《高中數(shù)學(xué)定積分的概念新人教A選修》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)定積分的概念新人教A選修（24頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、會計學(xué)1高中數(shù)學(xué)定積分的概念高中數(shù)學(xué)定積分的概念 新人教新人教A選修選修 1.曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x=a、x=b及及x x軸所圍成的圖形叫做曲邊軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積x=ax=b第1頁/共24頁 因此，我們可以用這條直線因此，我們可以用這條直線L來代替點(diǎn)來代替點(diǎn)P附附近的曲線，也就是說：在點(diǎn)近的曲線，也就是說：在點(diǎn)P附近，曲線可以附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）看作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）P放大放大再放大再放大P

2、P第2頁/共24頁 y = f(x)bax yO A1A A1.用一個矩形的面積用一個矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得第3頁/共24頁A A1+ A2用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A，得 y = f(x)bax yOA1A2第4頁/共24頁A A1+ A2+ A3+ A4用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4第5頁/共24頁 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個小曲邊梯形，并用小矩個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊

3、梯形的面積，陣形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊于是曲邊梯形的面積梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無限逼近無限逼近 第6頁/共24頁（1 1）分割）分割把區(qū)間把區(qū)間0，1等分成等分成n個小區(qū)間：個小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每個區(qū)間的長度為過各區(qū)間端點(diǎn)作過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個小個小曲邊梯形，他們的面積分別記作曲邊梯形，他們的面積分別記作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy 例例1.求拋物線求拋物線y=x2、直線直線x=1和和x軸所圍成的軸所圍成的曲邊

4、梯形的面積曲邊梯形的面積。幾何畫板幾何畫板第7頁/共24頁（2 2） 以直代曲以直代曲n1)n1i(x)n1i(fS2i（3 3）作和）作和) 1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( SSSSS22223n1i2n1in1iin21 第8頁/共24頁（4 4）逼近）逼近。面積為，即所求曲邊三角形的所以時，亦即當(dāng)分割無限變細(xì)，即3131S31)n12)(n11 (61) 12n(n) 1n(61n1) 1n(210n1)n(0 x322223 小結(jié)小結(jié): :求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y f(x)對應(yīng)的對應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法（1 1）分分割割 （2 2）求面積的

5、和求面積的和 （3 3）取極限取極限 n 第9頁/共24頁利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運(yùn)動路程與時利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運(yùn)動路程與時間的關(guān)系，求物體運(yùn)動速度”的問題反之，如果間的關(guān)系，求物體運(yùn)動速度”的問題反之，如果已知物體的速度與時間的關(guān)系，如何求其在一定時已知物體的速度與時間的關(guān)系，如何求其在一定時間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？ 問題：問題： 汽車以速度汽車以速度v組勻速直線運(yùn)動時， 經(jīng)過時間組勻速直線運(yùn)動時， 經(jīng)過時間t所行駛的路程為所行駛的路程為Svt 如果汽車作變速直線運(yùn)動， 如果汽車作變速直線運(yùn)動，在時刻在時刻t的速度為的速度為 22v tt （單位：（單位：kmkm/

6、 /h h） ，那） ，那么它在么它在 0 0t1(1(單位：單位： h)h)這段時間內(nèi)行駛的路程這段時間內(nèi)行駛的路程S（單位：（單位：kmkm）是多少？是多少？ 引入引入二、汽車行駛的路程二、汽車行駛的路程第10頁/共24頁分析：分析：與求曲邊梯形面積類似，采取與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代“以不變代變”變”的方法，把求勻變速直線運(yùn)動的路程問題，化歸的方法，把求勻變速直線運(yùn)動的路程問題，化歸為勻速直線運(yùn)動的路程問題把區(qū)間為勻速直線運(yùn)動的路程問題把區(qū)間0,1分成分成n個小個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于( )v t的變化很小，可以的變化很小，可以近似的看作汽車作于

7、速直線運(yùn)動，從而求得汽車在每近似的看作汽車作于速直線運(yùn)動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得S（單位：（單位：kmkm）的近似值，最后讓）的近似值，最后讓n趨緊于無窮大就得到趨緊于無窮大就得到S（單（單位：位：kmkm）的精確值）的精確值 （思想：思想：用化歸為各個小區(qū)間上用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動路程和無限逼近的思想方法求出勻變勻速直線運(yùn)動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運(yùn)動的路程） 速直線運(yùn)動的路程） 第11頁/共24頁解：解：1 1分割分割 在時間區(qū)間在時間區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入1n個點(diǎn)，個點(diǎn)，將區(qū)間將區(qū)間

8、0,1等分成等分成n個小區(qū)間：個小區(qū)間： 10,n，1 2,n n，1,1nn 記第記第i個區(qū)間為個區(qū)間為1,(1,2, )iiinnn，其長度為，其長度為11iitnnn 把汽車在時間段把汽車在時間段10,n，1 2,n n，1,1nn上行上行駛的路程駛的路程分別記作：分別記作：1S，2S，nS 顯然，顯然，1niiSS 第12頁/共24頁（2 2）近似代替）近似代替 當(dāng)當(dāng)n很大，即很大，即t很小時，在區(qū)間很小時，在區(qū)間1,iinn上，可以認(rèn)為函數(shù)上，可以認(rèn)為函數(shù) 22v tt 的值變化很的值變化很小， 近似的等于一個常數(shù)， 不妨認(rèn)為它近似的等于左端小， 近似的等于一個常數(shù)， 不妨認(rèn)為它近似

9、的等于左端點(diǎn)點(diǎn)1in處的函數(shù)值處的函數(shù)值2112iivnn ，從從物理意義物理意義上看，上看，即使汽車在時間段即使汽車在時間段1,iinn(1,2, )in上的上的速度變化很小， 不妨認(rèn)為它近似地以時刻速度變化很小， 不妨認(rèn)為它近似地以時刻1in處的速度處的速度2112iivnn 作勻速直線運(yùn)動作勻速直線運(yùn)動 第13頁/共24頁即使汽車在時間段即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變即使汽車在時間段即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速” ，于是的用小矩形的面積速” ，于是的用小矩形的面積iS近似的代替近似的代替iS，則有則有 21112iiiiSSvtnnn 2112(1,2, )iinnnn 第14頁/共24

10、頁（3 3）求和）求和 由由得，得， 21111112nnnniiiiiiSSvtnnnn = =221111102nnnnnn = =222311212nn = = 3121126nnnn= =11111232nn 從而得到從而得到S的近似值的近似值 11111232nSSnn 第15頁/共24頁（4 4）取極限）取極限 當(dāng)當(dāng)n趨向于無窮大時，即趨向于無窮大時，即t趨向于趨向于 0 0 時，時，11111232nSnn 趨向于趨向于S， 從而有從而有111limlimnnnniiSSvnn 1115lim112323nnn 第16頁/共24頁思考：思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)結(jié)合求曲

11、邊梯形面積的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程為汽車行駛的路程S 與與由直線由直線0,1,0ttv和曲線和曲線22vt 所圍成的曲邊梯形的面積有什所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？么關(guān)系？ 結(jié)合上述求解過程可知結(jié)合上述求解過程可知，汽車行駛的路程，汽車行駛的路程limnnSS在數(shù)據(jù)上等于在數(shù)據(jù)上等于由直線由直線0,1,0ttv和曲線和曲線22vt 所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積 思考思考第17頁/共24頁一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動，速度函一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動，速度函數(shù)為數(shù)為 vv t， 那么我們也可以采用分割、 近似代， 那么我們也可以采用分割、 近似代替、求和、取極限的方

12、法，利用“以不變代變”替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在的方法及無限逼近的思想，求出它在a atb b內(nèi)內(nèi)所作的位移所作的位移S 結(jié)論結(jié)論第18頁/共24頁練習(xí)：練習(xí)：彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比， 即力成正比， 即力 F xkx（k為常數(shù)，為常數(shù)，x是伸長量） ，是伸長量） ，求彈簧從平衡位置拉長求彈簧從平衡位置拉長b所作的功所作的功 分析：分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解 練習(xí)練習(xí)第19頁/共24頁解：解： 將物體用常力將物體用常力F沿力的方向移動距離沿力的方向移動距離x

13、，則所，則所作的功為作的功為WF x （1 1） 分割 分割 在區(qū)間在區(qū)間0,b上等間隔地插入上等間隔地插入1n個點(diǎn)，個點(diǎn)，將區(qū)間將區(qū)間0,1等分成等分成n個小區(qū)間：個小區(qū)間： 0,bn，2,bbnn，1,nbbn 記第記第i個區(qū)間為個區(qū)間為1,(1,2, )ib i binnn， 其長度為其長度為1ibi bbxnnn 把在分段把在分段0,bn， 第20頁/共24頁（2 2）近似代替）近似代替 有條件知：有條件知：11iibib bWFxknnn (1,2, )in 2,bbnn，1,nbbn上所作的功上所作的功分別記作：分別記作：1W，2W，nW （3 3）求和）求和 111nnniiii

14、b bWWknn 第21頁/共24頁= =220 121kbnn 22211122n nkbkbnn 從而得到從而得到W的近似值的近似值 2112nkbWWn （4 4）取極限）取極限 2211limlimlim122nninnnikbkbWWWn 所以得到彈簧從平衡位置拉長所以得到彈簧從平衡位置拉長b所作的功為：所作的功為：22kb 第22頁/共24頁2)(xxfnini,1C1、當(dāng)、當(dāng)n很大時，函數(shù)很大時，函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.)1(nf)2(nf)(nif 0f1,iixx2、在、在“近似代替近似代替”中，函數(shù)中，函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 上上的近似值等于（的近似值等于（ ）A.只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值 C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值D.以上答案均不正確以上答案均不正確)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC第23頁/共24頁