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第六章空間與圖形 6 1視圖與投影 幾何體及其展開圖 中考數學 浙江專用 考點一視圖與投影及相關計算 A組2014 2018年浙江中考題組 五年中考 1 2018溫州 2 4分 移動臺階如圖所示 它的主視圖是 答案B 方法總結本題考查了簡單幾何體的三視圖 從正面看到的圖形是主視圖 2 2018寧波 6 4分 如圖是由6個大小相同的立方體組成的幾何體 在這個幾何體的三視圖中 是中心對稱圖形的是 A 主視圖B 左視圖C 俯視圖D 主視圖和左視圖 答案C三視圖分別如下 俯視圖是中心對稱圖形 故選C 3 2017溫州 3 4分 某運動會頒獎臺如圖所示 它的主視圖是 答案C由三視圖的定義知從主視方向所觀察到的圖形為主視圖 故選C 4 2017湖州 8 4分 如圖是一個幾何體的三視圖 則該幾何體的側面積是 A 200cm2B 600cm2C 100 cm2D 200 cm2 答案D通過三視圖知原幾何體是一個底面直徑為10cm 高為20cm的圓柱體 S側 10 20 200 cm2 故選D 5 2017麗水 3 3分 如圖是底面為正方形的長方體 下面有關它的三個視圖的說法正確的是 A 俯視圖與主視圖相同B 左視圖與主視圖相同C 左視圖與俯視圖相同D 三個視圖都相同 答案B俯視圖是一個正方形 主視圖是一個長方形 左視圖是一個長方形 故A C D錯誤 故選B 6 2017寧波 5 4分 如圖所示的幾何體的俯視圖為 答案D俯視圖是指從上往下看所得到的平面圖形 由此可得出正確答案為D 7 2016杭州 3 3分 下列選項中 如圖所示的圓柱的三視圖畫法正確的是 答案A題圖是橫放著的一個圓柱體 它的主視圖是一個長方形 俯視圖是一個與主視圖全等的長方形 它的左視圖是一個圓 不帶圓心 故選A 8 2016湖州 3 3分 由六個相同的立方體搭成的幾何體如圖所示 則它的主視圖是 答案A根據立方體的放置方式以及主視方向可知 選項A中圖形是該幾何體的主視圖 故選A 9 2016金華 4 3分 從一個棱長為3的大立方體中挖去一個棱長為1的小立方體 得到的幾何體如圖所示 則該幾何體的左視圖正確的是 答案C從左邊看 挖去的小立方體的輪廓線被擋住了 故畫左視圖時 其對應的部分應用虛線表示 故排除A B 對于D項 小立方體的輪廓線不符合 寬相等 高平齊 的原則 故D項錯誤 故選C 10 2016寧波 5 4分 如圖所示的幾何體的主視圖為 答案B根據主視圖的定義可知選B 11 2016衢州 3 3分 下圖是由兩個小正方體和一個圓錐組成的立體圖形 其俯視圖是 答案C從上面看 看到圓錐是 看到兩個小正方體是相連的兩個小正方形 故選C 12 2016溫州 3 4分 三本相同的書本疊成如圖所示的幾何體 它的主視圖是 答案B主視圖是從主視方向看所得到的圖形 易知選B 13 2015麗水 3 3分 由4個相同小立方體搭成的幾何體如圖所示 則它的主視圖是 答案A找到從主視方向看所得到的圖形即可 從主視方向看 易得有兩層 下層有2個正方形 上層有一個正方形且在左邊 故選A 14 2015臺州 2 4分 下列四個幾何體中 左視圖為圓的是 答案DA的左視圖是矩形 B的左視圖是梯形 C的左視圖是等腰三角形 D的左視圖為圓 故選D 15 2015溫州 2 4分 將一個長方體內部挖去一個圓柱 如圖所示 它的主視圖是 答案A 16 2015紹興 3 4分 由6個相同的立方體搭成的幾何體如圖所示 則它的主視圖是 答案C根據主視圖的定義可知選C 17 2015衢州 2 3分 一個幾何體零件如圖所示 則它的俯視圖是 答案C這個幾何體零件的俯視圖是正中間含一個小正方形的矩形 所以俯視圖是選項C中的圖形 18 2014杭州 2 3分 已知某幾何體的三視圖如圖所示 單位 cm 則該幾何體的側面積等于 A 12 cm2B 15 cm2C 24 cm2D 30 cm2 答案B由三視圖可知這個幾何體是圓錐 高是4cm 底面半徑是3cm 所以母線長是 5cm 側面積 3 5 15 cm2 故選B 19 2014麗水 衢州 2 3分 下列四個幾何體中 主視圖為圓的是 答案C易知球的主視圖是圓 而其他三個幾何體的主視圖均不為圓 故選C 1 2016紹興 4 4分 下圖是一個正方體 則它的表面展開圖可以是 考點二幾何體及其展開圖 答案BA選項 出現了 田 字 不是正方體展開圖 錯誤 B選項 可以圍成一個正方體 正確 C選項 折疊時會有兩個小正方形重疊 錯誤 D選項 出現了 田 字 不是正方體展開圖 錯誤 故選B 知識歸納熟練掌握正方體的各種展開圖是解決此類問題的關鍵 正方體展開圖有下列四種類型 第一類 141 型 特點 四個連成一排 兩側各有一個正方形 第二類 132 型 特點 三個連成一排 兩側分別連著1個和2個正方形 第三類 222 型 特點 兩個正方形連成一排的兩側又各有兩個連成一排的正方形 第四類 33 型 特點 三個正方形連成一排的一側還有三個連成一排的正方形 注意 上面幾種展開圖中 不會出現兩種圖形 凹 字形和 田 字形 2 2015金華 23 10分 圖1 圖2為同一長方體房間的示意圖 圖3為該長方體的表面展開圖 1 蜘蛛在頂點A 處 蒼蠅在頂點B處時 試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅 沿墻面爬行的最近路線 蒼蠅在頂點C處時 圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線 往天花板ABCD爬行的最近路線A GC和往墻面BB C C爬行的最近路線A HC 試通過計算判斷哪條路線更近 2 在圖3中 半徑為10dm的 M與D C 相切 圓心M到邊CC 的距離為15dm 蜘蛛P在線段AB上 蒼蠅Q在 M的圓周上 線段PQ為蜘蛛爬行路線 若PQ與 M相切 試求PQ的長度的范圍 解析 1 如圖 連接A B 線段A B就是所求作的最近路線 兩條爬行路線如圖所示 由題意可得Rt A C C2中 路線A HC2的長 dm Rt A B C1中 路線A GC1的長 dm 路線A GC1更近 2 連接MQ PM PQ為 M的切線 點Q為切點 MQ PQ 在Rt PQM中 有PQ2 PM2 QM2 PM2 100 當MP AB時 MP最短 PQ取得最小值 如圖 此時MP 30 20 50dm PQ 20 dm 當點P與點A重合時 MP最長 PQ取得最大值 如圖 過點M作MN AB 垂足為N 由題意可得PN 25dm MN 50dm Rt PMN中 PM2 PN2 MN2 252 502 Rt PQM中 PQ 55 dm 綜上所述 PQ長度的范圍是20 dm PQ 55 dm 思路分析 1 考慮 兩點之間 線段最短 將長方體展開 運用勾股定理求出兩路線長 然后進行比較 2 構建直角三角形 分析出PQ取最值時的情形 進而求范圍 1 2018內蒙古包頭 2 3分 如圖 是由幾個大小相同的小立方塊所搭幾何體的俯視圖 其中小正方形中的數字表示在該位置的小立方塊的個數 則這個幾何體的主視圖是 B組2014 2018年全國中考題組 考點一視圖與投影及相關計算 答案C由幾何體的俯視圖各處所標的小立方塊的個數知 該幾何體有2列 2排 左列第二排和右列第一排分別是2層 其主視圖為選項C中的圖形 故選C 2 2017安徽 3 4分 如圖 一個放置在水平實驗臺上的錐形瓶 它的俯視圖為 答案B從上往下看只有B符合 3 2015陜西 20 7分 晚飯后 小聰和小軍在社區(qū)廣場散步 小聰問小軍 你有多高 小軍一時語塞 小聰思考片刻 提議用廣場照明燈下的影長及地磚長來測量小軍的身高 于是 兩人在燈下沿直線NQ移動 如圖 當小聰正好站在廣場的A點 距N點5塊地磚長 時 其影長AD恰好為1塊地磚長 當小軍正好站在廣場的B點 距N點9塊地磚長 時 其影長BF恰好為2塊地磚長 已知廣場地面由邊長為0 8米的正方形地磚鋪成 小聰的身高AC為1 6米 MN NQ AC NQ BE NQ 請你根據以上信息 求出小軍身高BE的長 結果精確到0 01米 解析由題意得 CAD MND 90 CDA MDN CAD MND 2分 MN 9 6 3分 又 EBF MNF 90 EFB MFN EBF MNF 5分 EB 1 75 小軍的身高約為1 75米 7分 1 2018河南 3 3分 某正方體的每個面上都有一個漢字 如圖是它的一種展開圖 那么在原正方體中 與 國 字所在面相對的面上的漢字是 A 厲B 害C 了D 我 考點二幾何體及其展開圖 答案D根據正方體的展開圖的特點可知 與 國 字所在面相對的面上的漢字是 我 故選D 2 2017內蒙古包頭 4 3分 將一個無蓋正方體形狀盒子的表面沿某些棱剪開 展開后不能得到的平面圖形是 答案C根據正方體表面展開圖的特點知C不可能 故選C 方法規(guī)律常見的正方體的展開圖有以下幾種形狀 3 2015山東聊城 9 3分 圖 1 是一個小正方體的表面展開圖 小正方體從圖 2 所示的位置依次翻到第1格 第2格 第3格 第4格 這時小正方體朝上一面的字是 A 夢B 水C 城D 美 答案A由題圖 1 可得 中 和 美 相對 國 和 水 相對 夢 和 城 相對 由題圖 2 可得 小正方體從題圖 2 所示的位置翻到第1格時 城 在上面 翻到第2格時 美 在上面 翻到第3格時 水 在上面 翻到第4格時 夢 在上面 故選A 4 2014河北 10 3分 圖1是邊長為1的六個小正方形組成的圖形 它可以圍成圖2的正方體 則圖1中小正方形頂點A B在圍成的正方體上的距離是 A 0B 1C D 答案B不妨自己動手操作一下 若題圖1中第二排第二個小正方形為正方體的正面 則第三排的小正方形就是正方體的底面 此時 點B與點A在同一條棱上 點A B的距離為1 故選B 5 2018湖北黃岡 13 3分 如圖 圓柱形玻璃杯高為14cm 底面周長為32cm 在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜 此時一只螞蟻正好在杯外壁 離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處 則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為cm 杯壁厚度不計 答案20 解析如圖 將圓柱側面展開 延長AC至A 使A C AC 連接A B 則線段A B的長為螞蟻到蜂蜜的最短距離 過B作BB AD 垂足為B 在Rt A B B中 B B 16 A B 14 5 3 12 所以A B 20 即螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為20cm 6 2015福建福州 15 4分 一個工件 外部是圓柱體 內部凹槽是正方體 如圖所示 其中 正方體一個面的四個頂點都在圓柱底面的圓周上 若圓柱底面周長為2 cm 則正方體的體積為cm3 答案2 解析由題意可知圓柱底面的直徑為2cm 則圓柱底面內接正方形的對角線長為2cm 邊長為cm 故正方體的體積是2cm3 1 2017河北 8 3分 如圖是由相同的小正方體木塊粘在一起的幾何體 它的主視圖是 C組教師專用題組 考點一視圖與投影及相關計算 答案A從正面看易得共有兩層 下層有3個正方形 上層有兩個小正方形 故選A 2 2016北京 5 3分 下圖是某個幾何體的三視圖 該幾何體是 A 圓錐B 三棱錐C 圓柱D 三棱柱 答案D由主視圖是矩形 知選項A B不符合題意 由俯視圖是三角形 知選項C不符合題意 故選D 3 2016天津 5 3分 下圖是一個由4個相同的正方體組成的立體圖形 它的主視圖是 主視方向 答案A根據主視圖的定義可知選A 4 2015甘肅蘭州 24 8分 如圖 在一面與地面垂直的圍墻的同側有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD 它們都與地面垂直 為了測得電線桿的高度 一個小組的同學進行了如下測量 某一時刻 在太陽光照射下 旗桿落在圍墻上的影子EF的長度為2米 落在地面上的影子BF的長為10米 而電線桿落在圍墻上的影子GH的長度為3米 落在地面上的影子DH的長為5米 依據這些數據 該小組的同學計算出了電線桿的高度 1 該小組的同學在這里利用的是投影的有關知識進行計算的 2 試計算出電線桿的高度 并寫出計算的過程 解析 1 平行 2 如圖 連接CG AE 過點E作EM AB于M 過點G作GN CD于N 則MB EF 2 ND GH 3 ME BF 10 NG DH 5 所以AM 10 2 8 由平行投影可知 即 解得CD 7 即電線桿的高度為7米 1 2016河北 8 3分 圖1和圖2中所有的正方形都全等 將圖1的正方形放在圖2的 某一位置 所組成的圖形圍成正方體的位置是 A B C D 考點二幾何體及其展開圖 答案A將題圖1的正方形放在 處時 不能圍成正方體 2 2014貴州貴陽 4 3分 一個正方體的表面展開圖如圖所示 六個面上各有一字 連起來的意思是 預祝中考成功 把它折成正方體后 與 成 相對的字是 A 中B 功C 考D 祝 答案B由題意可知 與 成 相對的字是 功 與 中 相對的字是 考 與 祝 相對的字是 預 故選B 評析本題考查學生的空間想象能力 屬容易題 1 2018湖州二模 如圖是一個直五棱柱的主視圖和左視圖 則該五棱柱的表面積為 A 52B 56C 28 4D 52 4 三年模擬 A組2016 2018年模擬 基礎題組 考點一視圖與投影及相關計算 答案D 2 2018麗水二模 已知直三棱柱的兩個底面均是等腰直角三角形 其三視圖及相關尺寸如圖所示 則該直三棱柱的表面積是 A 6 4B 4 4C 4 2D 2 答案A由題意可知三棱柱的底面是直角邊長為的等腰直角三角形 高為2 所以其表面積為2S底 S側 2 2 2 2 6 4 3 2017寧波七校聯(lián)考 4 如圖是由五個相同的小立方塊搭成的幾何體 則它的俯視圖是 答案A 評析本題考查了三視圖的知識 俯視圖是從物體的上面看得到的視圖 4 2017溫州五校聯(lián)考 7 如圖是一個直三棱柱的立體圖和主視圖 俯視圖 根據立體圖上的尺寸標注 它的左視圖的面積為 A 24B 30C 18D 14 4 答案D易知俯視圖是以3 4 5為三邊長的直角三角形 則長為5的邊上高的為 2 4 由題圖可知左視圖是一個相鄰兩邊長為6 2 4的矩形 所以左視圖的面積為6 2 4 14 4 故選D 5 2016杭州下沙一模 5 有一種圓柱體茶葉筒如圖所示 則它的俯視圖是 答案A 6 2016杭州江干一模 4 由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的俯視圖如圖 小正方形中的數字表示該位置的小正方體的個數 則這個幾何體的主視圖是 答案D從俯視圖看 搭成的幾何體的主視圖共有4列 從左往右的第一列和第四列均只有一層 第二列和第三列均有兩層 故選D 1 2016杭州拱墅一模 1 圓錐的側面展開圖是 A 扇形B 等腰三角形C 圓D 矩形 考點二幾何體及其展開圖 答案A圓錐的側面展開圖是扇形 2 2018五區(qū)聯(lián)考二模 14 在Rt ABC中 ABC 90 AB 2 BC 1 把 ABC分別繞直線AB和BC旋轉一周 所得幾何體的全面積分別記作S1 S2 則S1 S2 答案 解析繞Rt ABC的某直角邊所在直線旋轉一周所得的幾何體是圓錐 求圓錐的全面積 以AB所在直線為軸旋轉一周所得幾何體的全面積S1 r2 rl 1 以BC所在直線為軸旋轉一周所得幾何體的全面積S2 r2 rl 4 2 4 2 S1 S2 1 2016杭州西湖一模 3 如圖 一個幾何體由5個大小相同 棱長為1的小正方體搭成 下列關于這個幾何體的說法正確的是 A 主視圖的面積為5B 左視圖的面積為3C 俯視圖的面積為3D 三種視圖的面積都是4 B組2016 2018年模擬 提升題組 時間 20分鐘分值 25分 一 選擇題 共3分 答案B主視圖的面積是4 左視圖的面積是3 俯視圖的面積是4 A C D選項都是錯的 故選B 評析此題考查由小正方體組合而成的立體圖形的三視圖及其面積的計算 較簡單 2 2018濱江二模 21 1 圖1是一家唇膏賣家的包裝盒 賣家采用了正三棱柱形盒子 里面剛好橫放一支圓柱形唇膏 圖2是其橫截面 ABC為正三角形 求這個包裝盒空間的最大利用率 圓柱形唇膏的體積和包裝盒容積的比 2 一個長 寬 高分別為l b h的長方體紙箱裝滿了一層高為h的圓柱形易拉罐 如圖3 求紙箱空間的利用率 易拉罐總體積和紙箱容積的比 3 比較上述兩種包裝方式的空間利用率哪個大 圖1圖2圖3 二 解答題 共22分 解析 1 由題意知 O是 ABC的內切圓 D為切點 連接OD OC 設 O半徑為r 包裝盒長度為h 則CD r BC 2r 則圓柱形唇膏的體積和包裝盒的體積比為 2 設易拉罐底面半徑為r 則易拉罐總體積和紙箱容積的比為 3 1 第二種包裝方式的空間利用率大 3 2016余姚模擬 23 圖1是一種包裝盒的表面展開圖 將它圍起來可得到一個幾何體的模型 1 請說出這個幾何體模型的最確切的名稱 2 圖2是根據a h的取值畫出的幾何體的主視圖和俯視圖 圖中粗線表示的圖形 請在網格中畫出該幾何體的左視圖 3 在 2 的條件下 已知h 20cm 求該幾何體的表面積 解析 1 這個幾何體模型的最確切的名稱是直三棱柱 2 如圖所示 3 由 2 知a h a 又h 20cm a 10cm S表 10 2 2 2 10 20 202 600 400 cm2