《河南省2019年中考數(shù)學專題復習 專題四 與圓有關(guān)的計算訓練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《河南省2019年中考數(shù)學專題復習 專題四 與圓有關(guān)的計算訓練（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題四　與圓有關(guān)的計算 類型一 與切線有關(guān)的簡單證明與計算 (2018·昆明)如圖，AB是⊙O的直徑，ED切⊙O于點C，AD交⊙O于點F，AC平分∠BAD，連接BF. (1)求證：AD⊥ED； (2)若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半徑． 【分析】 (1)連接OC，先證明OC∥AD，然后利用切線的性質(zhì)得OC⊥DE，從而得到AD⊥ED；(2)OC交BF于H，如解圖，利用圓周角定理得到∠AFB＝90°，再證明四邊形CDFH為矩形得到FH＝CD，∠CHF＝90°，利用垂徑定理得到BH＝FH，在Rt△ABF中，利用勾股定理計算出AB，從而得到⊙O的半徑． 【自主解答】 (1)證明：連

2、接OC，如解圖， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OC∥AD， ∵ED切⊙O于點C， ∴OC⊥DE，∴AD⊥ED； 例1題解圖 (2)解：OC交BF于點H，如解圖， ∵AB為直徑， ∴∠AFB＝90°， 易得四邊形CDFH為矩形， ∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°， ∴OH⊥BF， ∴BH＝FH＝4， ∴BF＝8， 在Rt△ABF中，AB＝＝＝2， ∴⊙O的半徑為. 1．(2018·河南說明與檢測)如圖，AB為半圓O的直徑，點C為半圓上任一點． (1)若∠BAC＝30°，過點C作半圓O的

3、切線交直線AB于點P.求證：△PBC≌△AOC； (2)若AB＝6，過點C作AB的平行線交半圓O于點D，當以點A、O、C、D為頂點的四邊形為菱形時，求的長． 2．(2018·河南說明與檢測)如圖，在⊙O中，∠AOB＝120°，點C為的中點，延長OC到點D，使CD＝OC，AB交OC于點E. (1)求證：DA是⊙O的切線； (2)若OA＝6，求弦AB的長． 3．(2018·河南說明與檢測)如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB上一點，以CD為直徑的⊙O交BC于點E，連接AE交CD于點P，交⊙O于點F

4、，∠CAE＝∠ADF. (1)判斷AB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； (2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的長． 4．(2018·金華)如圖，在Rt△ABC中，點O在斜邊AB上，以O為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點D，E，連接AD.已知∠CAD＝∠B. (1)求證：AD是⊙O的切線； (2)若BC＝8，tan B＝，求⊙O的半徑． 5．(2018·玉林)如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，∠DAC＝∠B. (1)求證：AC是⊙O的切線； (2)點E是AB上一點，若∠BCE

5、＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半徑是4，求EC的長． 6．(2018·天津)已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交，∠BAC＝38°. (Ⅰ)如圖①，若D為的中點，求∠ABC和∠ABD的大??； (Ⅱ)如圖②，過點D作⊙O的切線，與AB的延長線交于點P，若DP∥AC，求∠OCD的大小． 圖① 圖② 7．(2018·信陽一模)如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE＝CB. (1)求證：BC是⊙O的切線； (2)連接AF，BF，求∠AB

6、F的度數(shù)． 8．(2018·河南說明與檢測)如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D，E是OB的中點，CE的延長線交切線BD于點F，AF交⊙O于點H，連接BH. (1)求證：AC＝CD； (2)若OB＝2，求BH的長． 類型二 與四邊形判定結(jié)合的證明與計算 (2018·河南)如圖，AB是⊙O的直徑，DO⊥AB于點O，連接DA交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線交DO于點E，連接BC交DO于點F. (1)求證：CE＝EF； (2)連接AF并延長，交⊙O于點G.填空： ①當

7、∠D的度數(shù)為________時，四邊形ECFG為菱形； ②當∠D的度數(shù)為________時，四邊形ECOG為正方形． 例2題圖 【分析】 (1)連接OC，如解圖，利用切線的性質(zhì)得∠1＋∠4＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和互余證明∠1＝∠2，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論； (2)①要證明四邊形ECFG為菱形，可知△CEF為等邊三角形，∵∠ACB＝90°，∠CFE＝60°，∴∠D可求； ②∵四邊形ECOG為正方形，∴∠COG＝90°，∠COF＝45°，則∠COA＝45°，根據(jù)△ACO是等腰三角形，在Rt△AOD中，已知∠DAO，則∠D可求． 【自主解答】 (1)證明：連接

8、OC，如解圖， ∵CE為切線，∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°，即∠1＋∠4＝90°， ∵DO⊥AB，∴∠3＋∠B＝90°， ∵∠2＝∠3，∴∠2＋∠B＝90°， 又∵OB＝OC，∴∠4＝∠B，∴∠1＝∠2，∴CE＝FE； (2)解：①當∠D＝30°時，四邊形ECFG為菱形， 【解法提示】∵四邊形ECFG為菱形， ∴CE＝CF＝FG＝EG， 由(1)知CE＝EF， ∴△ECF是等邊三角形， ∴∠CFD＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∵∠DCF＝90°， ∴∠D＝90°－60°＝30°. ②當∠D＝22.5°時，四邊形ECOG為正方形． 【解法提示】 例

9、2題解圖 ∵四邊形ECOG為正方形， ∴CO＝CE，∴∠OCE＝90°， ∴△COE是等腰直角三角形， ∴∠COE＝45°， ∵DO⊥AB， ∴∠DOA＝90°， ∴COA＝∠DOA－∠COE＝45°， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝67.5°， ∴∠D＝90°－62.5°＝22.5°. 1．(2016·河南)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點D，E. (1)求證：MD＝ME； (2)填空： ①若AB＝6，當AD＝2DM時，DE＝______； ②連接OD，OE，當∠A的度數(shù)為__________時

10、，四邊形ODME是菱形． 2．(2015·河南)如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延長BP到點C，使PC＝PB，D是AC的中點，連接PD、PO. (1)求證：△CDP≌△POB； (2)填空： ①若AB＝4，則四邊形AOPD的最大面積為______； ②連接OD，當∠PBA的度數(shù)為__________時，四邊形BPDO是菱形． 3．(2014·河南)如圖，CD是⊙O的直徑，且CD＝2 cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA，PB，切點分別為點A，B. (

11、1)連接AC，若∠APO＝30°，試證明△ACP是等腰三角形； (2)填空： ①當DP＝______ cm時，四邊形AOBD是菱形； ②當DP＝________ cm時，四邊形AOBP是正方形． 4．(2018·駐馬店一模)如圖，AC是⊙O的直徑，點P在線段AC的延長線上，且PC＝CO，點B在⊙O上，且∠CAB＝30°. (1)求證：PB是⊙O的切線； (2)若D為圓O上任一動點，⊙O的半徑為5 cm時， ①當弧CD長為______時，四邊形ADPB為菱形； ②當弧CD長為______時，四邊形ADCB為矩形．

12、 5．(2018·濮陽一模)如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，OD∥AC，AD＝OC. (1)求證：四邊形OCAD是平行四邊形； (2)探究： ①當∠B＝________°時，四邊形OCAD是菱形； ②當∠B滿足什么條件時，AD與⊙O相切？請說明理由． 6．(2017·河南模擬)已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，⊙O是經(jīng)過A、B、C三點的圓，CD與⊙O相切于點C，點P是上的一個動點(點P不與B、C點重合)，連接PA、PB、PC. (1)求證：CA＝CB； (2)①當點P滿足______________時，△CPA≌△ABC，

13、請說明理由； ②當∠ABC的度數(shù)為__________時，四邊形ABCD是菱形． 7．(2018·河南說明與檢測)如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，且AB＝AC.延長BC到點D，使CD＝CA，連接AD交圓O于點E. (1)求證：△ABE≌△CDE. (2)填空： ①當∠ABC的度數(shù)為________時，四邊形AOCE是菱形； ②若AE＝，AB＝2，則DE的長為_________． 8．(2018·河南說明與檢測)如圖，半圓O的直徑為AB，點M為半圓上一動點(不與點A，B重合)，點N為的中點，ND⊥AB

14、于點D，過點M的切線交DN的延長線于點C. (1)若MC∥AB， ①求證：AD＝CN； ②填空：四邊形OMCD是何種特殊的四邊形？________． (2)填空：當∠ANM＝____________時，四邊形ANMO為菱形． 9．(2018·河南說明與檢測)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點D，過點D作⊙O的切線交BC于點E，連接OE. (1)求證：OE∥AD； (2)填空： ①∠BAC＝________°時，四邊形ODEB是正方形； ②當∠BAC＝________°時，AD＝

15、3DE. 10．(2017·濮陽一模)如圖，AB是⊙O的直徑，點P是AB下方的半圓上不與點A，B重合的一個動點，點C為AP中點，延長CO交⊙O于點D，連接AD，過點D作⊙O的切線交PB的延長線于點E，連CE交AB于點F，連接DF. (1)求證：△DAC≌△ECP； (2)填空： ①四邊形ACED是何種特殊的四邊形？ ②在點P運動過程中，線段DF、AP的數(shù)量關(guān)系是______________． 11．如圖，已知⊙A的半徑為4，EC是⊙A的直徑，點B是⊙A的切線CB上的一

16、個動點，連接AB交⊙A于點D，弦EF平行于AB，連接DF，AF. (1)試判斷直線BF與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由； (2)填空： ①當∠CAB＝__________時，四邊形ADFE為菱形； ②當EF＝___________時，四邊形ACBF為正方形． 12．(2018·河南說明與檢測)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，過點D作DF⊥AC于點F. (1)求證：DF為⊙O的切線； (2)若過點A且與BC平行的直線交BE延長線于點G，連接CG.設⊙O的半徑為5. ①當CF＝__

17、________時，四邊形ABCG為菱形； ②當BC＝4時，四邊形ABCG的面積是__________． 參考答案 類型一 針對訓練 1．(1)證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°. ∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°. ∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形． ∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°. ∴∠AOC＝∠PBC＝120°. ∵CP是⊙O的切線，∴OC⊥CP. ∴∠OCP＝90°.∴∠ACO＝∠PCB. 在△AOC和△PBC中， ，∴△PBC≌△AOC. (2)解：如解圖①，∵四邊形

18、AOCD為菱形， ∴OA＝AD＝CD＝OC. 連接OD，則OA＝OD＝OC， ∴△AOD和△COD都是等邊三角形． ∴∠AOD＝∠COD＝60°. ∴∠BOC＝60°. ∴的長為＝π. 如解圖②，同理，∠BOC＝120°，的長為＝2π. 綜上可知，的長為π或2π. 圖① 圖② 第1題解圖 2．(1)證明：如解圖，連接AC.∵C是的中點， ∴＝. 第2題解圖 ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°. ∵OA＝OC， ∴△AOC是等邊三角形． ∴∠OAC＝∠OCA＝60°，AC＝OC. ∵CD＝OC， ∴CD＝AC. ∴∠DAC

19、＝∠D＝∠OCA＝30°. ∴∠DAO＝∠OAC＋∠DAC＝90°. ∵OA是⊙O的半徑， ∴DA是⊙O的切線． (2)解：∵OA＝OC，∠AOC＝∠BOC＝60°， ∴AE＝BE，OE⊥AB. 在Rt△AOE中，AE＝OA·sin 60°＝6×＝3. ∴AB＝2AE＝6. 3．(1)證明：AB與⊙O相切，理由如下： ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAE＋∠AEC＝90°， ∵∠CAE＝∠ADF， ∠AEC＝∠FDC， ∴∠ADF＋∠FDC＝90°，即∠ADC＝90°. ∴CD⊥AB. 又∵CD為⊙O的直徑，∴AB與⊙O相切． 第3題解圖 (2)解：連接FC，

20、DE，如解圖， ∵CD為⊙O的直徑，∴∠DEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴DE∥AC，∴∠CAE＝∠DEA， ∵∠DEA＝∠DCF， ∴∠CAE＝∠DCF，即∠CAP＝∠FCP， ∵∠CPA＝∠FPC， ∴△CAP～△FCP， ∴＝， ∴＝＝， ∴PA＝2PC＝4PF， ∴PF＝AF＝， ∴CP＝2PF＝. 4．(1)證明：連接OD， ∵OB＝OD， ∴∠3＝∠B， ∵∠B＝∠1， ∴∠1＝∠3， 在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90°， ∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°， 第4題解圖 ∴OD⊥AD， ∵OD為⊙O的半徑， ∴AD

21、為⊙O的切線； (2)解：設⊙O的半徑為r， 在Rt△ABC中，AC＝BC·tan B＝4， 根據(jù)勾股定理得：AB＝＝4， ∴OA＝4－r， 在Rt△ACD中，tan∠1＝tan B＝， ∴CD＝AC·tan∠1＝2， 根據(jù)勾股定理得：AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20， 在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，即(4－r)2＝r2＋20， 解得：r＝. 5．(1)證明：∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°， ∴∠B＋∠BAD＝90°， ∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝90°， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切線． (2)解：∵∠

22、BCE＝∠B， ∴EC＝EB，設EC＝EB＝x， 在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，AB＝8， ∴AC＝4， 在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2＋AC2， ∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5， ∴CE＝5. 6．解：(Ⅰ)∵AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交，∠BAC＝38°， ∴∠ACB＝90°，∠ABC＝52°， ∵D為的中點，∠AOB＝180°， ∴∠AOD＝90°， ∴∠ABD＝45°. (Ⅱ)連接OD，如解圖， ∵DP切⊙O于點D， ∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°， 由DP∥AC，又∵∠BAC＝38°， ∴∠P＝∠BAC＝38°， ∵∠AOD是

23、△ODP的一個外角， ∴∠AOD＝∠P＋∠ODP＝128°， ∴∠ACD＝64°， ∵OC＝OA，∠BAC＝38°， ∴∠OCA＝∠BAC＝38°， ∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝64°－38°＝26°. 第6題解圖 7．(1)證明：連接OB，如解圖， ∵CE＝CB， ∴∠CBE＝∠CEB， ∵CD⊥OA， ∴∠DAE＋∠AED＝90°， 又∵∠CEB＝∠AED， ∴∠DAE＋∠CBE＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠OBA＋∠CBE＝90°，即∠OBC＝90°， ∴OB⊥BC，∵OB是⊙O的半徑， ∴BC是⊙O的切線； (2)

24、解：連接OF，交AB于點H，如解圖， ∵DF⊥OA，AD＝OD， ∴FA＝FO， 又∵OF＝OA， ∴△OAF為等邊三角形， ∴∠AOF＝60°， ∴∠ABF＝∠AOF＝30°. 第7題解圖 8．(1)證明：連接OC，如解圖， 第8題解圖 ∵C是的中點，AB是⊙O的直徑， ∴CO⊥AB. ∵BD是⊙O的切線， ∴BD⊥AB. ∴OC∥BD， ∵OA＝OB， ∴AC＝CD. (2)解：∵E是OB的中點， ∴OE＝BE. 在△COE和△FBE中，∠CEO＝∠FEB，OE＝BE， ∠COE＝∠FBE， ∴△COE≌FBE， ∴CO＝BF，∵OB＝2

25、， ∴BF＝2，∴AF＝＝2， ∵AB是直徑，∴BH⊥AF， ∴△ABF∽△BHF， ∴＝， 即AB·BF＝AF·BH， ∴BH＝＝＝. 類型二 針對訓練 1．(1)證明：∵∠ABC＝90°，AM＝MC， ∴BM＝AM＝MC，∴∠A＝∠ABM， ∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ADE＋∠ABE＝180°， 又∵∠ADE＋∠MDE＝180°，∴∠MDE＝∠MBA， 同理證明：∠MED＝∠A， ∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME. (2)解：①由(1)可知，∠A＝∠MDE， ∴DE∥AB，∴＝， ∵AD＝2DM，∴DM∶MA＝1∶3， ∴DE＝AB＝×6

26、＝2. 故答案為2. 第1題解圖 ②當∠A＝60°時，四邊形ODME是菱形．理由如下： 如解圖，∵四邊形ODME是菱形，∴OD＝OE＝DM＝MG， ∵DM＝ME， ∴△DME是等邊三角形，∴∠EDM＝60°，∵DE∥AB， ∴∠A＝∠MDE＝60°. 2．(1)證明：∵PC＝PB，D是AC的中點， ∴DP∥AB， ∴DP＝AB，∠CPD＝∠PBO， ∵BO＝AB， ∴DP＝BO， 在△CDP與△POB中， ， ∴△CDP≌△POB(SAS)； (2)4【解法提示】①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有最大面積，∵AB＝4，∴OA＝2，∴最大面積為2×2

27、＝4； 第2題解圖 ②60°【解法提示】連接OD，如解圖，∵DP∥AB，DP＝BO， ∴四邊形BPDO是平行四邊形， ∵四邊形BPDO是菱形，∴PB＝BO， ∵PO＝BO，∴PB＝BO＝PO， ∴△PBO是等邊三角形，∴∠PBA的度數(shù)為60°. 第3題解圖 3．(1)證明：連接OA，如解圖， ∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥PA， 在Rt△AOP中，∠AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°， ∴∠ACP＝30°， ∵∠APO＝30°，∴∠ACP＝∠APO，∴AC＝AP， ∴△ACP是等腰三角形． (2)解：①DP＝1，理由如下： ∵四邊形AOBD

28、是菱形， ∴OA＝AD＝OD，∴∠AOP＝60°， ∴OP＝2OA，DP＝OD.∴DP＝1， ②DP＝－1，理由如下： ∵四邊形AOBP是正方形，∴∠AOP＝45°， ∵OA＝PA＝1，OP＝， ∴DP＝OP－1，∴DP＝－1. 4．(1)證明：如解圖①，連接OB、BC. ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∴∠COB＝∠OAB＋∠OBA＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等邊三角形， ∴BC＝OC，∵PC＝OC， ∴BC＝CO＝CP， ∴∠PBO＝90°， ∴OB⊥PB，∵OB是⊙O的半徑， ∴PB是⊙O的切線． 圖① 圖②

29、 圖③ 第4題解圖 (2)解：①的長為 cm時，四邊形ADPB是菱形．理由如下： 如解圖②，∵四邊形ADPB是菱形，∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠COD＝2∠CAD＝60°， ∴的長為＝ cm. ②當弧CD的長為 cm時， 四邊形ADCB為矩形，理由如下： 如解圖③，當四邊形ADCB是矩形時，易知∠COD＝120°，∴的長為＝ cm. 5．(1)證明：∵OA＝OC，AD＝OC， ∴OA＝AD， ∠AOD＝∠ADO， ∵OD∥AC， ∴∠OAC＝∠AOD， ∴∠OAC＝∠OCA＝∠AOD＝∠ADO， ∴∠AOC＝∠OAD， ∴OC∥AD， ∴四

30、邊形OCAD是平行四邊形； (2)解：①30【解法提示】∵四邊形OCAD是菱形， ∴OC＝AC， 又∵OC＝OA， ∴OC＝OA＝AC， ∴∠AOC＝60°， ∴∠B＝∠AOC＝30°； ②當∠B＝45°時，AD與⊙O相切，理由如下： ∵AD與⊙O相切， ∴∠OAD＝90°， ∵AD∥OC， ∴∠AOC＝90°， ∴∠B＝∠AOC＝45°. 6．(1)證明：連接CO并延長交AB于點E，如解圖①， ∵CD與⊙O相切于點C， ∴CE⊥CD， ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴CE⊥AB， ∴AE＝BE， ∴BC＝AC； (2)解：①當AC＝

31、AP時，△CPA≌△ABC. 理由如下：∵AC＝BC，AC＝AP， ∴∠ABC＝∠BAC，∠APC＝∠ACP， ∵∠ABC＝∠APC， ∴∠BAC＝∠ACP， 在△CPA與△ABC中，， ∴△CPA≌△ABC； 圖① 圖② 第6題解圖 ②當∠ABC的度數(shù)為60°時，四邊形ABCD是菱形．理由如下： 如解圖②，連接OC，OB， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BCD＝120°， ∵CD與⊙O相切于點C， ∴∠OCD＝90°， ∴∠BCO＝30°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝30°， ∴∠ABO＝30°， ∴BO垂直平分AC， ∴AB＝BC， ∴四邊

32、形ABCD是菱形． 7．(1)證明：∵AB＝AC, CD＝CA， ∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD. ∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ABC＋∠AEC＝180°，∠BAE＋∠BCE＝180°. ∵∠CED＋∠AEC＝180°，∠ECD＋∠BCE＝180°， ∴∠CED＝∠ABC，∠ECD＝∠BAE. ∴∠CED＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠AEB， ∴∠CED＝∠AEB. 在△ABE和△CDE中， ∴△ABE≌△CDE. (2)解：①60；②. 8．解：(1)① 連接ON，如解圖． 點N為的中點，∴AN＝MN， ∵OA＝OM，ON＝ON，∴△AON≌△MON.

33、 ∴∠OAN＝∠OMN， ∵CM為⊙O的切線，∴CM⊥OM. 第8題解圖 ∴∠CMN＋∠OMN＝90°， ∵ND⊥AB， ∴∠NAD＋∠AND＝90°， ∴∠AND＝∠CMN， ∵MC∥AB，CD⊥AB， ∴MC⊥ND，即∠NCM＝90°. 又∵AN＝NM，∠ADN＝90°， ∴△AND≌△NMC，∴AD＝CN. ②矩形． (2)120. 9．(1)證明：連接OD， ∵DE是⊙O的切線， ∴OD⊥DE， 第9題解圖 在Rt△ODE和Rt△OBE中， ∴Rt△ODE≌Rt△OBE. ∴∠DOE＝∠BOE＝∠DOB， ∵OA＝OD，∴∠A＝∠A

34、DO＝∠DOB， ∴∠BOE＝∠A， ∴OE∥AD. (2)解：①45°?、?0° 10．(1)證明：∵DE為⊙O的切線， ∴OD⊥DE， ∴∠CDE＝90°， ∵點C為AP的中點， ∴DC⊥AP， ∴∠DCA＝∠DCP＝90°， ∵AB是⊙O直徑， ∴∠APB＝90°， ∴四邊形DEPC為矩形， ∴DC＝EP， 在△DAC和△ECP中， ， ∴△DAC≌△ECP； (2)解：①∵△DAC≌△ECP， ∴AD＝CE，∠DAC＝∠ECP， ∴AD∥CE， ∴四邊形ACED是平行四邊形； ②DF＝AP.理由如下： ∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO，

35、 ∵AD∥CE， ∴∠ADO＝∠DCF， ∴∠DAO＝∠DCF， ∴A，C，F(xiàn)，D四點共圓， ∴＝， ∴AC＝DF， ∵AC＝AP， ∴DF＝AP. 11．(1)證明：BF與⊙A相切，理由如下： ∵BC是⊙A的切線，∠ACB＝90°， ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝∠CAB，∠AFE＝∠FAB， 又∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴∠FAB＝∠CAB， 在△ABC和△ABF中 ， ∴△ABC≌△ABF(SAS)； ∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∵AF是⊙A的半徑， ∴BF與⊙O相切． (2)①解：60°理由如下： 連接CF，如解圖所示，

36、第11題解圖 若四邊形ADFE為菱形，則AE＝EF＝FD＝DA， 又∵CE＝2AE，CE是圓A的直徑， ∴CE＝2EF，∠CFE＝90°， ∴∠ECF＝30°， ∴∠CEF＝60°， ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝∠CAB， ∴∠CAB＝60°； ②4.理由如下： 若四邊形ACBF為正方形，則AC＝CB＝BF＝FA＝4，且AF⊥AE， ∴EF＝＝4. 第12題解圖 12．(1)證明：連接OD， ∵AB＝AC，OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠ODB， ∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC. ∵DF⊥AC，∴DF⊥OD， ∴DF為⊙O的切線． (2)解：①2.5.?、?00. 30