《六年級(jí)上冊(cè)《趣味數(shù)學(xué)》匯總.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《六年級(jí)上冊(cè)《趣味數(shù)學(xué)》匯總.doc（62頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

目 錄 一、分?jǐn)?shù)乘法——找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系……………1 二、找規(guī)律（一）……………………………5 三、找規(guī)律（二）……………………………9 四、量率對(duì)應(yīng)…………………………………13 五、趣味探索…………………………………17 六、組合圖形巧求面積（一）………………21 七、組合圖形巧求面積（二）………………25 八、工程問(wèn)題…………………………………29 九、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用1…………………33 十、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用2…………………37 十一、商業(yè)中的數(shù)學(xué)…………………………41 十二、有趣的數(shù)學(xué)故事………………………45 十三、有趣的數(shù)學(xué)題…………………………49 十四、分?jǐn)?shù)乘法——舉例列舉法……………53 十五、分?jǐn)?shù)乘法——倒數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)……57 分?jǐn)?shù)乘法——找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1、會(huì)找單位“1”，明確分?jǐn)?shù)的意義，從而準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系。 2、比誰(shuí)多，比誰(shuí)少的問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的思維水平，讓學(xué)生跳一跳摘到桃子，進(jìn)一步深化對(duì)單位“1”的理解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望和興趣。 3、拓展練習(xí)、培養(yǎng)能力，實(shí)際的應(yīng)用才能鞏固學(xué)生解決這類問(wèn)題的能力，在練習(xí)層次的設(shè)計(jì)上，使學(xué)生掌握解決問(wèn)題的方法。 一、快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 實(shí)驗(yàn)小學(xué)去年有24個(gè)班級(jí)，今年擴(kuò)大規(guī)模，班級(jí)數(shù)比去年增加。 你能提出什么問(wèn)題？ 二、趣味探索 今年增加了多少個(gè)班級(jí)？ 表示的意義是…… 單位“1” 是…… 數(shù)量關(guān)系是：去年的班級(jí)數(shù)=今年比去年增加的班級(jí)數(shù)。 我會(huì)列算式：24=9（個(gè)）。 試一試 今年有多少個(gè)班級(jí)？ 三、大顯身手 1、先說(shuō)說(shuō)各個(gè)分?jǐn)?shù)的意義，再把數(shù)量關(guān)系式補(bǔ)充完整。 （1）皮球的個(gè)數(shù)比籃球多。 （ ）的個(gè)數(shù)=（ ）的個(gè)數(shù) （2）實(shí)際用水量比原計(jì)劃節(jié)約。 （ ）用水量=（ ）用水量 2、一件上衣，原價(jià)63元，現(xiàn)在的價(jià)錢比原來(lái)降低了。降價(jià)多少元？ 3、小紅有28張郵票，小明的郵票比小紅多。小明比小紅多多少?gòu)堗]票？ 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 分?jǐn)?shù)的由來(lái) 200多年前，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，在《通用算術(shù)》一書中說(shuō)，要想把7米長(zhǎng)的一根繩子分成三等份是不可能的，因?yàn)檎也坏揭粋€(gè)合適的數(shù)來(lái)表示它．如果我們把它分成三等份，每份是米．像 就是一種新的數(shù)，我們把它叫做分?jǐn)?shù)。 為什么叫它分?jǐn)?shù)呢？分?jǐn)?shù)這個(gè)名稱直觀而生動(dòng)地表示這種數(shù)的特征．例如，一只西瓜四個(gè)人平均分，不把它分成相等的四塊行嗎？從這個(gè)例子就可以看出，分?jǐn)?shù)是度量和數(shù)學(xué)本身的需要——除法運(yùn)算的需要而產(chǎn)生的。 最早使用分?jǐn)?shù)的國(guó)家是中國(guó)。我國(guó)古代有許多關(guān)于分?jǐn)?shù)的記載。 《九章算術(shù)》是我國(guó)1800多年前的一本數(shù)學(xué)專著，其中第一章《方田》里就講了分?jǐn)?shù)四則算法。 在古代，中國(guó)使用分?jǐn)?shù)比其他國(guó)家要早出一千多年．所以說(shuō)中國(guó)有著悠久的歷史，燦爛的文化。 豬八戒分桃子 一天，八戒去花果山找悟空，可偏偏不巧，大圣不在家。小猴子們熱情的招待八戒，采了山中最好吃的山桃整整100個(gè)，八戒高興的說(shuō)，“大家一起吃，大家一起吃！”可怎樣吃呢，數(shù)了數(shù)共30只猴子，八戒找個(gè)樹枝在地上左畫右畫，列起了算式，10030＝3.....1 （我笨，把100和30同時(shí)劃去一個(gè)0），八戒指著上面的3，大方的說(shuō)，“你們一個(gè)人吃3個(gè)山桃吧，瞧，我就吃那剩下的1個(gè)吧！”小猴子們很感激八戒，紛紛道謝，然后每人拿了各自的一份，從旁吃去了。 悟空回來(lái)后，小猴子們對(duì)悟空講今天八戒如何大方，如何自已只吃一個(gè)山桃，悟空看了八戒的列式，大叫，“好個(gè)呆子，多吃了山桃竟然還嘴硬，我去找他！” 哈哈，你知道八戒吃了幾個(gè)山桃？ 找規(guī)律（一） 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1.使學(xué)生通過(guò)觀察、推理等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律。 2.培養(yǎng)學(xué)生初步的觀察、推理能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)美的 意識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，幫助學(xué)生理解和掌握找數(shù)字排列規(guī)律 的一般方法。 3.讓學(xué)生在探索規(guī)律的活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn),增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心;在他人的幫助下,能及時(shí)調(diào)整自己的探索策略。 一、快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 1. 1，6，11，16……第10個(gè)數(shù)是（） 2. ，，，（），，（） 3. ，，，，（），（） 4. , ,,( ), ,( ) 二、趣味探索 1. 1，6，11，16……第10個(gè)數(shù)是（） 點(diǎn)拔：首先看這道題要是按順序那第一項(xiàng)和第二項(xiàng)，第二項(xiàng)和第三項(xiàng)很難看出他們兩者之間有什么關(guān)系，那么你會(huì)發(fā)現(xiàn)1和11,6和16感覺(jué)上有點(diǎn)規(guī)律，那么就嘗試看看第一項(xiàng)和第三項(xiàng)，第二項(xiàng)和第四項(xiàng)，也就分開(kāi)找規(guī)律，奇數(shù)項(xiàng)的規(guī)律和偶數(shù)項(xiàng)的規(guī)律，你會(huì)發(fā)現(xiàn)第一項(xiàng)與第三項(xiàng)差10，第二項(xiàng)和第四項(xiàng)也差10，也就是說(shuō)第一、三、五、七、九項(xiàng)在1的基礎(chǔ)上后一項(xiàng)比前一項(xiàng)多10，同理第二、四、六、八、十項(xiàng)在6的基礎(chǔ)上后一項(xiàng)比前一項(xiàng)也多10。 解答：題目當(dāng)中要求的是第10項(xiàng)，那么第十項(xiàng)是偶數(shù)項(xiàng)里面的，從第2項(xiàng)到第10項(xiàng)要多多少個(gè)10？應(yīng)該怎樣思考？要考慮偶數(shù)和奇數(shù)都是一半所以首先應(yīng)該102=5，偶數(shù)有五個(gè)分別是2、4、6、8、10，聯(lián)想到植樹問(wèn)題里五個(gè)數(shù)有四個(gè)空，那就是在第一個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上加四個(gè)10，就是6+10+10+10+10=46第十項(xiàng)是46. 2. ，，，（），，（） 點(diǎn)拔：首先看分?jǐn)?shù)的分母不變，分子都是除以２。也就是每一前面項(xiàng)除以2就是后面項(xiàng)，但是為了簡(jiǎn)便運(yùn)算最好是每一前面的項(xiàng)乘。這樣就不會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤。 解答：= ＝ 3. ，，，，（），（） 點(diǎn)拔：首先你會(huì)發(fā)現(xiàn)分母在前一項(xiàng)的基礎(chǔ)上乘２，分子在前一項(xiàng)的基礎(chǔ)上乘３.也就是每一前面的項(xiàng)乘等于后面的項(xiàng)。 解答：＝　　　　　　　　　＝ 4. ，,,( ), ,( )，（?。? 點(diǎn)拔：首先你會(huì)發(fā)現(xiàn)這是分子分母分別依次減小，那么就是分母是在前一項(xiàng)的基礎(chǔ)上除以3，而分子是在前一項(xiàng)的基礎(chǔ)上除以2.那要是這樣計(jì)算算到的后一項(xiàng)的時(shí)候?qū)W生會(huì)容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤分子1除以2，分母3除以3，學(xué)生會(huì)不知道除以的這個(gè)2應(yīng)該寫在什么地方，到底是分子還是放在分母上。那么下一個(gè)數(shù)就會(huì)一連錯(cuò)下去，所以比較容易理解的分母除以2就是乘，那分母除以3就是乘3，所以你不難發(fā)現(xiàn)后一項(xiàng)是在前一項(xiàng)乘后得到的。用乘法來(lái)計(jì)算學(xué)生容易接受。 所以：每一前面的項(xiàng)乘可得后面的項(xiàng). 解答：＝　　　　?。? 　　= 三、大顯身手 1. 1,2,3,4,9,8,( ) ,( ) ,81,32 2. ,,,( ), ,( ) 3. ,1, ，，（ ），（ ） 4. ，，，，（ ），（ ） 5. 觀察分析下面這串分?jǐn)?shù)的變化規(guī)律： ，，，，，，，，，，，，，，，，…… 求：是第幾個(gè)分?jǐn)?shù)？ 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 貝勃定律 有人做過(guò)一個(gè)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)人右手舉著300克重的砝碼，這時(shí)在他的左手放上305克的砝碼，他并不會(huì)覺(jué)得有多少差別。直到左手砝碼的重量加至306克時(shí)，才會(huì)覺(jué)得有些重。如果右手舉著600克砝碼，這時(shí)左手上的重量要達(dá)到612克才能感覺(jué)到重了。也就是說(shuō)，原來(lái)的砝碼越重，后來(lái)就必須加更大的量才能感覺(jué)到差別。這種現(xiàn)象稱為“貝勃定律” “貝勃定律”在生活中到處可見(jiàn)。比如，5角錢一份的晚報(bào)突然漲了50元錢，你會(huì)覺(jué)的不可思議，無(wú)法接受。但是，如果原本500萬(wàn)元的房產(chǎn)也漲了50元錢，甚至500元錢，你都會(huì)覺(jué)得價(jià)錢根本沒(méi)有變化。 精明的人會(huì)利用“貝勃定律”為自己減輕做事的阻力。 一些商家調(diào)整產(chǎn)品的價(jià)格時(shí)，他們會(huì)先小幅度上漲價(jià)格，在人們都接受了以后再大幅加價(jià)。 有經(jīng)驗(yàn)的談判專家，都會(huì)在談判臨近結(jié)束時(shí)才提出一些棘手的條件。二對(duì)方被一開(kāi)始的優(yōu)厚條件所誘惑，常常就不怎么在意之后才提出的那些條件了。 找規(guī)律（二） 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1、學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)字的循環(huán)排列規(guī)律。 2、通過(guò)教學(xué)活動(dòng)初步發(fā)展學(xué)生的想象力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、觀察、操作及歸納推理能力。 3、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)美的意識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)去創(chuàng)造美的意識(shí)；使學(xué)生知道生活中事物有規(guī)律的排列隱含著數(shù)學(xué)知識(shí)。 一、快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 1. +和 +和 發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 2. 根據(jù)=-和=-算出 +++……+ 二、趣味探索 1. +和 +和 發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 點(diǎn)拔：首先你會(huì)發(fā)現(xiàn)都是和這兩個(gè)數(shù)，而且這兩個(gè)數(shù)的分子都相同并且這兩個(gè)數(shù)的分母加起來(lái)等于他們的分子（2+7=9）不同的是前面是這兩個(gè)數(shù)的和而后面是這兩個(gè)數(shù)的乘積。這樣要找規(guī)律怎么辦？只能按照題目中給出的要加就加算出接過(guò)來(lái)：+= 要乘就乘出接過(guò)來(lái)=，那么這樣你會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)規(guī)律是這樣的：兩個(gè)分?jǐn)?shù)分子相同，兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母之和等于分子，那么這樣的兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和與這兩個(gè)分?jǐn)?shù)之積的結(jié)果是相等的。 同樣和這兩個(gè)數(shù)也是分子相同，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相加等于分子（3+5=8），計(jì)算出兩分?jǐn)?shù)的和：+= 兩分?jǐn)?shù)的積： =。規(guī)律也是這樣的： 解答：兩分?jǐn)?shù)的分子相等且等于兩分母之和那這兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加等于這兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘。 2. 根據(jù)=-和=-算出 +++……+ 點(diǎn)拔：根據(jù)已知=-，=-，你會(huì)寫出=- =- 那么 +++……+ 就等于-+-+-+……+-你會(huì)發(fā)現(xiàn)中間的減掉一個(gè)又加了一個(gè)，同樣的減掉一個(gè)又加了一個(gè)，那后面也是減掉一個(gè)后面肯定是加上一個(gè)，同樣加的前面是減掉一個(gè)所以中間的這些數(shù)你會(huì)發(fā)現(xiàn)都可以抵消掉。那么就剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)了，就是-，這樣就容易計(jì)算了。 解答：-+-+-+……+-=-= 三、大顯身手 1. -=（ ） = ( ) -= ( ) =（ ） 1. 先計(jì)算，再觀察每組數(shù)的得數(shù)，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 2. 你還能再寫幾組算式嗎？ 2. 3= +3= , 4= +4= ， 5= +5= 你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再試著寫幾組。 3. 根據(jù)==- ==- +++++++= 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 微軟的面試題 全球最大規(guī)模的電腦軟件公司微軟在招聘員工的考試中常常會(huì)出一些看似簡(jiǎn)單，卻很難回答的問(wèn)題。下面是一道微軟公司的面試題，你會(huì)給出怎樣的答案？ 為什么下水道的蓋子是圓形的而不是正方形的？ 應(yīng)聘者的回答可說(shuō)是五花八門。 有人詼諧地回答：下水道的洞口是圓形的，蓋子當(dāng)然也應(yīng)該是圓的？ 應(yīng)聘者回答：因?yàn)閳A形的洞比正方形的洞好挖。 還有人給出這樣的答案：在進(jìn)行短距離搬運(yùn)時(shí)，圓形的蓋子可以很方便地通過(guò)滾動(dòng)的方法來(lái)搬運(yùn)，而正方形的蓋子就不容易搬運(yùn)，你需要借助手推車或者由兩個(gè)人抬著走。再有一點(diǎn)就是，用圓形蓋子蓋住洞口時(shí)，不需要怎么調(diào)整就可以與洞口嚴(yán)絲合縫。 主考官認(rèn)為最好的回答是：正方形的蓋子容易掉到洞里去。 想一想，如果蓋子真的掉進(jìn)下水道的話，那么。不是發(fā)生傷害施工人員的事故，就是蓋子掉到水里，很難打撈。 為什么正方形的蓋子容易掉下去呢？這是因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線比它的邊長(zhǎng)要長(zhǎng)一些。如果把一個(gè)正方形的蓋子垂直地立起來(lái)，稍微一轉(zhuǎn)，它就會(huì)很容易掉到下水道里去。與此相反，圓的直徑都是等長(zhǎng)的，這使它很難掉到洞里去。 這個(gè)問(wèn)題是微軟最為有名的面試題。由于“曝光率”太高，微軟在面試中已經(jīng)停止使用這道題了。 量率對(duì)應(yīng) 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1.在解答分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，首先要弄清單位“1”，其次要分析具體數(shù)量與單位“1”之間的關(guān)系。再根據(jù)具體數(shù)量和實(shí)際分率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求得所求問(wèn)題。 2.使學(xué)生理解和掌握求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的應(yīng)用題的解題思路和方法。 理解分?jǐn)?shù)的含義，掌握有關(guān)分率的計(jì)算方法。 3.依據(jù)分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的遷移類推能力。是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。正確分析題里的數(shù)量關(guān)系，正確列式 一、快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 1.王師傅計(jì)劃做一批零件，第一天做了計(jì)劃的 ，第二天又做了余下的 ，這時(shí)還剩42個(gè)零件沒(méi)做，王師傅計(jì)劃做多少個(gè)零件？ 2 發(fā)電廠去年計(jì)劃發(fā)電70萬(wàn)千瓦時(shí)，結(jié)果上半年完成計(jì)劃的，下半年完成計(jì)劃的，去年超額發(fā)電多少萬(wàn)千瓦時(shí)？ 二、趣味探索 1.點(diǎn)拔：首先你可以通過(guò)畫圖來(lái)分析這個(gè)題目，這樣更一目了然.請(qǐng)自己作圖。 把計(jì)劃做的零件總數(shù)看作單位“1”，解題關(guān)鍵是找到與剩下42個(gè)零件對(duì)應(yīng)分率。第一天做了，是把計(jì)劃做的零件總數(shù)看作單位“1”，第二天又做了余下的，而這是把余下的零件看做是單位“1”，那么余下了多少？就用總共的單位1減掉第一天做的即（1-=），那第二天做的就是余下單位“1”的，在中又做了，就是余下了的即=,第一天做了，又做了，做了兩次后還剩下計(jì)劃做的零件總數(shù)的幾分之幾，也就是用單位1減去第一天做的再減去又做的就是剩下的1- -= 那剩下的 42個(gè)沒(méi)做就是要找42對(duì)應(yīng)的分率，就是看做了兩次后還剩下了幾分之幾，因此42個(gè)與計(jì)劃的相對(duì)應(yīng)。也就是計(jì)劃做的零件總數(shù)的是42個(gè)，那這樣由部分求整體用除法，就是具體的量除以這具體量所對(duì)應(yīng)整體的幾分之幾。也就是用42. 解答：42【（1-）（1-）】 =42【】=42=245（個(gè)） 答：王師傅計(jì)劃做245個(gè)零件。 2.點(diǎn)拔: 求超額發(fā)電多少萬(wàn)千瓦時(shí)，需先求超額完成了計(jì)劃的幾分之幾，根據(jù)上半年、下半年完成的分率，可知全年超額完成了計(jì)劃的+-1=，根據(jù)超額完成的分率可以求出超額完成的具體千瓦時(shí)。 【解答】 70（+-1）=70=2（萬(wàn)千瓦時(shí)） 答：去年超額發(fā)電2萬(wàn)千瓦時(shí)。 三、大顯身手 1 一瓶油第一次吃去，第二次吃去余下的，這時(shí)瓶?jī)?nèi)還有千克，這瓶油原來(lái)有油多少千克？ 2 張明看一本故事書，每天看30頁(yè)，3天后還剩全書的沒(méi)有看。這本故事書共有多少頁(yè)？ 3第一桶汽油，第一次取出12千克，第二次取出剩下的，第三次取出全桶油的，正好取完，第二次取出多少千克？ 4 把一批面粉分給三個(gè)工廠，甲廠先分得這批面粉的，乙廠分得余下的，最后丙廠分得14.4噸，這批面粉重多少噸？ 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 誰(shuí) 是 兇 手 A、B、C3個(gè)探險(xiǎn)家在沙漠中偶遇。A和B都認(rèn)識(shí)C，并且都跟C有仇。 A決定借機(jī)謀殺C，他偷偷在C地水壺里下了劇毒。 B也想殺害C，但他不知道A已經(jīng)有所行動(dòng)。B趁C沒(méi)留神，在C地水壺底鑿了個(gè)洞。不一會(huì)兒，里面的水就漏光了。 因?yàn)槿彼?dāng)天晚上，C死在了離營(yíng)地只有1英里的沙漠里。 看了上面這個(gè)故事后，你認(rèn)為誰(shuí)是殺害C的兇手？ 你也許會(huì)說(shuō)，A是兇手?？墒牵珻是渴死的，跟A下的毒藥無(wú)關(guān)。 如果你斷定B是兇手，也許有人站出來(lái)為B辯解：B把毒水從C的水壺里排掉，延長(zhǎng)了他的生命。要是沒(méi)有B，C一喝下含有劇毒的水，很快就會(huì)死亡，而不可能堅(jiān)持到晚上。如果C早點(diǎn)兒趕到營(yíng)地，他就不會(huì)死，那B就成了他的救命恩人。雖然C最后沒(méi)有及時(shí)趕到營(yíng)地，但那不是B造成的。 我們從倫理道德的角度看，A和B心懷歹意，都犯了不可推卸的道德罪。但從法律的角度考慮，不同的法官將會(huì)得出截然不同的結(jié)論。看問(wèn)題的角度不同，得出的結(jié)論就不同。 趣味探索 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1．使學(xué)生理解“平均數(shù)”的含義，掌握簡(jiǎn)單求平均數(shù)的方法的同時(shí)會(huì)求復(fù)雜的求平均數(shù)的方法．再求平均數(shù)的過(guò)程中加強(qiáng)理解比例與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系 2．培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合的能力和操作能力． 3．使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)與生活聯(lián)系緊密，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣． 一、快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 1. A、B、C3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是，A、B、C、D4個(gè)數(shù)的平均數(shù)是。D是多少？ 2. 甲、乙兩數(shù)相差75，甲數(shù)除以乙數(shù)的商是，甲、乙兩數(shù)各是多少？ 二、趣味探索 1. A、B、C 3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是，根據(jù)平均數(shù)的定義可以寫成=.再由A、B、C、D4個(gè)數(shù)的平均數(shù)是，根據(jù)平均數(shù)的定義可以寫成=。 要求D是多少，不可能把A、B、C都求出來(lái)，但是可以把A、B、C的和看成是一個(gè)整體，那么根據(jù)=，等式的左右兩邊同時(shí)乘3可以算出A+B+C=3=。再由=，登時(shí)左右兩邊同時(shí)乘4可以寫成A+B+C+D=4=，那么把A+B+C=帶入到A+B+C+D=，也就是把用我們學(xué)習(xí)的替換策略，A+B+C+D=把A+B+C替換成 ，就變成了+D=，等式的左右兩邊都減即： +D -= - D= 2. 甲、乙兩數(shù)相差75，可得甲-乙 =75，甲數(shù)除以乙數(shù)的商是，甲乙==1:4，也可以理解為乙數(shù)是甲數(shù)的4倍。那么可以解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為4x. 根據(jù)甲-乙 =75，4x-x=75,3x=75,x=25，4x=100。 所以甲數(shù)是25，乙數(shù)是100. 三、大顯身手 1.小軍，小明，小紅三人的平均體重是a，小軍和小明的平均體重是b,小紅的體重是（ ） 2.甲數(shù)與乙、丙2數(shù)的平均數(shù)的比是7:13，甲數(shù)與甲、乙、丙3數(shù)的平均數(shù)的比是（ ）。 3.甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是20.甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的比是3:2:1。甲、乙、丙三個(gè)數(shù)分別是多少？ 4.盒子里有三種顏色的球，黃球個(gè)數(shù)與紅球個(gè)數(shù)的比是2:3，紅球個(gè)數(shù)與白球個(gè)數(shù)的比是4:5.已知三種顏色的球共175個(gè)，紅、黃、白球各有多少個(gè)？ 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 減法 數(shù)學(xué)課上，數(shù)學(xué)教師對(duì)一位學(xué)生說(shuō)：“你怎么連減法都不會(huì)？例如，你家里有十個(gè)蘋果，被你吃了四個(gè)，結(jié)果是多少呢？”這個(gè)學(xué)生沮喪地說(shuō)道：“結(jié)果是挨了十下屁股！” 五百只鴨子 一位男數(shù)學(xué)教師對(duì)兩個(gè)吵鬧不休的女學(xué)生說(shuō)：“兩個(gè)女人的聲音，猶如一千只鴨子的叫聲。” 一會(huì)兒，數(shù)學(xué)教師的妻子來(lái)看望他。其中一個(gè)女學(xué)生趕來(lái)報(bào)告。“老師，門外有五百只鴨子來(lái)看您?！? 數(shù)學(xué)家談戀愛(ài) 數(shù)學(xué)家同女朋友在公園漫步。女朋友問(wèn)他：“我滿臉雀斑，你真的不介意？” 數(shù)學(xué)家溫柔地回答：“絕對(duì)不！我生來(lái)最愛(ài)跟小數(shù)點(diǎn)打交道?！? 誰(shuí)最吝嗇 “你說(shuō)，世界上誰(shuí)最吝嗇？” “當(dāng)然是數(shù)學(xué)家?！? “為什么？” “他們是毫厘必爭(zhēng)呀！” 組合圖形巧求面積（一） 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1、認(rèn)識(shí)組合圖形,會(huì)把組合圖形分解成已學(xué)過(guò)的平面圖形。 2、通過(guò)找一找、分一分、拼一拼,培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖的能力和綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)的能力,能合理地運(yùn)用“割”、“補(bǔ)”等方法來(lái)計(jì)算組合圖形的面積。 3、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和動(dòng)手操作的技能,發(fā)展空間觀念,提高思維的靈活性。 4、通過(guò)拼組圖形,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系,體會(huì)數(shù)學(xué)帶給大家的生活美。 一、快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 1.右圖是一個(gè)直角等腰三角形,直角邊長(zhǎng)2厘米,圖中陰影部分面積是（ ）平方厘米。 2.圖中扇形的半徑OA=OB=6厘米., AC垂直O(jiān)B于C,那么圖中陰影部分的面積是（ ）平方厘米。 二、趣味探索 1.由圖示可知,由右圖是一個(gè)直角等腰三角形可知最上面的角是90度，等腰三角形兩底角相等所以由三角形內(nèi)角和可得其中一底角為45度。由（180－90）2＝45。 你可以仔細(xì)觀察與圓和扇形聯(lián)系可見(jiàn)這個(gè)圖可以看成是組合圖形，圖是由兩個(gè)圓心角為45度的扇形重合而成。圖中陰影部分面積為兩個(gè)圓心角為的扇形面積減去直角三角形的面積. 即(平方厘米)。 2. 三角形ACO是一個(gè)等腰直角三角形,將AO看作底邊,AO邊上的高為(厘米),故三角形ACO的面積為(平方厘米).而扇形面積為(平方厘米),從而陰影部分面積為14.13-9=5.13(平方厘米)。 三、大顯身手 1.如圖,陰影部分的面積是 . 2.右圖中三角形是等腰直角三角形,陰影部分的面積是 (平方厘米). 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 八歲的高斯發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)定理 德國(guó)著名大科學(xué)家高斯(1777～1855)出生在一個(gè)貧窮的家庭。高斯在還不會(huì)講話就自己學(xué)計(jì)算，在三歲時(shí)有一天晚上他看著父親在算工錢時(shí)，還糾正父親計(jì)算的錯(cuò)誤。長(zhǎng)大后他成為當(dāng)代最杰出的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家。 他八歲時(shí)進(jìn)入鄉(xiāng)村小學(xué)讀書。教數(shù)學(xué)的老師是一個(gè)從城里來(lái)的人，覺(jué)得在一個(gè)窮鄉(xiāng)僻壤教幾個(gè)小孩子讀書，真是大材小用。經(jīng)常出難題找機(jī)會(huì)處罰孩子。 “你們今天替我算從1加2加3一直到100的和。誰(shuí)算不出來(lái)就罰他不能回家吃午飯。”老師講了這句話后就一言不發(fā)的拿起一本小說(shuō)坐在椅子上看去了。 還不到半個(gè)小時(shí)，小高斯拿起了他的石板走上前去?！袄蠋?，答案是不是這樣？” 老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說(shuō)：“去，回去再算！錯(cuò)了。”他想不可能這么快就會(huì)有答案了。 可是高斯卻站著不動(dòng)，把石板伸向老師面前：“老師！我想這個(gè)答案是對(duì)的?！? 數(shù)學(xué)老師本來(lái)想怒吼起來(lái)，可是一看石板上整整齊齊寫了這樣的數(shù)：5050，他驚奇起來(lái)，因?yàn)樗约涸?jīng)算過(guò)，得到的數(shù)也是5050，這個(gè)8歲的小鬼怎么這樣快就得到了這個(gè)數(shù)值呢？ 高斯解釋他發(fā)現(xiàn)的一個(gè)方法，這個(gè)方法就是古時(shí)希臘人和中國(guó)人用來(lái)計(jì)算級(jí)數(shù)1+2+3+…+n的方法。高斯的發(fā)現(xiàn)使老師覺(jué)得羞愧，覺(jué)得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點(diǎn)是不對(duì)的。他以后也認(rèn)真教起書來(lái)，并且還常從城里買些數(shù)學(xué)書自己進(jìn)修并借給高斯看。在他的鼓勵(lì)下，高斯以后便在數(shù)學(xué)上作了一些重要的研究了。 組合圖形巧求面積（二） 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1、讓學(xué)生結(jié)合具體情境認(rèn)識(shí)組合圖形的特征，并能準(zhǔn)確掌握和計(jì)算其他一些簡(jiǎn)單組合圖形的面積。 2、通過(guò)自主合作，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思維、合作探究的意識(shí)。 3、讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，感受平面圖形的學(xué)習(xí)價(jià)值，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。 一、快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 求圖中陰影部分的面積（長(zhǎng)度單位：厘米） 二、趣味探索 1.思路點(diǎn)撥：這個(gè)圖形不是我們學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單圖形，是個(gè)組合圖形。是由一個(gè)扇形和一個(gè)直角梯形合并而成的。求陰影部分的面積就是求扇形面積和梯形面積的和，扇形圓心角的度數(shù)是整個(gè)圓的圓心角的度數(shù)剪掉直角梯形的90度（360－90＝270）所以扇形圓心角的度數(shù)是270度，直角梯形的上底和高是扇形的半徑，都是4厘米。 （1）扇形的面積： 3.14=37.68（平方厘米） （2）直角梯形的面積： （4+6）42=20（平方厘米） 陰影部分的面積： 37.68+20=57.68（平方厘米） 答：陰影部分的面積是57.68平方厘米。 2.思路點(diǎn)拔：這個(gè)圖形是由一個(gè)直徑是5厘米的半圓，和直徑是3厘米的半圓與直徑2厘米的半圓組成的，陰影部分是直徑是5厘米的半圓的面積減去直徑是3厘米的半圓的面積減去直徑2厘米的半圓的面積。 （1）直徑5里面的半圓的面積： 3.14=39.25（平方厘米） （2）直徑3里面的半圓的面積： 3.14=14.13（平方厘米） （3）直徑3里面的半圓的面積： 3.14=6.28（平方厘米） 陰影部分的面積： 39.25-14.13-6.28=18.84（平方厘米） 答：陰影部分的面積是18.84平方厘米。 三、大顯身手 計(jì)算下面各圖中陰影部分的面積（單位：厘米） （溫馨提示：首先要找出來(lái)是哪些圖形的組合。） 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 聰明青年智當(dāng)女婿 在一個(gè)古代的歐洲國(guó)家里，有一位非常漂亮的公主。國(guó)王在王宮前的廣場(chǎng)上舉行了隆重的選女婿儀式。前來(lái)參加競(jìng)爭(zhēng)的是l00名已被精心挑選過(guò)的青年。一位大臣向大家宣布了規(guī)則： 競(jìng)選人以公主為首排成一個(gè)橫列。在國(guó)王下達(dá)報(bào)數(shù)令后，由公主開(kāi)始報(bào)數(shù)，每報(bào)數(shù)一次，所有的偶數(shù)退列。經(jīng)過(guò)多次報(bào)數(shù)后，誰(shuí)能夠唯一地留在公主的身邊，誰(shuí)就是被選的女婿。 競(jìng)選來(lái)始了！那100名青年隨著公主整整齊齊地排成一個(gè)橫列。國(guó)王一聲令下：“報(bào)數(shù)！”成千上萬(wàn)雙眼睛都緊緊地注視著他們。一批競(jìng)選人落選了，又一批競(jìng)選人落選了......經(jīng)過(guò)6次報(bào)數(shù)后，一個(gè)從小就喜愛(ài)數(shù)學(xué)的青年贏得了勝利，被選為女婿。 這位聰明的青年人獲勝的秘訣在哪里呢？ 要能夠最后唯一地留在公主身邊，關(guān)鍵在于第一次排隊(duì)時(shí)所選的位置。確定這個(gè)位置并不難。一個(gè)辦法是從1寫到101，一次一次地將排列順序中的偶數(shù)部分劃去，即 （1）1、2、3、4、5、??????100、101； （2）1、3、5、7、9、??????99、101； （3）1、5、9、13、17??????97、101； （4）1、9、17、25、33??????89、97； （5）1、17、33、49、65、81、97； （6）1、33、65、97． 我們不難知道被選女婿第一次排隊(duì)時(shí)的位置的應(yīng)是65。 工程問(wèn)題 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1、抓住學(xué)生思維的熱點(diǎn)，讓學(xué)生主動(dòng)參與，感知知識(shí)的形成過(guò)程，調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，初步感知相遇，經(jīng)過(guò)師生共同對(duì)知識(shí)的梳理，進(jìn)一步深化對(duì)相遇問(wèn)題的理解激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新的欲望和興趣。 2、拓展練習(xí)、培養(yǎng)能力，實(shí)際的應(yīng)用才能鞏固學(xué)生解決這類問(wèn)題的能力，在練習(xí)層次的設(shè)計(jì)上，使學(xué)生掌握問(wèn)題的方法。 一、快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 甲乙兩隊(duì)開(kāi)挖一條水渠，甲隊(duì)單獨(dú)挖要8天完成，乙隊(duì)單獨(dú)挖要12天完成?，F(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)挖了幾天后，乙隊(duì)調(diào)走，余下的工程明天挖完。問(wèn)：乙隊(duì)挖了多少天？ 乙隊(duì)挖的天數(shù)，就是甲、乙合作挖的天數(shù)。 二、趣味探索 甲乙合作的工作量除以甲乙的工作效率之和，就得到甲乙合作的天數(shù)，也就是乙挖的天數(shù)。 甲乙合做的工作總量等于工作總量單位1減去甲后3天做的工作總量。 三、大顯身手 加工一批零件，甲單獨(dú)做20天可以完工，乙單獨(dú)做30天可以完工?，F(xiàn)兩人合作來(lái)完成這個(gè)任務(wù)，合作中甲休息了2.5天，乙休息了若干天，做好14天完工，乙休息了幾天？ 我是這樣想的，14天完工，其中甲休息了2.5天，那么甲做了11.5天 單位“1”減去11.5天做的工作總量就是乙做的工作總量，用乙做的工作總量除以乙的工作效率就是乙做的天數(shù)。 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 列表也能解決問(wèn)題 　　甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中得了前五名。發(fā)獎(jiǎng)前老師要他們猜一猜各人所得的名次。甲猜：乙第三名，丙第五名；乙猜：戊第四名，丁第五名；丙猜測(cè)：甲第一名，戊第四名；丁猜：丙第一名；戊猜：甲第三名，丁第四名。老師說(shuō)：每個(gè)名次都有人猜對(duì)了。試問(wèn)：獲得第四名的是誰(shuí)？ 　　讀完題目，你一定會(huì)感到頭緒太多，無(wú)從下手。為了理出頭緒，讓我們把五位同學(xué)猜測(cè)的結(jié)果用表格列出 　 第一名 第二名 第三名 第四名 第五名 甲 猜 　 　 乙 　 丙 乙 猜 　 　 　 戊 丁 丙 猜 甲 　 　 戊 　 丁 猜 丙 乙 　 　 　 戊 猜 　 　 甲 丁 　 這時(shí)，注意到老師所說(shuō)的“每個(gè)名次都有人猜對(duì)?！蔽覀儚谋砀裰幸馔獾陌l(fā)現(xiàn)：只有丁猜的“乙是第二名”這個(gè)結(jié)果是唯一的，立即可知乙一定是第二名。乙是第二名，就不會(huì)是第三名，所以甲一定是第三名。從而，甲不是第一名，則丙一定是第一名。由此又推得，丙不是第五名，丁是第五名。因?yàn)槎〔豢赡苁堑谒拿?，故第四名只能是戊? 　　當(dāng)然，列出表格以后，根據(jù)老師所說(shuō)的話，也可以從第四名是戊或丁入手。經(jīng)分析，如果丁是第四名，則將引出矛盾，從而確定只能是戊獲得第四名。 　　由此可知，有些問(wèn)題，各種量之間關(guān)系復(fù)雜，并列出現(xiàn)的情況多，常會(huì)使你覺(jué)得難以入手。解題時(shí)，如果我們能選用合適的方法（包括畫圖、列表等），把有關(guān)的數(shù)據(jù)（或相互之間的關(guān)系）整理出來(lái)，則量與量之間的關(guān)系立刻躍然紙上，問(wèn)題也就迎刃而解了。 分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用1 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 拓展練習(xí)、培養(yǎng)能力，實(shí)際的應(yīng)用才能鞏固學(xué)生解決這類問(wèn)題的能力，在練習(xí)層次的設(shè)計(jì)上，使學(xué)生掌握問(wèn)題的方法。 一、 快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 一簍蘋果分給甲、乙、丙三人，甲分得全部蘋果的加5個(gè)蘋果，乙分得全部蘋果的加7個(gè)蘋果，丙分得其余蘋果的，最后剩下的蘋果正好等于一婁蘋果的.這簍蘋果有多少個(gè)？ 把一簍蘋果的總個(gè)數(shù)看做單位“1”，運(yùn)用倒推法，由“丙分得其余蘋果的，最后剩下的蘋果正好等于一簍蘋果的”可知，丙分得的正好是一簍蘋果的。 二、趣味探索 我可以用線段圖表示： 從線段圖上看出5個(gè)與7個(gè)的和就相當(dāng)于一簍蘋果（1---2） 二、 大顯身手 甲數(shù)是乙數(shù)、丙數(shù)、丁數(shù)之和的，乙數(shù)是甲數(shù)、丙數(shù)、丁數(shù)之和的，丙數(shù)是甲數(shù)、乙數(shù)、丁數(shù)之和的。已知丁數(shù)是260，求甲數(shù)、乙數(shù)、丙數(shù)、丁數(shù)之和。 甲數(shù)是乙數(shù)、丙數(shù)、丁數(shù)之和的，是把乙數(shù)、丙數(shù)、丁數(shù)之和看做單位“1”。 乙數(shù)是甲數(shù)、丙數(shù)、丁數(shù)之和的，是把甲數(shù)、丙數(shù)、丁數(shù)之和看做單位“1”。 丙數(shù)是甲數(shù)、乙數(shù)、丁數(shù)之和的，是把甲數(shù)、乙數(shù)、丙數(shù)、丁數(shù)之和看做單位“1”。 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 對(duì)聯(lián)中的數(shù)學(xué) (一) 花甲重開(kāi)，外加三七歲月； 古稀雙慶，內(nèi)多一個(gè)春秋． 這副對(duì)聯(lián)是由清代乾隆皇帝出的上聯(lián)，暗指一位老人的年齡，要紀(jì)曉嵐對(duì)下聯(lián)，聯(lián)中也隱含這個(gè)數(shù)．即上述下聯(lián)． 上聯(lián)的算式：260＋37=141， 下聯(lián)的算式：270＋1=141． (二) 三強(qiáng)韓趙魏．九章勾股弦． 上聯(lián)為數(shù)學(xué)家華羅庚1953年隨中國(guó)科學(xué)院出國(guó)考察途中所作．團(tuán)長(zhǎng)為錢三強(qiáng)，團(tuán)員有大氣物理學(xué)家趙九章教授等十余人，途中閑暇，為增添旅行樂(lè)趣，華羅庚便出上聯(lián)“三強(qiáng)韓趙魏”求對(duì)．片刻，人皆搖頭，無(wú)以對(duì)出．他只好自對(duì)下聯(lián)“九章勾股弦”．此聯(lián)全用“雙聯(lián)”修辭格．”“三強(qiáng)”一指錢三強(qiáng)，二指戰(zhàn)國(guó)時(shí)韓趙魏三大強(qiáng)國(guó)；“九章”，既指趙九章，又指我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》．該書首次記載了我國(guó)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的勾股定理．全聯(lián)數(shù)字相對(duì)，平仄相應(yīng)，古今相連，總分結(jié)合． (三) 四川一座鄉(xiāng)村中學(xué)，一對(duì)數(shù)學(xué)教師結(jié)合夫婦，在元旦結(jié)婚之日，工會(huì)贈(zèng)一副賀聯(lián)云： 世事再紛繁，加減乘除算盡； 宇宙雖廣大，點(diǎn)線面體包完． (四) 某地一對(duì)新人，男的當(dāng)會(huì)計(jì)，女的做醫(yī)生，完婚之日，有人贈(zèng)賀聯(lián)一副： 會(huì)計(jì)合數(shù)檢驗(yàn)誤差重合數(shù)； 醫(yī)生開(kāi)方已知病根再開(kāi)方． 嵌入“合數(shù)”、“開(kāi)方”等數(shù)學(xué)名詞，天衣無(wú)縫。 (五) 某市一對(duì)數(shù)學(xué)教師，幾經(jīng)波折，終于結(jié)為秦晉之好，同事撰一聯(lián)相賀，聯(lián)云： 愛(ài)倩如幾何曲線； 幸福似小數(shù)循環(huán)． “幾何曲線”形象地表述了這對(duì)數(shù)學(xué)教師愛(ài)情歷經(jīng)坎坷曲折；“小數(shù)循環(huán)”是一個(gè)無(wú)窮無(wú)盡的數(shù)值，借此祝賀新人的美滿幸福，天長(zhǎng)地久，實(shí)在是神來(lái)之筆． 分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用2 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 解答分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，關(guān)鍵要通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系，弄清楚每道題把什么看單位1，找到解題的數(shù)量關(guān)系式，再根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系或一個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義列式解答。 一、 快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 一個(gè)布袋有紅、黃兩種顏色的小球共1400個(gè)，拿出紅球的，再拿出7個(gè)黃球，剩下的紅球和黃球正好一樣多。原來(lái)紅球和黃球各有多少個(gè)？ 二、趣味探索 拿出紅球的，可以把紅球看做單位1，剩下的紅球占紅球總數(shù)的1—=。 因?yàn)槟贸?個(gè)黃球后，剩下的紅球和黃球一樣多，所以剩下的黃球也占紅球總數(shù)的。 二、 大顯身手 根據(jù)題意，可以知道：金重量的和銀重量的共重50克，金重量的和銀重量的是7701/10=77（克）。 金放在水里稱，重量減輕；銀放在水里稱，重量減輕,一塊合金重770克，放在水里稱，共減輕了50克。這塊合金含金含銀各多少克？ 把引得重量消去，77克與50克的差就是金重量的（—） 我是這樣想的：（770—50）（—） 我是這么想的：設(shè)這塊鋁合金中，金有x克，銀有（770—x）克。 x+(770—x)=50 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 一瓶香瓶酒 今天是媽媽的生日。小明從山上為媽媽采來(lái)一束鮮花，爸爸從城里買回一瓶香檳酒。 　　媽媽非常高興地收下了小明為她獻(xiàn)上的鮮花，但是卻認(rèn)為爸爸花錢買香檳酒太浪費(fèi)了。于是，媽媽給爸爸出了一個(gè)難題，媽媽對(duì)爸爸說(shuō)： 　　“你要是能在不把木塞拔出來(lái)，也不把木塞和瓶子弄壞的情況下把酒倒出來(lái)，我才喝你買的這瓶香檳酒?！? 爸爸一聽(tīng)可為了難，不把木塞拔出來(lái)，怎么可能把酒倒出來(lái)呢？看著桌上的酒瓶，爸爸一點(diǎn)辦法也想不出來(lái)。 這時(shí)，小明在爸爸耳邊悄悄說(shuō)了一句話。爸爸一聽(tīng)不由笑著喊道“真是好主意！”說(shuō)完，立即采取行動(dòng)。 不一會(huì)兒，媽媽懷子里斟滿了香氣四溢的香檳酒，媽媽非常高興地舉起了酒杯。 那么，小明想出了什么好辦法呢？ 原來(lái)，小明是這么想的： 通過(guò)把木塞拔出來(lái)、在木塞上打個(gè)孔、把木塞弄碎或者把酒瓶的嘴兒敲掉都可以把酒從瓶里倒出來(lái)。 　　而以上四種方法都只是為了達(dá)到把相互隔絕的瓶?jī)?nèi)、瓶外這兩個(gè)空間“接通”的目的。 　　媽媽提出的條件只是不讓采取上面的四種辦法，但并不是不讓“接通”兩個(gè)空間。 　　因此，只需再找到一種可以“接通”的辦法就行了。 　　辦法很簡(jiǎn)單： 　　既然界于兩個(gè)空間之間的木墓被拔到“瓶外空間”可以使兩個(gè)空間“接通”，那么，沿著相反的方向，把木塞捅到“瓶?jī)?nèi)空間”不是也可以同樣起到“打開(kāi)一條通道”的目的嗎！　 ──問(wèn)題的解決就這么簡(jiǎn)單，小明讓爸爸把木塞捅到瓶里去！ 商業(yè)中的數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1.激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察信息窗，理清信息窗中索包涵的信息，在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)這些信息，提出并解決有關(guān)百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題。 2.拓展練習(xí)、培養(yǎng)能力，實(shí)際的應(yīng)用才能鞏固學(xué)生解決這類問(wèn)題的能力，在練習(xí)層次的設(shè)計(jì)上，使學(xué)生掌握問(wèn)題的方法。 一、 快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 某旅游景點(diǎn)的門票價(jià)格及優(yōu)惠辦法如下表： 人數(shù) 1~49人 50~99人 100人以上 每人票價(jià) 12元 10元 8元 現(xiàn)有兩個(gè)旅游團(tuán)，如果分別購(gòu)票，兩個(gè)團(tuán)共應(yīng)付門票費(fèi)1166元，如果兩個(gè)旅游團(tuán)合并在一起購(gòu)票，兩個(gè)團(tuán)一共只需付門票880元。這個(gè)旅游團(tuán)分別有多少人？ 1166既不是12的倍數(shù)，也不是10的倍數(shù)，而且880<1166，可知總?cè)藬?shù)一定超過(guò)100人，而且一個(gè)團(tuán)人數(shù)少于50人，另一個(gè)團(tuán)的人數(shù)超過(guò)50人。 那么，總?cè)藬?shù)是8808=110人。 二、趣味探索 小明到商店買了相同數(shù)量的紅球和白球，紅球原價(jià)2元3個(gè)，白球原價(jià)3元5個(gè)。新年優(yōu)惠，兩種球都按1元2個(gè)賣，結(jié)果小明少花了8元錢。問(wèn)：小明共買了多少個(gè)球？ 原價(jià)每個(gè)紅球元，每個(gè)白球元，優(yōu)惠后，紅、白球各買一個(gè)少花+=4、15(元) 所以，82=60（個(gè)） 二、 大顯身手 甲、乙兩個(gè)體戶做生意，甲得利30%，乙損失20%，因此乙的資本僅是甲的. 現(xiàn)在已知兩個(gè)讓你共有資本14500元，兩個(gè)人原有資本多少元？ 把甲原有的資本看做“1”，獲得后有1+30%。乙原有資本是（1+30%）（1—20%）=。 我是這么想的， 甲： 14500[1+(1+30%)（1—20%）]=8000（元）。 乙：14500—8000=6500（元）。 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 諾貝爾為什么沒(méi)有設(shè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng) 諾貝爾獎(jiǎng)在全世界有很高的地位，許多科學(xué)家夢(mèng)想著能獲得諾貝爾獎(jiǎng)．?dāng)?shù)學(xué)被譽(yù)為“科學(xué)女皇的騎士”，卻得不到每年由瑞典科學(xué)院頒發(fā)的諾貝爾獎(jiǎng)，過(guò)去沒(méi)有，將來(lái)也不會(huì)得到．因?yàn)槿鸬渲瘜W(xué)家諾貝爾留下的遺囑中，沒(méi)有提出設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)． 事實(shí)上，遺囑的第一稿中，曾經(jīng)提出過(guò)要設(shè)立這項(xiàng)獎(jiǎng)金．為什么以后又取消了呢？現(xiàn)在流傳著兩種說(shuō)法． 第一種是在法國(guó)和美國(guó)流行的說(shuō)法．與諾貝爾同時(shí)期的瑞典著名數(shù)學(xué)家米塔格勒弗列爾，此人曾是俄國(guó)彼得堡科學(xué)院外籍院士，后來(lái)又是前蘇聯(lián)科學(xué)院外籍院上．米塔格勒弗列爾曾侵犯過(guò)諾貝爾夫人．諾貝爾對(duì)他非常厭惡．為了對(duì)他所從事的數(shù)學(xué)研究進(jìn)行報(bào)復(fù)，所以不設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)． 第二種是在瑞典本國(guó)流行的一種說(shuō)法．在諾貝爾立遺囑期間，瑞典最有名望的數(shù)學(xué)家就是米塔格勒弗列爾，諾貝爾很明白，如果設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，這項(xiàng)獎(jiǎng)金在當(dāng)時(shí)必然會(huì)授予這位數(shù)學(xué)家，而諾貝爾很不喜歡他． 數(shù)學(xué)這樣一門重要學(xué)科怎么能沒(méi)有國(guó)際獎(jiǎng)呢？第一個(gè)提出要改變長(zhǎng)期沒(méi)有國(guó)際數(shù)學(xué)獎(jiǎng)狀況的是加拿大數(shù)學(xué)家約翰菲爾茲．在他擔(dān)任國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)組織委員會(huì)主席期間，于1932年提出設(shè)立數(shù)學(xué)優(yōu)秀發(fā)現(xiàn)國(guó)際獎(jiǎng)．當(dāng)時(shí)為了強(qiáng)調(diào)這項(xiàng)獎(jiǎng)的國(guó)際性．決定不以過(guò)去任何一個(gè)偉大數(shù)學(xué)家的名字命名． 1932年在蘇黎世召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，通過(guò)了菲爾茲的提議，但菲爾茲本人在大會(huì)召開(kāi)前一個(gè)月去世．為紀(jì)念他的功績(jī)，大會(huì)決定以他的名字命名這項(xiàng)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)．與諾貝爾獎(jiǎng)不同的是，這項(xiàng)獎(jiǎng)每隔四年只授予年齡在40歲以下的數(shù)學(xué)家，獲獎(jiǎng)人應(yīng)該是過(guò)去四年內(nèi)被公認(rèn)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家． 有趣的數(shù)學(xué)故事 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1.抓住學(xué)生思維的熱點(diǎn)，讓學(xué)生主動(dòng)參與，感知知識(shí)的形成過(guò)程，調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，初步感知相遇，經(jīng)過(guò)師生共同對(duì)知識(shí)的梳理，進(jìn)一步深化對(duì)相遇問(wèn)題的理解激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新的欲望和興趣。 2.拓展練習(xí)、培養(yǎng)能力，實(shí)際的應(yīng)用才能鞏固學(xué)生解決這類問(wèn)題的能力，在練習(xí)層次的設(shè)計(jì)上，使學(xué)生掌握問(wèn)題的方法。 一、 快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 有只猴子在樹林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家離香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背會(huì)家， 每次最多能背50根，可是猴子嘴饞，每走一米要吃一根香蕉，問(wèn)猴子最多能背回家?guī)赘憬叮? 二、趣味探索 我想根據(jù)最多能背25根香蕉回家，猴子可以先背50根到25米處，這個(gè)時(shí)候它吃了25根，還剩下25根，放下這25根在25米處 回頭再背剩下的50根，走到25米處時(shí)，又吃了25根，還剩下25根，再背起地上的25根，一共50根，繼續(xù)背回家，一共25米，要吃25根，那么最后還剩25根回家。 三、大顯身手 飼養(yǎng)場(chǎng)的白兔是黑兔的5倍，后來(lái)賣掉了10只黑兔，買回來(lái)20只白兔，現(xiàn)在白兔的只數(shù)是黑兔的7倍，原來(lái)白兔、黑兔各有多少只？ 賣掉10只黑兔，也應(yīng)賣掉50只白兔，這樣白兔只數(shù)正是黑兔的5倍，而現(xiàn)在卻買回20只白兔，相關(guān)20+50=70只，現(xiàn)在白兔是黑兔的7倍，相關(guān)7-5=2倍。 賣掉10只黑兔，也應(yīng)賣掉50只白兔，這樣白兔只數(shù)正是黑兔的5倍，而現(xiàn)在卻買回20只白兔，相關(guān)20+50=70只，現(xiàn)在白兔是黑兔的7倍，相關(guān)7-5=2倍。 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 靈感與數(shù)學(xué)靈感 數(shù)學(xué)靈感是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種突發(fā)性的領(lǐng)悟．在解答數(shù)學(xué)難題時(shí)，通常會(huì)遇到這樣的情況：盡管從多角度、用各種方法去進(jìn)行探索，但百思不得其解．可正在“山窮水盡疑無(wú)路”之際，靈感出現(xiàn)了，從而創(chuàng)造了“柳暗花明又一村”的美的境界． 靈感與創(chuàng)造思維、靈感與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)究竟有何聯(lián)系？我們可看看下面幾位數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)靈感與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的情況． 法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒，早就有把相互獨(dú)立的代數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái)的愿望，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)期的思考，但未找到合適的方法．1619年隨軍服務(wù)時(shí)他仍在思考．11月9日，在多瑙河畔的諾伊堡，他幾天來(lái)整日沉迷在思考之中而不得其解，入睡后連作數(shù)夢(mèng)，夢(mèng)中迷迷糊糊地想到引入直角坐標(biāo)系的方法．第二天，也即是11月10日清晨，醒后立即將夢(mèng)中所得加以整理，終于創(chuàng)造了解析幾何學(xué)，笛卡爾獲得了成功，但他醞釀時(shí)間為1617～1619年，約為兩年的時(shí)間． 法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊在談到他發(fā)現(xiàn)富克斯函數(shù)的變換方法時(shí)回憶說(shuō)：“1880年有一次我離開(kāi)當(dāng)時(shí)居住的卡昂去作一次由礦業(yè)學(xué)校主辦的地質(zhì)考察旅行．旅途的奔波使我忘掉了我的數(shù)學(xué)工作，抵達(dá)庫(kù)特塞斯后，我們乘公共馬車到各處去轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，正當(dāng)我跨上踏板的瞬間，腦子里突然出現(xiàn)了一個(gè)想法，即我曾用來(lái)定義富克斯函數(shù)的諸變換跟非歐幾何中的諸變換是一致的．”龐加萊回到住址后，馬上把這一結(jié)果加以證明．這是在長(zhǎng)時(shí)間緊張工作之后，思想放松時(shí)靈感的突然閃現(xiàn)，是經(jīng)過(guò)了約一年時(shí)間的苦思之后才獲得成功的． 被稱為數(shù)學(xué)王子的高斯為證明某一算術(shù)定理，曾苦思冥想達(dá)兩年之久，后來(lái)突然得到一個(gè)想法，使他獲得成功．高斯回憶說(shuō)：“終于在兩天前我成功了……像閃電一樣，謎一下解開(kāi)了．我自己也說(shuō)不清楚是什么導(dǎo)線把原先的知識(shí)和我成功的東西連接起來(lái)．”盡管解開(kāi)這個(gè)謎的想法是突然來(lái)的，但高斯本人經(jīng)過(guò)兩年的艱苦努力才為這個(gè)成功的到來(lái)做好了準(zhǔn)備． 由以上對(duì)三位數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)靈感的出現(xiàn)而導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的描述，可以看出這種在長(zhǎng)時(shí)期持續(xù)勞動(dòng)后的某時(shí)刻出現(xiàn)的“突然領(lǐng)悟”是一種非邏輯的高層次的創(chuàng)造活動(dòng)，亦即靈感思維活動(dòng)． 　　靈感是不能靠偶然的機(jī)遇、守株待兔式的消極等待可以得到的．必須是執(zhí)著追求、鍥而不舍、百折不撓，才能有成功的一天．所謂“觸景生情”“靈機(jī)一動(dòng)”“眉頭一皺，計(jì)上心來(lái)”，都是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期堅(jiān)持不懈地創(chuàng)造性勞動(dòng)而“偶然得之”的．巴斯加說(shuō)：“機(jī)遇只偏愛(ài)有準(zhǔn)備的頭腦．”恰恰道出了此中的真諦． 有趣的數(shù)學(xué)題 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 抓住學(xué)生思維的熱點(diǎn)，讓學(xué)生主動(dòng)參與，感知知識(shí)的形成過(guò)程，調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，初步感知相遇，經(jīng)過(guò)師生共同對(duì)知識(shí)的梳理，進(jìn)一步深化對(duì)相遇問(wèn)題的理解激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新的欲望和興趣。 一、 快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 一只船從甲地開(kāi)往乙地，逆水航行，每小時(shí)行24千米，到達(dá)乙地后，又從乙地返回甲地，比逆水航行提前2. 5小時(shí)到達(dá)。已知水流速度是每小時(shí)3千米，甲、乙兩地間的距離是多少千米？ 分析： 二、趣味探索 逆水每小時(shí)行24千米，水速每小時(shí)3千米，那么順?biāo)俣仁敲啃r(shí) 24＋32＝30（千米），比逆水提前2. 5小時(shí)，若行逆水那么多時(shí)間，就可多行 302. 5＝75（千米） 每小時(shí)多行32＝6（千米），幾小時(shí)才多行75千米，這就是逆水時(shí)間。 我是這樣想的， 24＋32＝30（千米） 24[ 302. 5（32）] ＝24 [ 302. 56 ] ＝2412. 5 ＝300（千米） 三、大顯身手 1. 一游客劃著小船逆流而上，船上一只皮球掉入河里，2分鐘后游客發(fā)現(xiàn)，立即掉頭追皮球，問(wèn)游客幾分鐘追上皮球？ 2分鐘游客與皮球的距離為：（球速+游客速度）2=（水速+船速-水速）2=2個(gè)船速追的時(shí)間2個(gè)船速（順?biāo)?水速）=2個(gè)船速船速=2分鐘即游客2分鐘追上皮球。 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 第一位女教授──蘇菲婭柯瓦列夫斯卡婭 蘇菲婭出生在沙皇俄國(guó)立陶宛邊界的一座貴族莊園里，他父親是退役的炮兵團(tuán)團(tuán)長(zhǎng)。她很小就對(duì)數(shù)學(xué)很癡迷，經(jīng)常對(duì)著墻壁上的數(shù)學(xué)公式和符號(hào)，一看就是好半天，原來(lái)，她房間里的糊墻紙是用高等數(shù)學(xué)的講義做成的。蘇菲婭14歲時(shí)便能夠獨(dú)立推導(dǎo)出三角公式，被稱為“新巴斯卡”。 　　隨著時(shí)間的流逝，蘇菲婭逐漸長(zhǎng)大成人，她對(duì)數(shù)學(xué)的興趣也與日俱增。但那時(shí)正處于沙皇時(shí)代，婦女是不允許注冊(cè)高等學(xué)校學(xué)習(xí)的。而她的父親又一心想讓她像別的貴族姑娘一樣，步人社交界，對(duì)她想學(xué)數(shù)學(xué)的心愿橫加阻攔。于是，蘇菲婭不顧父母的反對(duì)，與年輕的古生物學(xué)家柯瓦列夫斯基“假結(jié)婚”，來(lái)到德國(guó)的海德?tīng)柋?。但在那里，婦女聽(tīng)課要有一個(gè)專門的委員會(huì)認(rèn)可才行。經(jīng)過(guò)努力，她被允許旁聽(tīng)基礎(chǔ)課。在此期間，她勤奮好學(xué)，掌握了深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)，轟動(dòng)了整個(gè)海德?tīng)柋ぃ蔀槿藗冋務(wù)摰脑掝}?？伤槐辉试S聽(tīng)了三個(gè)學(xué)期的課，便不得不離開(kāi)了那里。 蘇菲婭深造心切，又慕名前往柏林工學(xué)院，打算去聽(tīng)著名數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯的課。蘇菲婭在維爾斯特拉斯的悉心指導(dǎo)下學(xué)習(xí)了4年。她回憶這段經(jīng)歷時(shí)說(shuō)：“這樣的學(xué)習(xí)，對(duì)我整個(gè)數(shù)學(xué)生涯影響至深，它最終決定了我以后的科學(xué)研究方向?！? 　　蘇菲婭得到了維爾斯特拉斯的鼓勵(lì)和指點(diǎn)。更加有了攀登科學(xué)高峰的勇氣。她經(jīng)過(guò)了4年的刻苦努力。寫出了三篇出色的論文，引起了強(qiáng)烈的反響。這是史無(wú)前例的開(kāi)創(chuàng)性工作。1874年，在維爾斯特拉斯的推薦下，24歲的蘇菲婭榮獲了德國(guó)第一流學(xué)府──哥廷根大學(xué)博士學(xué)位，成為世界上首屈一指的女?dāng)?shù)學(xué)家。 獲得博士學(xué)位的蘇菲婭，懷若一顆赤子之心回到了祖國(guó)，可俄國(guó)還是同她出國(guó)之前一樣黑暗。她在祖國(guó)無(wú)法立足，只好又回到柏林。她根據(jù)維爾斯特拉斯的建議，研究光線在晶體中的折線問(wèn)題。在1883年奧德賽科學(xué)大會(huì)上，她以出色的研究成果作了報(bào)告。 1891年，蘇菲婭患肺炎因誤診導(dǎo)致病情惡化，與世長(zhǎng)辭。她為爭(zhēng)取婦女的自由斗爭(zhēng)做出了艱苦努力，是婦女攀登科學(xué)高峰的光輝榜樣。 分?jǐn)?shù)乘法——舉例列舉法 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1、會(huì)用舉例列舉法解決有關(guān)分?jǐn)?shù)乘法的問(wèn)題。 2、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)遷移，仔細(xì)讀題的良好習(xí)慣。 3、讓學(xué)生在解決問(wèn)題中體驗(yàn)探索的樂(lè)趣。熱愛(ài)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。 一、快樂(lè)對(duì)對(duì)碰 兩根同樣長(zhǎng)的鋼管，第一根用去米，第二根用去。 你能提出什么問(wèn)題？ 二、趣味探索 哪一根用去的長(zhǎng)一些？ 不知道鋼管原來(lái)的長(zhǎng)度，怎么解決呢？ 可以用舉例子的方法：鋼管原來(lái)的長(zhǎng)度分別舉1米，2米……再計(jì)算。 可以以特殊的數(shù)1米為分界線，舉例米，1米，5米分別列舉計(jì)算。 第一種情況：第一根用去米。 第二根用去=（米）。 因?yàn)?米＞米 所以第一根用去的長(zhǎng)。 第二種情況：第一根用去米。 第二根用去1=（米）。 因?yàn)?米=米 所以兩根用去的一樣長(zhǎng)。 第三種情況：第一根用去米。 第二根用去5=2（米）。 因?yàn)?米＜2米 所以第二根用去的長(zhǎng)。 三、大顯身手 1、（1）食堂有噸煤，用去一部分后還剩。還剩多少噸？ （2）食堂有噸煤，用去噸，還剩多少噸？ 2、有兩堆同樣多的稻谷，第一堆運(yùn)走噸，第二堆運(yùn)走。兩堆稻谷剩下的同樣重嗎？為什么？ 四、數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒 生活中的分?jǐn)?shù) 生活中，常常要用數(shù)學(xué)，特別是購(gòu)物時(shí)，用數(shù)學(xué)是最多的。今天我們學(xué)完了分?jǐn)?shù)的乘法，我本以為分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)是考試才考的，生活中不會(huì)用，可今天一上街，才知道它的用處有多大。 今天我和媽媽來(lái)到一家商店買衣服，忽然見(jiàn)到一件衣服原價(jià)900元，現(xiàn)在打了9折，心想打了9折就是除以9，9009＝100（元），只要100元，而且做工精美太劃算了，我便對(duì)媽媽嚷到：“媽媽，這件好，只要100元！”媽媽聞聲趕來(lái)，見(jiàn)那件衣服原價(jià)900元，以為看錯(cuò)了，便問(wèn)我：“哪一件？”“那件，打9折的，”我答到?！霸趺词?00元，明明是810元嘛！”我聽(tīng)了媽媽的話，一臉迷惑，問(wèn)：“9折不是除以9嗎？”“不，”媽媽說(shuō)到，“要知道，打9折并不是除以9，而是乘以它的十分之九呀！”我聽(tīng)了媽媽的話，恍然大悟，用新學(xué)的分?jǐn)?shù)乘法算了算，900，900和10約分是90，909＝810，8101＝810?！罢娴氖?10元，原來(lái)打折是這樣呀！看來(lái)數(shù)學(xué)和生活是分不開(kāi)的，無(wú)論什么都和數(shù)學(xué)有關(guān)系！”我不禁嘆到。 農(nóng)夫分牛 今天，老師給我們講了一個(gè)故事，我聽(tīng)了后，深有感悟。 這故事是這樣的：有一個(gè)農(nóng)夫，快要死了，決定是時(shí)候分財(cái)產(chǎn)了，便指著田里的19頭牛，說(shuō)：“老大就要這些牛的