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第六章彎曲應(yīng)力 6 1梁的彎曲 1 橫力彎曲 橫截面上既有Q又有M的情況 如AC DB段 2 純彎曲 某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時 該段梁的變形稱為純彎曲 如CD段 3 梁的純彎曲實驗 1 現(xiàn)象 橫向線a b變形后仍為直線 但有轉(zhuǎn)動 縱向線變a a變?yōu)榍€ 且上面壓縮下面拉伸 橫向線與縱向線變形后仍垂直 2 概念 中性層 梁內(nèi)有一層纖維既不伸長也不縮短 因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力 此層纖維稱中性層 中性軸 中性層與橫截面的交線 6 2純彎曲時的正應(yīng)力 1 變形幾何關(guān)系 從梁中截取出長為dx的一個微段 橫截面選用如圖所示的 坐標系 圖中 y軸為橫截面的對稱軸 z軸為中性軸 橫截面間相對轉(zhuǎn)過的角度為 中性層 曲率半徑為 距中性層為y 處的任一縱線 縱向纖維 b b 為圓弧曲線 而其線應(yīng)變?yōu)?因此 縱bb的伸長為 梁的縱向纖維間無擠壓 只是發(fā)生簡單拉伸或壓縮 當橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的比例極限時 可由虎克定律得到橫截面上坐標為y處各點的正應(yīng)力為 3 靜力關(guān)系 截面上內(nèi)力系簡化為三個內(nèi)力分量 即平行 x軸的軸力N 對Z軸的力偶矩MZ 和對軸的力偶矩My 2 物理關(guān)系 考慮左側(cè)平衡 得 橫截面上的內(nèi)力系最終歸結(jié)為一個力偶矩 式中積分 上式可寫成為 稱為梁的抗彎剛度 將該式代入 即可得到彎曲時梁的 橫截面上的正應(yīng)力計算公式 即以梁的中性層為界 梁的凸出一側(cè)受拉壓力 凹 入的一側(cè)受壓 則截面上的最大正應(yīng)力為 6 3橫力彎曲時的正應(yīng)力 1 橫力彎曲時的正應(yīng)力 橫力彎曲時的細長梁 橫截面將不在保持為平面 縱向纖維間的正應(yīng)力也存在 但用純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力計算公式 能夠滿足精度的要求 橫力彎曲時 彎矩隨截面位置變化 一般情況下 在彎矩最大的截面上離中性軸最遠處發(fā)生最大應(yīng)力 有公式 引入符號 截面圖形的抗截面模量 強度條件為 則 高為h 寬為b的矩形截面 直徑為 的圓截面 例受均布載荷作用的簡支梁如圖所示 試求 1 1 1截面上1 2兩點的正應(yīng)力 2 此截面上的最大正應(yīng)力 3 全梁的最大正應(yīng)力 解 畫M圖求截面彎矩 求應(yīng)力 6 4彎曲切應(yīng)力 橫力彎曲的梁截面上有彎矩還有剪力 剪力Q是與截面相切的內(nèi)力系的合力 研究方法 分離體平衡 1 矩形截面中的彎曲切應(yīng)力 在梁上取微段dx 在微段上再取一塊如圖 列平衡方程 1 2 3 3 帶入 1 2 得 由剪應(yīng)力互等得 于是 并 時有 工字形截面其彎曲剪應(yīng)力計算與矩形截面梁類似 仍然沿用矩形截面梁彎曲剪應(yīng)力計算公式 將此式代入彎曲剪應(yīng)力公式 可得腹板上彎曲剪應(yīng)力的計算公式 2 工字鋼截面 將y 0和y h 2分別帶入上式 得 3 圓形截面梁 半個圓截面對中性軸的靜矩 此外 將上式帶入 得 6 5梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件 提高彎曲強度的措施 梁在彎曲時 橫截面上一部分點受拉應(yīng)力 另一部分點受壓應(yīng)力 對于低碳鋼等這一類塑性材料 其抗拉和抗壓能力相同 為了使橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時達到許用應(yīng)力 常將這種梁做成矩形 圓形和工字形等對稱于中性軸的截面 對于拉壓強度不等的材料 拉壓應(yīng)力均不應(yīng)該超過各自的許用應(yīng)力 于是強度條件為 1 彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件 例求T形截面梁的最大切應(yīng)力 解 1 求支反力 2 作剪力圖 3 求最大切應(yīng)力 6 5梁的截面形狀優(yōu)化 對于寬b 高為h的矩形 抗彎截面模量 因此 高度越大 越大 在外邊緣達到許用應(yīng)力時 中性軸附近的應(yīng)力很小 造成材料的浪費 例如 圓形截面 理想的情況是將面積之半分布于距中性軸 處 越小 為 a 塑性材料 上 下對稱抗彎更好 抗扭差 b 脆性材料 6 6等強度梁 截面沿桿長變化 恰使每個截面上的正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力 這樣的變截面梁稱為等強度梁 由 得 若圖示懸臂梁為等強度梁 等寬度h 高度為x的函數(shù) b b x 則 得出 按剪切強度確定截面寬度的最小值 由于變截面梁并不節(jié)省材料 且加工麻煩 因此采用階梯梁 加工方便