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橢圓、雙曲線、拋物線綜合測(cè)試題 一 選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的） 1設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的離心率為( ). A B 2 C D 2橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，一直線經(jīng)過(guò)交橢圓于、兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ） A 32 B 16 C 8 D 4 3 兩個(gè)正數(shù)、的等差中項(xiàng)是，等比中項(xiàng)是，則橢圓的離心率為（ ） A B C D 4設(shè)、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且3=4， 則的面積為（ ） A B C 24 D 48 5 是雙曲線=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓和=4上的點(diǎn)，則的最大值為（ ） 6 7 8 9 6已知拋物線上的動(dòng)點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（ ） A B C D 7 一動(dòng)圓與兩圓和都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為（ ） A 圓 B 橢圓 C 雙曲線 D 拋物線 8若雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 2 9拋物線上到直線距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)（ ） A B C D 10已知是橢圓的半焦距，則的取值范圍（ ） A B C D 11方程0與1表示的曲線在同一坐標(biāo)系中圖象可能是（ ） o D o C o B o A 12若是拋物線的動(dòng)弦，且，則的中點(diǎn)M到軸的最近距離是（ ） A B C D － 二 填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.把答案填寫(xiě)在題中橫線上） 13 設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，且=60， =，離心率為2，則雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ． 14 已知橢圓與雙曲線，有共同的焦點(diǎn)、，點(diǎn)是雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，則= ． 15 已知拋物線上一點(diǎn)A到其焦點(diǎn)的距離為，則= ． 16已知雙曲線=1的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為 ． 三 解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 17．（10分）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ⑴ 焦點(diǎn)在軸上，虛軸長(zhǎng)為12，離心率為； ⑵ 頂點(diǎn)間的距離為6，漸近線方程為. 18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)及．動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離為10，線段BQ的垂直平分線交AQ于點(diǎn)P． ⑴求的值； ⑵寫(xiě)出點(diǎn)的軌跡方程． 19．（12分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為． ⑴求橢圓的方程； ⑵設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，直線交橢圓于另一點(diǎn)，求的面積． 20．（12分）已知拋物線方程，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線、，切點(diǎn)為、． ⑴求證：直線過(guò)定點(diǎn)； ⑵求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值． 21 ．（12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且=3|． ⑴求雙曲線離心率的取值范圍，并寫(xiě)出取得最大值時(shí)，雙曲線的漸近線方程； ⑵若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且=0，求雙曲線方程． 22．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、、、滿足=，，，⊥，∥． ⑴求當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程； ⑵若是軌跡上不同于的另一點(diǎn)，且存在非零實(shí)數(shù)使得， 求證：=1. 參考答案 1A 提示：根據(jù)題意得==4，∴=2，∴= =．故選A． 2B 提示：的周長(zhǎng)=+==16.故選B． 3C 提示：根據(jù)題意得，解得3，2，∴=，∴=． x y P M N O F F 2題圖 4C 提示：∵是雙曲線上的一點(diǎn)，且3=4， －=2，解得=8，=6，又==10，∴是直角三角形，==24.故選C． 5 D 提示：由于兩圓心恰為雙曲線的焦點(diǎn)，+1， ， ∴≤+1—（） =—+3=+3=9. 6A 提示：設(shè)為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，為拋物線的焦點(diǎn)，由拋物線的定義及數(shù)形結(jié)合得，=－1+=+－1≥－1=．故選A． 7C 提示：設(shè)圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，為動(dòng)圓的圓心，為動(dòng)圓的半徑，則==1， 所以根據(jù)雙曲線的定義可知．故選C． 8C 提示：設(shè)其中一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，根據(jù)題意得=，化簡(jiǎn)得，∴ ====．故選C． 9 B 提示：設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為=，∴當(dāng)時(shí)，距離最小，即點(diǎn)．故選B． 10 D 提示：由于≤=2，則≤， 又，則＞1.故選D． 11 C 提示：橢圓與拋物線開(kāi)口向左． 12 D 提示：設(shè)，，結(jié)合拋物線的定義和相關(guān)性質(zhì)，則的中點(diǎn)M到軸的距離為==，顯然當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，其值最小，即為－．故選D． 二 填空題 13 提示：設(shè)雙曲線方程為，∵，∴．∵=，∴=48.+-2，解得，∴=4，=12. 14 提示：根據(jù)題意得，解得，．∴=． 15 提示：利用拋物線的定義可知4=，=． 16 提示：根據(jù)題意得，，∴，∴． 三 解答題 17解：⑴因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為， ∴，解得 ，，，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． ⑵設(shè)以為漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為， ① 當(dāng)時(shí)，2=6，解得，此時(shí)所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為； ② 當(dāng)時(shí)，2=6，解得，此時(shí)所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 18解：⑴ 因?yàn)榫€段BQ的垂直平分線交AQ于點(diǎn)P，∴=， ∴=+==10； ⑵由⑴知=10（常數(shù)），又=10＞6=，∴點(diǎn)的軌跡是中心在原點(diǎn)，以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上的橢圓，其中，所以橢圓的軌跡方程為． 19解：⑴∵⊥軸，∴，根據(jù)題意得，解得， ∴所求橢圓的方程為：． ⑵ 由⑴可知，∴直線的方程為，∴， 解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴===． 20解：⑴設(shè)切點(diǎn)，，又， 則切線的方程為：，即； 切線的方程為：，即，又因?yàn)辄c(diǎn)是切線、的交點(diǎn)，∴ ， ， ∴過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程為，即， ∴直線過(guò)定點(diǎn)． ⑵ 由，解得=0，∴，． ∴==2=2≥16. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值 21解：⑴∵－=，=3|，∴=3，=， 由題意得+≥，∴4≥2，∴≤2，又因?yàn)椋嚯p曲線離心率的取值范圍為．故雙曲線離心率的最大值為2. ⑵∵=0，∴+=，即，即， 又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，∴=1，∴=1， 解得 ，，∴所求雙曲線方程為；=1. 22解⑴設(shè)，則由得點(diǎn)是線段中點(diǎn)，∴，則=，又因?yàn)?，=， ∵ ⊥， ∴ ， ① ∵ ∥，∴ =0，即 ② 由 ①和②消去參數(shù)得 ． ⑵證明：易知是拋物線的焦點(diǎn)，由，得、、三點(diǎn)共線，即為過(guò)焦點(diǎn)的弦． ①當(dāng)垂直于軸時(shí)，結(jié)論顯然成立； ② 當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)，，直線的方程為， ∴，整理得，∴，1， ∴===1.