《浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第七章 數(shù)學思想與開放探索問題 第41講 課本題改編型問題講解篇》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第七章 數(shù)學思想與開放探索問題 第41講 課本題改編型問題講解篇(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第41講 課本題改編型問題
內容
特性
課本中例題、習題是針對教材內容而設置,具有示范性、典型性和代表性,例題、習題是學業(yè)考試試題和模擬試題編制的題源,這種“源于課本,又高于課本”的考題,既立足教材,又遷移了教材中解決問題的基本思想和方法,對教材中問題的適當拓展或延伸,改變題目的原有呈現(xiàn)形式,實現(xiàn)問題的推陳出新.
解題
策略
通過課本中例題、習題的基本解題思路和改編后問題的結構去進一步探索,結合縱向、橫向思考,特殊到一般等數(shù)學方法.
基本思想
類比思想、特殊到一般、運動變換思想體現(xiàn)較多.
類型一 以題改題-情景不變,內容改變
課本的作業(yè)題中有這
2、樣一道題:把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀,分成3張小紙片,使每張小紙片都是等腰三角形,你能辦到嗎?請畫示意圖說明剪法.
我們有多少種剪法,圖1是其中的一種方法:
定義:如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形,我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.
(1)請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線,并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù);(若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形,則視為同一種)
(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分線,點D在BC邊上,點E在AC邊上,且AD=BD,DE=CE,設∠C=x°,試畫出示意圖,并求出x所有可
3、能的值;
(3)如圖3,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,請畫出△ABC的三分線,并求出三分線的長.
【解后感悟】本題的母題在浙教版教材八上第63頁探究活動.問題通過課本題再賦予新的定義,進行了類比探究,豐富問題內含.考查了學生學習的理解能力及動手創(chuàng)新能力,知識方面重點考查三角形內角、外角間的關系及等腰三角形知識,是一道體現(xiàn)能力的題目.
(浙教版教材八上,第86頁第16題)
1.已知△ABC中,AB=AC,點E、F分別是直線BC,AC上的點,直線AE、BF相交于點P,且CF=k·BE,∠BAC=α.
(1)若點E、F分別是邊BC,CA上的點.
①如圖1
4、,k=1,α=60°,求∠APF的度數(shù);
②如圖2,k=,α=120°,求∠APF的度數(shù);
(2)如圖3,若點E在邊BC上,點F在CA的延長線上,k=,α=120°,求∠APF的度數(shù).
類型二 以題生題-借助習題,拓展問題
(2015·溫州)各頂點都在方格紙格點(橫豎格子線的交錯點)上的多邊形稱為格點多邊形.如何計算它的面積?奧地利數(shù)學家皮克(G.Pick,1859~1942)證明了格點多邊形的面積公式:S=a+b-1,其中a表示多邊形內部的格點數(shù),b表示多邊形邊界上的格點數(shù),S表示多邊形的面積.如圖,a=4,b=6,S=4+×6-1=6.
(1)請在圖1
5、中畫一個格點正方形,使它內部只含有4個格點,并寫出它的面積;
(2)請在圖2中畫一個格點三角形,使它的面積為,且每條邊上除頂點外無其他格點.
【解后感悟】本題的母題在浙教版教材八下第103頁課題學習.本題是應用與設計作圖,關鍵是理解皮克公式,根據(jù)題意求出a、b的值.
(浙教版教材八下,第132頁第11題)
2.(2017·湖州)已知正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.
(1)如圖1,E,G分別是OB,OC上的點,CE與DG的延長線相交于點F.若DF⊥CE,求證:OE=OG;
(2)如圖2,H是BC上的點,過點H作EH⊥BC,交線段OB于點E,連結DH交C
6、E于點F,交OC于點G.若OE=OG,
①求證:∠ODG=∠OCE;
②當AB=1時,求HC的長.
類型三 借景編題-利用材料,設置問題
如圖的一座拱橋,當水面寬AB為12m時,橋洞頂部離水面4m,已知橋洞的拱形是拋物線,以水平方向為x軸,建立平面直角坐標系,若選取點A為坐標原點時的拋物線解析式是y=-(x-6)2+4,則選取點B為坐標原點時的拋物線解析式是________________________________________________________________________.
【解后感悟】本題的母題在浙教版教材九上第17頁探究活動.此題
7、主要考查了二次函數(shù)的應用,利用頂點式求出函數(shù)解析式是解題關鍵.
(浙教版教材九下,第10頁第5題)
3.(2015·衢州)如圖,已知“人字梯”的5個踩檔把梯子等分成6份,從上往下的第二個踩檔與第三個踩檔的正中間處有一條60cm長的綁繩EF,tanα=,則“人字梯”的頂端離地面的高度AD是( )
A.144cm B.180cm C.240cm D.360cm
類型四 多題聯(lián)題-利用習題,組合編題
已知甲、
8、乙兩地相距90km,A,B兩人沿同一公路從甲地出發(fā)到乙地,A騎摩托車,B騎電動車,圖中DE,OC分別表示A,B離開甲地的路程s(km)與時間t(h)的函數(shù)關系的圖象,根據(jù)圖象解答下列問題.
(1)A比B后出發(fā)幾個小時?B的速度是多少?
(2)在B出發(fā)后幾小時,兩人相遇?
【解后感悟】本題的母題在浙教版教材八上第166頁第2題和第165頁例2.本題考查利用一次函數(shù)的圖象解決實際問題,正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標表示的意義,準確識圖并獲取信息是解題的關鍵.
(浙教版教材九上,第149頁第5題和第136頁第6題)
4.銳角△ABC中,BC=6,S△ABC=12,兩動點M、N分別在邊AB
9、、AC上滑動,且MN∥BC,以MN為邊向下作正方形MPQN,設其邊長為x,正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y(y >0),當x = ,公共部分面積y最大,y最大值 = .
類型五 以題換題-結構不變,情景改變
(2016·紹興)課本中有一個例題:有一個窗戶形狀如圖1,上部是一個半圓,下部是一個矩形,如果制作窗框的材料總長為6m,如何設計這個窗戶,使透光面積最大?
這個例題的答案是:當窗戶半圓的半徑約為0.35m時,透光面積最大值約為1.05m2.
我們如果改變這個窗戶的形狀,上部改為由兩個正方形組成的矩形,如圖2,材料總長仍為6m,利用圖3,解
10、答下列問題:
(1)若AB為1m,求此時窗戶的透光面積?
(2)與課本中的例題比較,改變窗戶形狀后,窗戶透光面積的最大值有沒有變大?請通過計算說明.
【解后感悟】本題的母題在浙教版教材九上第24頁例1.此題主要通過例題的方法去解決新問題,正確表示出函數(shù)解析式是解題關鍵.
(浙教版教材九下,第23頁第5題;浙教版教材九上,第148頁第2題)
5.如圖是一只球沿著斜面向下運動的截面圖,球的半徑為0.24m,接觸點為B,BC=6m,斜面坡角為α=20°,求球最高點A離地面的距離AH. (精確到0.1m)
(參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,ta
11、n20°≈0.36,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
【課本改變題】教材母題--浙教版教材八下,第127頁第4題
提出問題:
(1)如圖1,在正方形ABCD中,點E,H分別在BC,AB上,若AE⊥DH于點O,求證:AE=DH;
類比探究:
(2)如圖2,在正方形ABCD中,點H,E,G,F(xiàn)分別在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于點O,探究線段EF與HG的數(shù)量關系,并說明理由;
綜合運用:
(3) 在(2)問條件下,HF∥GE,如圖3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求圖中陰影部分的面積.
【方法與對策】
12、本題通過課本題逐步深化,借助課本題模型聯(lián)系前后知識和方法設置問題,紹興市中考對該課本題也改編過.本題考查了三角形的綜合知識.用到全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等綜合性較強,難度較大.這是中考課本題改編題的常用題型.
【求最值時,忽視自變量的取值范圍】
某商場經(jīng)營某種品牌的玩具,購進時的單價是30元,根據(jù)市場調查:在一段時間內,銷售單價是40元時,銷售量是600件,而銷售單價每漲1元,就會少售出10件玩具.
(1)不妨設該種品牌玩具的銷售單價為x元(x>40),請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得的利潤w元,并把結果填寫在表格中:
銷售單
13、價(元)
x
銷售量y(件)
銷售玩具獲得利潤w(元)
(2)在(1)問條件下,若商場獲得了10000元銷售利潤,求該玩具銷售單價x應定為多少元;
(3)在(1)問條件下,若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于44元,且商場要完成不少于540件的銷售任務,求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少?
第41講 課本題改編型問題
【例題精析】
例1 (1)如圖2作圖. (2)如圖3 ①、②作△ABC.①當AD=AE時,∵2x+x=30+30,∴x=20.②當AD=DE時,∵30+30+2x+x=180,∴x=40.
14、 (3)如圖4,CD、AE就是所求的三分線.設∠B=α,則∠DCB=∠DCA=∠EAC=α,∠ADE=∠AED=2α,此時△AEC∽△BDC,△ACD∽△ABC,設AE=AD=x,BD=CD=y(tǒng),∵△AEC∽△BDC,∴x∶y=2∶3,∵△ACD∽△ABC,∴2∶x=(x+y)∶2,所以聯(lián)立得方程組解得即三分線長分別是和.
例2 (1)畫法不唯一,如答圖1或2. (2)畫法不唯一,如答圖3或4.
例3 由題意可得出:y=a(x+6)2+4,將(-12,0)代入得出,0=a(-12+6)2+4,解得:a=-,∴選取點B為坐標原點時的拋物線解析式是:y=-(x+6)
15、2+4.故答案為:y=-(x+6)2+4.
例4 (1)由圖可知,A比B后出發(fā)1小時;B的速度:60÷3=20(km/h);(2)由圖可知點D(1,0),C(3,60),E(3,90),設OC的解析式為s=kt,則3k=60,解得k=20,所以s=20t,設DE的解析式為s=mt+n,則解得所以s=45t-45,由題意得解得所以,B出發(fā)小時后兩人相遇.
例5 (1)由已知可得:AD==m,則S=1×=m2, (2)設AB=xm,則AD=m,∵3-x>0,∴0
16、2>1.05m2,∴與課本中的例題比較,現(xiàn)在窗戶透光面積的最大值變大.
【變式拓展】
1. (1)①∵AB=AC,α=60°,∴△ABC為等邊三角形.∵k=1,∴CF=BE,∵∴△ABE≌△BCF,∴∠CBF=∠BAE,∴∠APF=∠BAE+∠ABP=∠CBF+∠ABP=60°;②∵CF=·BE,∴=,∵AB=AC,α=120°,∴=.∵∴△ABE∽△BCF,∴∠CBF=∠BAE,∴∠APF=∠BAE+∠ABP=∠CBF+∠ABP=30°. (2)∵∴△ABE∽△BCF,∴∠CFB=∠AEB,又∵∠CAE=∠ FAP,∴∠APF=∠C=30°.
2. (1)如題圖1中,∵四邊形ABC
17、D是正方形,∴AC⊥BD,OD=OC,∴∠DOG=∠COE=90°,∴∠OEC+∠OCE=90°,∵DF⊥CE,∴∠OEC+∠ODG=90°,∴∠ODG=∠OCE,∴△DOG≌△COE(ASA),∴OE=OG. (2)①證明:如題圖2中,∵OG=OE,∠DOG=∠COE=90°,OD=OC,∴△ODG≌△OCE,∴∠ODG=∠OCE.②設CH=x,∵四邊形ABCD是正方形,AB=1,∴BH=1-x,∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°,∵EH⊥BC,∴∠BEH=∠EBH=45°,∴EH=BH=1-x,∵∠ODG=∠OCE,∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE,∴∠HDC=∠ECH,∵EH
18、⊥BC,∴∠EHC=∠HCD=90°,∴△CHE∽△DCH,∴=,∴HC2=EH·CD,∴x2=(1-x)·1,解得x=或(負值舍棄),∴HC=.
3. B 4.3 6
5.過點B作BE⊥AH,BF⊥CH,在Rt△OBE中,cos20°==,∴OE=0.24×cos20°≈0.23.在Rt△BCF中,sin20°==,∴BF=6×sin20°≈2.04,∴AH=AO+OE+EH=0.24+0.23+2.04=2.51≈2.5m.
【熱點題型】
【分析與解】(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.∴∠HAO+∠OAD=90°.∵AE⊥DH,∴∠ADO
19、+∠OAD=90°.∴∠HAO=∠ADO.∴△ABE≌△DAH(ASA),∴AE=DH.(2)EF=GH.將FE平移到AM處,則AM∥EF,AM=EF.將GH平移到DN處,則DN∥GH,DN=GH.∵EF⊥GH,∴AM⊥DN,根據(jù)(1)的結論得AM=DN,所以EF=GH;
(3)∵四邊形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∴∠AHO=∠CGO,∵FH∥EG,∴∠FHO=∠EGO,∴∠AHF=∠CGE,∵∠A=∠C=90°,∴△AHF∽△CGE,∴===,∵EC=2,∴AF=1,過F作FP⊥BC于P,根據(jù)勾股定理得EF=,∵FH∥EG,∴=,根據(jù)(2)知EF=GH,∴FO=HO.∴S△FOH=
20、FO2=×(EF)2=,S△EOG=EO2=×(EF)2=,∴陰影部分面積為.
【錯誤警示】
(1)銷售量y(件):1000-10x;銷售玩具獲得利潤w(元):-10x2+1300x-30000; (2)-10x2+1300x-30000=10000,解之得:x1=50,x2=80,答:玩具銷售單價為50元或80元時,可獲得10000元銷售利潤. (3)根據(jù)題意得解之得:44≤x≤46,w=-10x2+1300x-30000=-10(x-65)2+12250,∵a=-10<0,對稱軸x=65,∴當44≤x≤46時,y隨x增大而增大.∴當x=46時,W最大值=8640(元).答:商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤為8640元.
10