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高三數學北師大版理一輪課后限時集訓:53 橢圓及其性質 Word版含解析

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1、 橢圓及其性質 建議用時:45分鐘 一、選擇題 1.(2019·北京高考)已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,則(  ) A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b B [由題意,=,得=,則=, ∴4a2-4b2=a2,即3a2=4b2.故選B.] 2.已知方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,則實數k的取值范圍是(  ) A. B.(1,+∞) C.(1,2) D. C [由題意得 解得1<k<2.故選C.] 3.橢圓C的一個焦點為F1(0,1),并且經過點P,則橢圓C的標準方程為(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1

2、D.+=1 D [由題意可設橢圓C的標準方程為+=1(a>b>0),且另一個焦點為F2(0,-1),所以2a=|PF1|+|PF2|=+=4. 所以a=2,又c=1, 所以b2=a2-c2=3. 故橢圓C的標準方程為+=1.故選D.] 4.以橢圓的兩個焦點為直徑的端點的圓與橢圓交于四個不同的點,順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率為(  ) A.- B.-1 C. D. B [設橢圓的兩個焦點為F1,F2,圓與橢圓交于A,B,C,D四個不同的點,設=2c,則=c,=c.由橢圓定義,得2a=|DF1|+|DF2|=c+c,所以e===-1,故選B.

3、] 5.已知△ABC的頂點B,C在橢圓+y2=1上,頂點A是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦點在BC邊上,則△ABC的周長是(  ) A.2 B.6 C.4 D.12 C [由橢圓的方程得a=.設橢圓的另一個焦點為F,則由橢圓的定義得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周長為|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a=4.] 二、填空題 6.已知橢圓+=1(a>b>0)的一個焦點是圓x2+y2-6x+8=0的圓心,且短軸長為8,則橢圓的左頂點為________.

4、 (-5,0) [∵圓的標準方程為(x-3)2+y2=1,∴圓心坐標為(3,0),∴c=3.又b=4,∴a==5.∵橢圓的焦點在x軸上,∴橢圓的左頂點為(-5,0).] 7.(2019·全國卷Ⅲ)設F1,F2為橢圓C:+=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限,若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標為____________. (3,) [不妨令F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點,根據題意可知c==4.因為△MF1F2為等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.設M(x,y),則得又因為點M在第一象限,所以M的坐標為(3,).] 8.已知F1,F2是橢圓的

5、兩個焦點,滿足1·2=0的點M總在橢圓內部,則橢圓離心率的取值范圍是________.  [滿足1·2=0的點M的軌跡是以F1F2為直徑的圓,若其總在橢圓內部,則有c<b,即c2<b2,又b2=a2-c2,所以c2<a2-c2, 即2c2<a2,所以e2<,又因為0<e<1, 所以0<e<.] 三、解答題 9.已知點P是圓F1:(x+1)2+y2=16上任意一點(F1是圓心),點F2與點F1關于原點對稱.線段PF2的垂直平分線m分別與PF1,PF2交于M,N兩點.求點M的軌跡C的方程. [解] 由題意得F1(-1,0),F2(1,0),圓F1的半徑為4, 且|MF2|=|MP|,

6、從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4>|F1F2|, 所以點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓, 其中長軸長為4,焦距為2,則短半軸長為, 所以點M的軌跡方程為+=1. 10.(2019·全國卷Ⅱ)已知F1,F2是橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點,P為C上的點,O為坐標原點. (1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率; (2)如果存在點P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍. [解] (1)連接PF1(圖略),由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=

7、c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的離心率為e==-1. (2)由題意可知,滿足條件的點P(x,y)存在當且僅當 |y|·2c=16,·=-1,+=1, 即c|y|=16, ① x2+y2=c2, ② +=1. ③ 由②③及a2=b2+c2得y2=. 又由①知y2=,故b=4. 由②③及a2=b2+c2得x2=(c2-b2), 所以c2≥b2,從而a2=b2+c2≥2b2=32, 故a≥4.當b=4,a≥4時,存在滿足條件的點P. 所以b=4,a的取值范圍為[4,+∞). 1.已知橢圓C:+=1,M,N是坐標平面內的兩點,且M與C的焦點不重

8、合.若M關于C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在C上,則|AN|+|BN|=(  ) A.4 B.8 C.12 D.16 B [設MN的中點為D,橢圓C的左、右焦點分別為F1,F2,如圖, 連接DF1,DF2,因為F1是MA的中點,D是MN的中點,所以F1D是△MAN的中位線,則|DF1|=|AN|,同理|DF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),因為D在橢圓上,所以根據橢圓的定義知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.] 2.2016年1月14日,國防科工局宣布,“嫦娥四號”任務已經通過了探月工程重大專項領導小組審議通

9、過,正式開始實施.如圖所示,假設“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉移軌道飛向月球后,在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長,給出下列式子: ①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③<;④c1a2>a1c2. 其中正確式子的序號是(  ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ D [觀察圖形可知a1+c1>a2+c2,即①式不正確;a1-c1=a2-c2=|PF|,即②式正確;由a1-c

10、1=a2-c2>0,c1>c2>0知,<,即<,從而c1a2>a1c2,>,即④式正確,③式不正確.故選D.] 3.(2019·三明模擬)已知△ABC的頂點A(-3,0)和頂點B(3,0),頂點C在橢圓+=1上,則=________. 3 [由橢圓方程+=1,得長軸長2a=10,短軸長2b=8,焦距2c=6,則頂點A,B為橢圓的兩個焦點. 在△ABC中,|AB|=6,|BC|+|AC|=10, 由正弦正理可得,===3.] 4.(2109·山西太原一模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,A,B分別是其左、右頂點,點P是橢圓C上任一點,且△PF1F2的周長為

11、6,若△PF1F2面積的最大值為. (1)求橢圓C的方程; (2)若過點F2且斜率不為0的直線交橢圓C于M,N兩個不同的點,證明:直線AM與BN的交點在一條定直線上. [解] (1)由題意得 ∴∴橢圓C的方程為+=1. (2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),設直線MN的方程為x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 由得(4+3m2)y2+6my-9=0, ∴y1+y2=-,y1y2=-,∴my1y2=(y1+y2), ∵直線AM的方程為y=(x+2),直線BN的方程為y=(x-2), ∴(x+2)=(x-2),∴===3, ∴x=4,

12、∴直線AM與BN的交點在直線x=4上. 1.(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為(  ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 B [設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0).由橢圓的定義可得|AF1|+|AB|+|BF1|=4a. ∵|AB|=|BF1|,|AF2|=2|F2B|, ∴|AB|=|BF1|=|AF2|, ∴|AF1|+3|AF2|=4a. 又∵|AF1|+|AF2|=2a, ∴|AF1|=|AF2|=a, ∴點

13、A是橢圓的短軸端點,如圖. 不妨設A(0,-b), 由F2(1,0),=2, 得B. 由點B在橢圓上, 得+=1, 得a2=3,b2=a2-c2=2. ∴橢圓C的方程為+=1.故選B.] 2.如圖是數學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型(稱為“Dandelin雙球”);在圓錐內放兩個大小不同的小球,使得它們分別與圓錐的側面、截面相切,設圖中球O1,球O2的半徑分別為3和1,球心距離=8,截面分別與球O1,球O2切于點E,F,(E,F是截口橢圓的焦點),則此橢圓的離心率等于________.  [如圖,圓錐面與其內切球O1,O2分別相切與B,A,連接O1B,O2A則O1B⊥AB,O2A⊥AB.過O1作O1D⊥O2A垂直于D,連接O1F,O2E,EF交O1O2于點C.設圓錐母線與軸的夾角為α,截面與軸的夾角為β.則在Rt△O1O2D中,DO2=3-1=2,O1D==2 ∴cos α===. ∵O1O2=8,∴CO2=8-O1C. ∵△EO2C~△FO1C,∴=, 解得O1C=2. ∴CF===, 即cos β==.則橢圓的離心率e===.]

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