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1.1 集合的概念與運(yùn)算 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1.集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合. 2.元素：集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素，簡(jiǎn)稱元. 3.子集：如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素（若則），則稱 集合A為集合B的子集，記為AB或BA；如果AB，并且AB，這時(shí)集合A稱為集合B的真子集，記為AB或BA. 4.集合的相等：如果集合A、B同時(shí)滿足AB、BA，則A=B. 5.補(bǔ)集：設(shè)AS，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集，記 為 . 6.全集：如果集合S包含所要研究的各個(gè)集合，這時(shí)S可以看做一個(gè)全集，全集通常 記作U. 7.交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集， 記作AB. 8.并集：一般地，由所有屬于集合A或者屬于B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并 集，記作AB. 9.空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作. 10.有限集：含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集. 11.無限集：含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集. 12.集合的常用表示方法：列舉法、描述法、圖示法（Venn圖）. 13.常用數(shù)集的記法：自然數(shù)集記作N，正整數(shù)集記作N+或N，整數(shù)集記作Z，有理數(shù)集記作Q，實(shí)數(shù)集記作R. 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 1.符號(hào)，，，，=，表示集合與集合之間的關(guān)系，其中“”包括“”和“=”兩種情況，同樣“”包括“”和“=”兩種情況.符號(hào)，表示元素與集合之間的關(guān)系.要注意兩類不同符號(hào)的區(qū)別. 2.在判斷給定對(duì)象能否構(gòu)成集合時(shí)，特別要注意它的“確定性”，在表示一個(gè)集合時(shí)，要特別注意它的“互異性”、“無序性”. 3.在集合運(yùn)算中必須注意組成集合的元素應(yīng)具備的性質(zhì). 4.對(duì)由條件給出的集合要明白它所表示的意義，即元素指什么，是什么范圍．用集合表示不等式（組）的解集時(shí)，要注意分辨是交集還是并集，結(jié)合數(shù)軸或文氏圖的直觀性幫助思維判斷．空集是任何集合的子集，但因?yàn)椴缓糜梦氖蠄D形表示，容易被忽視，如在關(guān)系式中，B=易漏掉的情況. 5.若集合中的元素是用坐標(biāo)形式表示的，要注意滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么，用數(shù)形結(jié)合法解之. 6.若集合中含有參數(shù)，須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論時(shí)既不重復(fù)又不遺漏. 7.在集合運(yùn)算過程中要借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來. 8.要注意集合與方程、函數(shù)、不等式、三角、幾何等知識(shí)的密切聯(lián)系與綜合使用. 9.含有n個(gè)元素的集合的所有子集個(gè)數(shù)為：，所有真子集個(gè)數(shù)為：-1 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 [例1] 已知集合M={y|y =x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，則M∩N=（ ） A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）} C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1} 錯(cuò)解：求M∩N及解方程組 得 或 ∴選B 錯(cuò)因：在集合概念的理解上，僅注意了構(gòu)成集合元素的共同屬性，而忽視了集合的元素是什么．事實(shí)上M、N的元素是數(shù)而不是實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)，因此M、N是數(shù)集而不是點(diǎn)集, M、N分別表示函數(shù)y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求兩函數(shù)值域的交集． 正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴應(yīng)選D． 注：集合是由元素構(gòu)成的，認(rèn)識(shí)集合要從認(rèn)識(shí)元素開始，要注意區(qū)分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，這三個(gè)集合是不同的． [例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求實(shí)數(shù)a組成的集合C． 錯(cuò)解：由x2－3x＋2=0得x=1或2． 當(dāng)x=1時(shí)，a=2， 當(dāng)x=2時(shí)，a=1． 錯(cuò)因：上述解答只注意了B為非空集合，實(shí)際上，B=時(shí)，仍滿足A∪B=A. 當(dāng)a=0時(shí)，B=，符合題設(shè)，應(yīng)補(bǔ)上，故正確答案為C={0，1，2}． 正解：∵A∪B=A ∴BA 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2} ∴B=或 ∴C={0，1，2} [例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，則有： （ ） A．m+nA B. m+nB C.m+nC D. m+n不屬于A，B，C中任意一個(gè) 錯(cuò)解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ, ∴m+n=4a+1,故選C 錯(cuò)因是上述解法縮小了m+n的取值范圍. 正解：∵mA, ∴設(shè)m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z , ∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故選B. [例4］ 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求實(shí)數(shù)p的取值范圍． 錯(cuò)解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5． 欲使BA，只須 ∴ p的取值范圍是－3≤p≤3. 錯(cuò)因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結(jié)論，即B=時(shí)，符合題設(shè)． 正解：①當(dāng)B≠時(shí)，即p＋1≤2p－1p≥2. 由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5. 由－3≤p≤3. ∴ 2≤p≤3 ②當(dāng)B=時(shí)，即p＋1>2p－1p＜2. 由①、②得：p≤3. 點(diǎn)評(píng)：從以上解答應(yīng)看到：解決有關(guān)A∩B=、A∪B=，AB等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題． [例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值． 分析：要解決c的求值問題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想，此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個(gè)集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關(guān)系式． 解：分兩種情況進(jìn)行討論． （1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0， a=0時(shí)，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故a≠0． ∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1時(shí)，B中的三元素又相同，此時(shí)無解． （2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0， ∵a≠0，∴2c2－c－1=0， 即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－． 點(diǎn)評(píng)：解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn). [例6] 設(shè)A是實(shí)數(shù)集，滿足若a∈A，則A，且1A. ⑴若2∈A，則A中至少還有幾個(gè)元素？求出這幾個(gè)元素. ⑵A能否為單元素集合？請(qǐng)說明理由. ⑶若a∈A，證明：1－∈A. ⑷求證：集合A中至少含有三個(gè)不同的元素. 解：⑴2∈A －1∈A ∈A 2∈A ∴ A中至少還有兩個(gè)元素：－1和 ⑵如果A為單元素集合，則a＝ 即＝0 該方程無實(shí)數(shù)解，故在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，A不可能是單元素集 ⑶a∈A ∈A ∈AA，即1－∈A ⑷由⑶知a∈A時(shí)，∈A， 1－∈A .現(xiàn)在證明a,1－, 三數(shù)互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程無解，∴a≠ ②若a=1－，即a2-a+1=0，方程無解∴a≠1－ ③若1－ =，即a2-a+1=0，方程無解∴1－≠. 綜上所述，集合A中至少有三個(gè)不同的元素. 點(diǎn)評(píng)：⑷的證明中要說明三個(gè)數(shù)互不相等，否則證明欠嚴(yán)謹(jǐn). [例7] 設(shè)集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，試證：AB． 證明：任設(shè)∈A， 則==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N+), ∵ n∈N*，∴ n＋2∈N* ∴ a∈B故　　　　 ① 顯然，1，而由 B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B　　　　 ② 由①、② 得AB． 點(diǎn)評(píng)：（1）判定集合間的關(guān)系，其基本方法是歸結(jié)為判定元素與集合之間關(guān)系． （2）判定兩集合相等，主要是根據(jù)集合相等的定義． 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，則A∩B的非空真子集的個(gè)數(shù)為（　　） A．16 B．14 C．15D．32 2．?dāng)?shù)集{1，2，x2－3}中的x不能取的數(shù)值的集合是（　?。? 　A．{2，-2}B．{－2，－} C．{2，}D．{，－} 3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，則P∩Q等于（ ） A．P　　　B．Q C． 　　D．不知道 4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，則必有（ ） A．P∩Q=　　 B．P Q C．P=Q 　　　　D．P Q 5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，則MN＝ （ ） 　　A．　　　　　　　 B． 　　C．　　　　　　　 D． 6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________． 7.（06高考全國II卷）設(shè)，函數(shù)若的解集為A，，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 8.已知集合A=和B=滿足 A∩B=，A∩B=，I=R，求實(shí)數(shù)a,b的值.