；選修大學物理的人數(shù)為：人；選修商務英語的人數(shù)為：人；選修文學寫作的人數(shù)為：人； （Ⅰ）現(xiàn)從10人中選3人共有種選法，且每種選法可能性都相同，令事件選中的3人至少兩人選修線性代數(shù)，事件選中的3人有兩人選修線性代數(shù)，事件選中的3人都選修線性代數(shù)，且為互斥事件， （Ⅱ）記為3人中選修線性代數(shù)的人數(shù)，的可能取值為0,1,2,3，記為3人中選修微積分的人數(shù)；的可能取值也為0,1,2,3則隨機變量的可能取值為0,1,2,3； ; ， ; 所以的分布列為： 0 1 2 3 所以 20. 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為由題意可得：解得 故橢圓方程為：. （Ⅱ）①由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程：，因為點在直線上，所以，聯(lián)立直線與橢圓方程： 可得：， 又直線與橢圓只有一個公共點，故，即； 由韋達定理，可得點坐標 因為直線過橢圓右焦點為F（2,0），所以直線的斜率； 而直線的斜率，所以： ②因為所以，即; 所以三角形的面積 ; ，由直線的斜率為，可得直線的方程：，與橢圓方程聯(lián)立可得： 所以，令則，單調(diào)遞增，故當且僅當時成立. 21. （Ⅰ）由題意可得：，可得：； 又，所以； 當時，，單調(diào)遞增； 當時，，單調(diào)遞減；故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為. （Ⅱ），， 因為是的兩個極值點，故是方程的兩個根，由韋達定理可知：； ,可知 ,又 令 ,可證 在 遞減,由 ,從而可證 . 所以== 令，， 所以單調(diào)減，故，所以，即. 22. 試題解析：（Ⅰ）的普通方程為，的極坐標方程為. （Ⅱ）由（1）可得的極坐標方程為，與直線θ＝α聯(lián)立可得： ，即,同理可得 所以 ，在上單調(diào)遞減，所以 23. 試題解析：（Ⅰ）當時，. 解不等式，得， 因此，的解集為. （Ⅱ）當時， , 當時等號成立，所以當時，等價于. ① 當時，①等價于，解得； 當時，①等價于，解得， 所以的取值范圍是.