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數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列求和方法的探討 四川省三臺(tái)縣蘆溪中學(xué) 何玉平 考綱分析與備考策略： 1、 考綱分析： （1） 了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，理解與的轉(zhuǎn)化關(guān)系。 （2） 對(duì)于非等差、等比數(shù)列，能夠通過(guò)變形配湊，構(gòu)造新的等差、等比數(shù)列模型，再運(yùn)用等差、等比數(shù)列的公式、性質(zhì)解決問(wèn)題。 （3） 能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的相關(guān)問(wèn)題。 （4） 掌握常見(jiàn)的數(shù)列求和類(lèi)型，能夠進(jìn)行數(shù)列求和運(yùn)算。 2、 備考策略 （1） 熟練掌握等差、等比數(shù)列的有關(guān)概念、公式與性質(zhì)，這是解決數(shù)列通項(xiàng)與求和問(wèn)題的基礎(chǔ)。 （2） 對(duì)于常見(jiàn)的數(shù)列的求通項(xiàng)、求和的類(lèi)型題要善于分類(lèi)歸納整理，掌握各種類(lèi)型的通解通法。 （3） 對(duì)于遞推數(shù)列問(wèn)題，要善于從特例入手，有特殊分析歸納一般，即先猜再證，其中數(shù)學(xué)歸納法作為一種工具不會(huì)單獨(dú)命題，只會(huì)作為一種證明的手段，在應(yīng)用時(shí)要注意第二步的證明技巧，做到有的放矢，思路鮮明。 考點(diǎn)剖析與整合提升： 一、求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法的歸納： 求數(shù)列通項(xiàng)公式常用觀察法、公式法、等差或等比通項(xiàng)公式法、遞增關(guān)系變形法（累加、累乘）等。 1、 公式法： ，注意兩種情況能合并，則合并，不能合并，則分段表示。 2、 常見(jiàn)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法： （1）、型（用累加法） 即：， …，，將上述個(gè)式子相加， 可得： （2）、型（用累乘法） 即，，…….. 將上述個(gè)式子相乘， 可得：。 （3）型（ 方法一：待定系數(shù)法 ，通過(guò)待定系數(shù)法求出的值，構(gòu)造成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列。 方法二：迭代法 = = = 而是一個(gè)等比數(shù)列，求出其和，即可求出通項(xiàng)。 （4）型 方法一：待定系數(shù)法 通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列。 方法二：等式兩邊同時(shí)除以有，轉(zhuǎn)化為型。 （5）型 兩邊取倒數(shù)有轉(zhuǎn)化為型。 二、數(shù)列求和的方法 （1）公式法： 等差數(shù)列：；等比數(shù)列：； （2）錯(cuò)位相減法: 這是推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)所使用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前項(xiàng)和，其中分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。 （3）倒序相加法 將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排序，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。 （4）分組求和法 數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列時(shí)，但它可以通過(guò)適當(dāng)拆分，分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，即能分別求和，然后再合并。 （5）裂項(xiàng)法 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的某些項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。 常見(jiàn)的裂項(xiàng)法有： 三、考題精析 例1：(2010年全國(guó)高考寧夏卷17）設(shè)數(shù)列滿足 （1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2） 令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和 解：（Ⅰ）由已知，當(dāng)n≥1時(shí)， 。 而 所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為。 （Ⅱ）由知 ① 從而 ② ①-②得 。 即 點(diǎn)評(píng)：本題主要考察由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的方法以及運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和。熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類(lèi)題目的關(guān)鍵。 例2：（2010山東理數(shù)18）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為． （Ⅰ）求及； （Ⅱ）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，所以? ，解得， 所以；==。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===， 所以==， 即數(shù)列的前n項(xiàng)和=。 【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類(lèi)題目的關(guān)鍵。 例3：（2010四川理數(shù)21） 已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對(duì)任意m、n∈N*都有 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2 （Ⅰ）求a3，a5； （Ⅱ）設(shè)bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列； （Ⅲ）設(shè)cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)由題意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6 再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分 (2)當(dāng)n∈N *時(shí)，由已知(以n＋2代替m)可得 a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8 于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8 即 bn＋1－bn＝8 所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首項(xiàng)為b1＝a3－a1＝6,公差為8的等差數(shù)列 則bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得 an＝-(n－1)2. 那么an＋1－an＝－2n＋1 ＝－2n＋1 ＝2n 于是cn＝2nqn－1. 當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1) 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝2q0＋4q1＋6q2＋……＋2nqn－1. 兩邊同乘以q，可得 qSn＝2q1＋4q2＋6q3＋……＋2nqn. 上述兩式相減得 (1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn ＝2－2nqn ＝2 所以Sn＝2 綜上所述，Sn＝…………………………12分 【命題意圖】本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類(lèi)整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問(wèn)題的能力.