《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第37講 方案設(shè)計型問題講解篇》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第37講 方案設(shè)計型問題講解篇（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第37講　方案設(shè)計型問題 內(nèi)容 特性 方案設(shè)計型問題是指運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識建模的方法，按題目所呈現(xiàn)的要求進(jìn)行計算、論證、選擇、判斷、設(shè)計的一種數(shù)學(xué)試題．方案設(shè)計涉及問題的多解性，以函數(shù)、方程等思想的指導(dǎo)，利用最優(yōu)化方法解決問題. 解題 策略 建立數(shù)學(xué)模型，如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型和幾何模型等，依據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型求解，從而設(shè)計方案. 基本 思想 運(yùn)用方程思想、函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合解決方程或不等式方案設(shè)計問題，函數(shù)方案設(shè)計問題，幾何方案設(shè)計問題. 類型一　利用計算和判斷比較的方案設(shè)計 　某學(xué)校舉行演講比賽，選出了10名同學(xué)擔(dān)任評委，并事先

2、擬定從如下4個方案中選擇合理的方案來確定每個演講者的最后得分(滿分為10分)： 方案1：所有評委所給分的平均數(shù)； 方案2：在所有評委所給分中，去掉一個最高分和一個最低分，然后再計算其余所給分的平均數(shù)； 方案3：所有評委所給分的中位數(shù)； 方案4：所有評委所給分的眾數(shù)． 為了探究上述方案的合理性，先對某個同學(xué)的演講成績進(jìn)行了統(tǒng)計實驗．下面是這個同學(xué)的得分統(tǒng)計圖： (1)分別按上述4個方案計算這個同學(xué)演講的最后得分； (2)根據(jù)(1)中的結(jié)果，請用統(tǒng)計的知識說明哪些方案不適合作為這個同學(xué)演講的最后得分． 【解后感悟】通過計算得出各個方案的數(shù)值，逐一比較；學(xué)會選用適

3、當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量分析問題． 1．一家特色煎餅店提供厚度相同、直徑不同的兩種煎餅，甲種煎餅直徑20厘米賣價10元，乙種煎餅直徑30厘米賣價15元，請問：買哪種煎餅劃算？(　　　　　　　　) A．甲 B．乙 C．一樣 D．無法確定 類型二　利用方程(組)的方案設(shè)計 　某乳制品廠現(xiàn)有鮮牛奶10噸，若直接銷售，每噸可獲利500元；若制成酸奶銷售，每噸可獲利1200元；若制成奶粉銷售，每噸可獲利2000元．該工廠的生產(chǎn)能力是：若制成酸奶，每天可加工鮮牛奶3噸；若制成奶粉，每天可加工鮮牛奶1噸(兩種加工方式不能同時進(jìn)行)．

4、受氣溫條件限制，這批鮮牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完成．為此該廠設(shè)計了以下兩種可行方案： 方案一：4天時間全部用來生產(chǎn)奶粉，其余直接銷售鮮奶； 方案二：將一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成． 你認(rèn)為哪種方案獲利最多，為什么？ 【解后感悟】本題是一元一次方程的應(yīng)用，注意仔細(xì)理解兩種方案的內(nèi)容，在求解方案二的獲利時，要設(shè)出未知數(shù)，利用方程思想求解． 2．某班組織班團(tuán)活動，班委會準(zhǔn)備用15元錢全部用來購買筆記本和中性筆兩種獎品，已知筆記本2元/本，中性筆1元/支，且每種獎品至少買1件． (1)若設(shè)購買筆記本x本，中性筆y支，寫出y與x之間的關(guān)系式；

5、(2)有多少種購買方案？請列舉所有可能的結(jié)果； (3)從上述方案中任選一種方案購買，求買到的中性筆與筆記本數(shù)量相等的概率． 　　　　　　　　 類型三　利用不等式的方案設(shè)計 　(2016·資陽)某大型企業(yè)為了保護(hù)環(huán)境，準(zhǔn)備購買A、B兩種型號的污水處理設(shè)備共8臺，用于同時治理不同成分的污水，若購買A型2臺、B型3臺需54萬元，購買A型4臺、B型2臺需68萬元． (1)求出A型、B型污水處理設(shè)備的單價； (2)經(jīng)核實，一臺A型設(shè)備一個月可處理污水220噸，一臺B型設(shè)備一個月可處理污水190噸，如果該企業(yè)每月的污水處理量不低于1565噸，請你為該企業(yè)設(shè)計一種最省錢的購買方案．

6、 　　　　　　 【解后感悟】此題是一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)已知得出不等式求出所有方案是解題關(guān)鍵． 3．(2017·紹興模擬)某電器超市銷售每臺進(jìn)價分別為200元、170元的A、B兩種型號的電風(fēng)扇，下表是近兩周的銷售情況： 銷售時段 銷售數(shù)量 銷售收入 A種型號 B種型號 第一周 3臺 5臺 1800元 第二周 4臺 10臺 3100元 (進(jìn)價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入－進(jìn)貨成本) (1)求A、B兩種型號的電風(fēng)扇的銷售單價； (2)若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號的電風(fēng)扇共30臺，求A種型號的電風(fēng)扇最多能采購多少臺？ (

7、3)在(2)的條件下，超市銷售完這30臺電風(fēng)扇能否實現(xiàn)利潤為1400元的目標(biāo)？若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由． 　　　　　　 類型四　利用函數(shù)的方案設(shè)計 　某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件． (1)寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大； (3)商場的營銷部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案 方案A：該文具的銷售單價高于進(jìn)價且不超過3

8、0元； 方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元． 請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由． 【解后感悟】本題是二次函數(shù)的應(yīng)用，最大銷售利潤的問題常利用函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值(或最小值)，也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x＝－時取得． 4．(2017·衢州)“五·一”期間，小明一家乘坐高鐵前往某市旅游，計劃第二天租用新能源汽車自駕出游． 根據(jù)以上信息，解答下列問題： (1)設(shè)租車時間為x小時，租用甲公司的車所需費(fèi)用為y1元，租用乙公司的車所需費(fèi)用為y

9、2元，分別求出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式； (2)請你幫助小明計算并選擇哪個出游方案合算． 　　　　　　 　　 5．(2015·瀘州)某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計劃分兩次購進(jìn)A、B兩種花草，第一次分別購進(jìn)A、B兩種花草30棵和15棵，共花費(fèi)675元；第二次分別購進(jìn)A、B兩種花草12棵和5棵．兩次共花費(fèi)940元(兩次購進(jìn)的A、B兩種花草價格均分別相同)． (1)A、B兩種花草每棵的價格分別是多少元？ (2)若購買A、B兩種花草共31棵，且B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍，請你給出一種費(fèi)用最省的方案，并求出該方案所需費(fèi)用． 　　　　　　　　 類型五　利用圖形的

10、方案設(shè)計 　某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備做測量旗桿的數(shù)學(xué)實踐活動，來到旗桿下，發(fā)現(xiàn)旗桿AB頂端A垂下一段繩子ABC如圖．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，原來制定的一系列測量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的繩子和一根皮尺，在不攀爬旗桿的情況下，測量相關(guān)數(shù)據(jù)，就可以計算出旗桿的高度． (1)請你給出具體的測量方案，并寫出推算旗桿高度的過程； (2)推測這個數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組原來制定的一系列測量旗桿的方案是什么？ 【解后感悟】關(guān)于物體的測量是一個實際問題，因此必須考慮實際環(huán)境，結(jié)合實際環(huán)境，充分運(yùn)用所學(xué)知識制定方案，制定方案時要遵循可操作性強(qiáng)、簡單易行原則．第2個問題的測量方案還可有其他的，有

11、興趣的同學(xué)可自行進(jìn)一步探討．對于以上2種測量方案的相關(guān)計算方法，請同學(xué)們自己給出． 6．(2017·鎮(zhèn)江模擬)在棋盤中建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，三顆棋子A，O，B的位置如圖，它們的坐標(biāo)分別是(－1，1)，(0，0)，(1，0)． (1)如圖2，添加棋子C，使四顆棋子A，O，B，C成為一個軸對稱圖形，請在圖中畫出該圖形的對稱軸； (2)在其他格點(diǎn)位置添加一顆棋子P，使四顆棋子A，O，B，P成為軸對稱圖形，請直接寫出棋子P的位置的坐標(biāo)．(寫出2個即可) 7．(2016·海陵模擬)某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造，測得兩直角邊長分別為6m、8m.現(xiàn)要將其擴(kuò)

12、建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊長的直角三角形．請你設(shè)計出所有合適的方案，畫出草圖，并求出擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的面積． 【探索研究題】 要在一塊長52m，寬48m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路．下面分別是小亮和小穎的設(shè)計方案． (1)求小亮設(shè)計方案中甬路的寬度x； (2)求小穎設(shè)計方案中四塊綠地的總面積(小穎設(shè)計方案中的x與小亮設(shè)計方案中的x取值相同)． 【方法與對策】本題是一元二次方程的應(yīng)用，特別是圖形的面積問題更是近幾年中考中考查一元二次方程的應(yīng)用的主要題型．該題型是實際應(yīng)用和圖形變換相結(jié)合，是中考命題的方式之

13、一． 【忽視變量前系數(shù)，導(dǎo)致解答不全而出錯】 為了迎接“五·一”小長假的購物高峰，某運(yùn)動品牌服裝專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種服裝，甲種服裝每件進(jìn)價180元，售價320元；乙種服裝每件進(jìn)價150元，售價280元． (1)若該專賣店同時購進(jìn)甲、乙兩種服裝共200件，恰好用去32400元，求購進(jìn)甲、乙兩種服裝各多少件？ (2)該專賣店為使甲、乙兩種服裝共200件的總利潤(利潤＝售價－進(jìn)價)不少于26700元，且購進(jìn)甲服裝不超過80件，則該專賣店有幾種進(jìn)貨方案？ (3)在(2)的條件下，專賣店準(zhǔn)備在5月1日當(dāng)天對甲種服裝進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種服裝每件優(yōu)惠a(0＜a＜20)元出售，乙種服

14、裝價格不變，那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？ 參考答案 第37講　方案設(shè)計型問題 【例題精析】 例1　(1)方案1最后得分：×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4. (2)因為方案1中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水平”，所以方案1不適合作為最后得分的方案；又因為方案4中的眾數(shù)有兩個，從而使眾數(shù)失去了實際意義，所以方案4不適合作為最后得分

15、的方案． 例2　方案一獲利：4×2000＋6×500＝11000(元)．方案二：設(shè)制奶粉x天，則1×x＋(4－x)×3＝10，解得x＝1天．故1×1×2000＋3×3×1200＝12800(元)．故方案二獲利最多． 　例3　(1)設(shè)A型污水處理設(shè)備的單價為x萬元，B型污水處理設(shè)備的單價為y萬元，根據(jù)題意可得：，解得：.答：A型污水處理設(shè)備的單價為12萬元，B型污水處理設(shè)備的單價為10萬元； (2)設(shè)購進(jìn)a臺A型污水處理器，根據(jù)題意可得：220a＋190(8－a)≥1565，解得：a≥1.5，∵A型污水處理設(shè)備單價比B型污水處理設(shè)備單價高，∴A型污水處理設(shè)備買越少，越省錢，∴購進(jìn)2臺A型污

16、水處理設(shè)備，購進(jìn)6臺B型污水處理設(shè)備最省錢．　 例4　(1)w＝(x－20)(250－10x＋250)＝－10x2＋700x－10000；　(2)w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250所以，當(dāng)x＝35時，w有最大值2250，即銷售單價為35元時，該文具每天的銷售利潤最大；(3)方案A：由題可得20＜x≤30，因為a＝－10＜0，對稱軸為x＝35，拋物線開口向下，在對稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，所以，當(dāng)x＝30時，w取最大值為2000元，方案B：由題意得解得：45≤x≤49，在對稱軸右側(cè)，w隨x的增大而減小，所以，當(dāng)x＝45時，w取最大值為1250元，因為200

17、0元＞1250元，所以選擇方案A.　 例5　(1)測量方案設(shè)計如下：①測量繩子比旗桿多出的部分BC＝am；②把繩子ABC拉緊到地面D處如圖1，測量B到D的距離BD＝bm.推算過程：設(shè)旗桿的高度為xm，則AD是(x＋a)m.在直角△ABD中，根據(jù)AB2＋BD2＝AD2得x2＋b2＝(x＋a)2，x2＋b2＝x2＋a2＋2ax，解得x＝. (2)這個數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組原來制定的測量旗桿的方案可能有以下幾個： 【變式拓展】 1． B　 2. (1)根據(jù)題意得：2x＋y＝15，∴y與x之間的關(guān)系式為y＝15－2x. (2)購買方案：x＝1，y＝13；x＝2，y＝11；x＝3，y＝9

18、；x＝4，y＝7；x＝5，y＝5；x＝6，y＝3，x＝7，y＝1，∴共有7種購買方案． (3)∵買到的中性筆與筆記本數(shù)量相等的只有1種情況，∴買到的中性筆與筆記本數(shù)量相等的概率為：.　3.(1)設(shè)A、B兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價分別為x元、y元，得：解得：答：A、B兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價分別為250元、210元； (2)設(shè)采購A種型號電風(fēng)扇a臺，依題意得：200a＋170(30－a)≤5400，得：a≤10.答：超市最多采購A種型號電風(fēng)扇10臺時，采購金額不多于5400元；(3)依題意有：(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400，解得：a＝20，∵a＞10，∴在(2)

19、的條件下超市不能實現(xiàn)利潤1400元的目標(biāo)．　 4. (1)設(shè)y1＝k1x＋80，把點(diǎn)(1，95)代入，可得95＝k1＋80，解得k1＝15，∴y1＝15x＋80(x≥0)；設(shè)y2＝k2x，把(1，30)代入，可得30＝k2，即k2＝30，∴y2＝30x(x≥0)； (2)當(dāng)y1＝y(tǒng)2時，15x＋80＝30x，解得x＝；當(dāng)y1＞y2時，15x＋80＞30x，解得x＜；當(dāng)y1＜y2時，15x＋80＜30x，解得x＞；∴當(dāng)租車時間為小時，選擇甲乙公司一樣合算；當(dāng)租車時間小于小時，選擇乙公司合算；當(dāng)租車時間大于小時，選擇甲公司合算．　 5. (1)設(shè)A種花草每棵的價格x元，B種花草每棵的價格y元

20、，根據(jù)題意得：，解得：，∴A種花草每棵的價格是20元，B種花草每棵的價格是5元． (2)設(shè)A種花草的數(shù)量為m株，則B種花草的數(shù)量為(31－m)株，∵B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍，∴31－m＜2m，解得：m＞，∵m是正整數(shù)，∴m最小值＝11，設(shè)購買樹苗總費(fèi)用為W＝20m＋5(31－m)＝15m＋155，∵k＞0，∴W隨m的減小而減小，當(dāng)m＝11時，W最小值＝15×11＋155＝320(元)．答：購進(jìn)A種花草的數(shù)量為11株、B種20株，費(fèi)用最??；最省費(fèi)用是320元．　 6.(1)如圖，答案不唯一；　(2)(2，1)，(0，－1)． 7．如圖1所示：S△ABD＝×8×12＝48(

21、m2)；如圖2所示：S△ABD＝×8×10＝40(m2)；如圖3所示：在Rt△ACD中，AC2＋DC2＝AD2，即82＋x2＝(x＋6)2，解得：x＝，故S△ABD＝×8×＝(m2)． 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)根據(jù)小亮的方案表示出矩形的長和寬，利用矩形的面積公式列出方程求解即可．根據(jù)小亮的設(shè)計方案列方程得：(52－x)(48－x)＝2300，解得：x＝2或x＝98(舍去)，∴小亮設(shè)計方案中甬道的寬度為2m； (2)求得甬道的寬后利用平行四邊形的面積計算方法求得兩個陰影部分面積的和即可．作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分別為I，J，∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠ADI＝60°，

22、∵BC∥AD，∴四邊形ADCB為平行四邊形，∴BC＝AD，由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝2＝AD，在Rt△ADI中，AI＝2sin60°＝.∴小穎設(shè)計方案中四塊綠地的總面積為52×48－52×2－48×2＋()2＝2299平方米． 【錯誤警示】(1)設(shè)購進(jìn)甲種服裝x件，則乙種服裝是(200－x)件，根據(jù)題意得：180x＋150(200－x)＝32400，解得：x＝80，200－x＝200－80＝120(件)，則購進(jìn)甲、乙兩種服裝分別為80件、120件； (2)設(shè)購進(jìn)甲種服裝y件，則乙種服裝是(200－y)件，根據(jù)題意得：(320－180)y＋(280－150)(200－y)≥26700，解得：y≥70，而y≤80，∴70≤y≤80，又∵y是正整數(shù)，∴共有11種方案； (3)設(shè)總利潤為W元，W＝(140－a)y＋130(200－y)，即w＝(10－a)y＋26000.①當(dāng)0＜a＜10時，10－a＞0，W隨y增大而增大，∴當(dāng)y＝80時，W有最大值，即此時購進(jìn)甲種服裝80件，乙種服裝120件；②當(dāng)a＝10時，(2)中所有方案獲利相同，所以按哪種方案進(jìn)貨都可以；③當(dāng)10＜a＜20時，10－a＜0，W隨y增大而減?。?dāng)y＝70時，W有最大值，即此時購進(jìn)甲種服裝70件，乙種服裝130件． 11