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1、 課時訓練(二十)　等腰三角形 (限時:30分鐘) |夯實基礎| 1.如圖K20-1,△ABC中,D為AB上一點,E為BC上一點,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,則∠CDE的度數為 (　　) 圖K20-1 A.50° B.51° C.51.5° D.52.5° 2.[2017·南充] 如圖K20-2,等邊三角形OAB的邊長為2,則點B的坐標為 (　　) 圖K20-2 A.(1,1) B.(,1) C.(,) D.(1,) 3.[2017·雅安] 一個等腰三角形的底邊長是6,腰長是一元二次

2、方程x2-7x+12=0的一根,此三角形的周長是 (　　) A.12 B.13 C.14 D.12或14 4.[2018·淄博] 如圖K20-3,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于點N,且MN平分 ∠AMC,若AN=1,則BC的長為 (　　) 圖K20-3 A.4 B.6 C.4 D.8 5.[2017·天津] 如圖K20-4,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線,P是AD上的一個動點,則下列線段的長等于 BP+EP最小值的是 (　　) 圖K20

3、-4 A.BC B.CE C.AD D.AC 6.[2016·無錫] 如圖K20-5,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC繞點C順時針旋轉得△A1B1C,當A1落在AB 邊上時,連接B1B,取BB1的中點D,連接A1D,則A1D的長度是 ( ) 圖K20-5 A. B.2 C.3 D.2 7.[2018·臨沂] 如圖K20-6,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分別是點D,E.AD=3,BE=1.則DE的長是 (　　) 圖K20-6

4、 A. B.2 C.2 D. 8.[2016·淮安] 已知一個等腰三角形的兩邊長分別為2和4,則該等腰三角形的周長是　　　　.? 9.[2018·吉林] 我們規(guī)定:等腰三角形的頂角與一個底角度數的比值叫做等腰三角形的“特征值”,記作k,若k=,則該等腰 三角形的頂角為　　　　度.? 10.[2016·泰州] 如圖K20-7,已知直線l1∥l2,將等邊三角形如圖放置,若∠α=40°,則∠β等于　　　　.? 圖K20-7 11.[2018·遵義] 如圖K20-8,△ABC中,點D在BC邊上,BD=AD

5、=AC,E為CD的中點,若∠CAE=16°,則∠B為　　　　度.? 圖K20-8 12.[2018·寧波] 如圖K20-9,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(點D與A,B不重合),連接CD,將線段CD 繞點C按逆時針方向旋轉90°得到線段CE,連接DE交BC于點F,連接BE. (1)求證:△ACD≌△BCE; (2)當AD=BF時,求∠BEF的度數. 圖K20-9 13.[2018·武漢] 如圖K20-10,點E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF與DE交于點G,求證:GE=GF.

6、 圖K20-10 |拓展提升| 14.[2018·綿陽] 如圖K20-11,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE 上,若AE=,AD=,則兩個三角形重疊部分的面積為 (　　) 圖K20-11 A. B.3- C.-1 D.3- 15.[2017·連云港] 如圖K20-12,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,且AD=AE,連接BE,CD,交于 點F. (1

7、)判斷∠ABE與∠ACD的數量關系,并說明理由; (2)求證:過點A,F的直線垂直平分線段BC. 圖K20-12 參考答案 1.D　[解析] ∵AC=CD=BD=BE,∠A=50°, ∴∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED. ∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°, ∴∠B=25°. ∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°, ∴∠BDE=∠BED=(180°-25°)=77.5°, ∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°,故選D. 2.D　[解

8、析] 過點B作BC⊥OA于點C,則OC=1,BC===.∴點B的坐標為(1,).故選D. 3.C　[解析] 一元二次方程x2-7x+12=0的兩根分別為3,4,所以腰長有兩種情況:①腰長為3,底邊長為6,此時三角形三邊關系為3+3=6,不符合“三角形任意兩邊之和大于第三邊”,故不成立;②腰長為4,此時三角形三邊符合“三角形任意兩邊之和大于第三邊”,所以周長為4+4+6=14. 4.B　[解析] ∵MN∥BC, ∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB, ∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=∠ACB, ∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC, ∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NM

9、C=∠AMC, ∴∠AMN=∠ACB=∠ANM, ∵∠A=90°,∴∠AMN=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3,∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,故選B. 5.B　[解析] 由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根據“等腰三角形的三線合一”可知點B與點C關于直線AD對稱,連接CP,則BP=CP,因此BP+EP的最小值為CE,故選B. 6.A　[解析] ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2, ∴∠A=90°-∠ABC=60°,AB=4,BC=2. ∵CA=CA1, ∴△ACA1是等邊三角形,AA1=AC=BA1=2, ∴∠BCB1=∠

10、ACA1=60°. ∵CB=CB1,∴△BCB1是等邊三角形, ∴BB1=2,∴BD=DB1=, 又∵BA1=2,∠A1BB1=90°, ∴A1D==. 故選A. 7.B　[解析] ∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC+∠DCA=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ECB+∠DCA=90°,∴∠DAC=∠ECB,又∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE,∴CE=AD=3,CD=BE=1,∴DE=CE-CD=3-1=2,故選B. 8.10　[解析] 因為2+2=4,所以等腰三角形的腰的長度是4,底邊長為2,周長=4+4+2=10. 9.36　[解析] 如圖,在

11、△ABC中,AB=AC,設∠A=α,則∠B=∠C=(180°-α),由k=,可得(180°-α)=2α,解出α=36°. 10.20°　[解析] 過點A作AD∥l1,如圖, 則∠BAD=∠α=40°. ∵l1∥l2,∴AD∥l2. ∴∠DAC=∠β. ∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°, ∴∠β=∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°. 11.37　[解析] 因為AD=AC,E為CD的中點,所以∠DAC=2∠CAE=32°,所以∠ADC=(180°-∠DAC)=74°,因為BD=AD,所以∠B=∠ADC=37°. 12.解:(1)證明:∵線段C

12、D繞點C按逆時針方向旋轉90°得到線段CE, ∴∠DCE=90°,CD=CE. 又∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中,∵ ∴△ACD≌△BCE. (2)∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠A=45°, ∵△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°. 又AD=BF,∴BE=BF, ∴∠BEF=∠BFE==67.5°. 13.證明:∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF, ∴BF=CE. 在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE, ∴∠1=∠2,∴GE=GF. 14

13、.D　[解析] 過點A作AF⊥CE于點F,設AB與CD的交點為M,過點M作MN⊥AC于點N,如圖所示. ∵△ECD為等腰直角三角形,CE=CD,∴∠E=45°. ∵AE=,AD=, ∴AF=EF=1,CE=CD==1+, ∴CF=,∴AC==2,∠ACF=30°, ∴∠ACD=60°. 設MN=x,∵△ABC為等腰直角三角形,CA=CB, ∴∠CAB=45°,∴AN=MN=x, 又∵CN==x, ∴AC=AN+CN=x+x=2, 解得x=3-, ∴S陰影=S△ACM=×AC×MN=3-. 故選D. 15.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下: 因為AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD.所以∠ABE=∠ACD. (2)證明:因為AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因為AB=AC,所以點A,F均在線段BC的垂直平分線上,即直線AF垂直平分線段BC. 11